二次函数的图像和性质优秀教案

二次函数的图像和性质

【教学目标】

1．经历二次函数图象平移的过程；理解函数图象平移的意义。

2．了解2ax y =，2)(m x a y +=，k m x a y ++=2)(三类二次函数图象之间的关系。

3．会从图象的平移变换的角度认识k m x a y ++=2)(型二次函数的图象特征。

【教学重点】

从图象的平移变换的角度认识k m x a y ++=2)(型二次函数的图象特征。

【教学难点】

对于平移变换的理解和确定，学生较难理解。

【教学设计】

一、知识回顾

二次函数2ax y =的图象和特征：

1．名称 ；2．顶点坐标 ；3．对称轴 ；

4．当o a 时，抛物线的开口向

，顶点是抛物线上的最 点，图象在x 轴的 (除顶点外)；当o a 时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线上的最 点图象在x 轴的 (除顶点外)。

二、合作学习在同一坐标系中画出函数图象221x y =，,)2(212+=x y 2)2(2

1-=x y 的图象。（1）请比较这三个函数图象有什么共同特征？

（2）顶点和对称轴有什么关系？

（3）图象之间的位置能否通过适当的变换得到？

（4）由此，你发现了什么？

三、探究二次函数2ax y =和2)(m x a y +=图象之间的关系

1．结合学生所画图象，引导学生观察,)2(212+=x y 与22

1x y =的图象位置关系，直观得

出221x y =的图象−−−−−→−向左平移两个单位

,)2(2

12+=x y 的图象。教师可以采取以下措施：

①借助几何画板演示几个对应点的位置关系，如：

（0，0）−−−−−→−向左平移两个单位

（-2，0）（2，2）−−−−−→−向左平移两个单位（0，2）；

（-2，2）−−−−−→−向左平移两个单位

（-4，2）②也可以把这些对应点在图象上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程。

2．用同样的方法得出221x y =的图象−−−−−→−向右平移两个单位2)2(21-=x y 的图象。

3．请你总结二次函数y=a(x+ m)²的图象和性质。

2ax y =（0≠a ）的图象个单位时向右平移当个单位向左平移时当m 0m m 0m −−−−−→−2)2(2

1-=x y 的图象。函数2)(m x a y +=的图象的顶点坐标是（-m ，0），对称轴是直线x=-m

4．做一做 （1）

抛物线

开口方向对称轴顶点坐标

y =2(x +3)²

y = -3(x -1)²

y = -4(x -3)²

（2）填空：

①由抛物线y=2x²向 平移 个单位可得到y= 2(x +1)²②函数y= -5(x -4)²的图象。可以由抛物线 向 平移 4 个单位而得到的。（3）对于二次函数2)4(3

1--=x y ，请回答下列问题：①把函数231x y -=的图象作怎样的平移变换，就能得到函数2)4(3

1--=x y 的图象？②说出函数2)4(3

1--=x y 的图象的顶点坐标和对称轴。第（3）题的解答作如下启发：这里的m 是什么数？大于零还是小于零？应当把2

3

1x y -=

的图象向左平移还是向右平移？在此同时用平移的方法画出函数2)4(3

1--=x y 的大致图象（事先画好函数23

1x y -=的图象），借助图象有学生回答问题。四、探究二次函数k m x a y ++=2)(和2ax y =图象之间的关系

1．在上面的平面直角坐标系中画出二次函数3)2(212++=

x y 的图象。首先引导学生观察比较,)2(212+=x y 与3)2(2

12++=x y 的图象关系，直观得出：,)2(212+=x y 的图象−−−−−→−个单位向上平移33)2(2

12++=x y 的图象。（结合多媒体演示）再引导学生刚才得到的221x y =的图象与,)2(2

12+=x y 的图象之间的位置关系，由此得出：只要把抛物线22

1x y =先向左平移2个单位，在向上平移3个单位，就可得到函数3)2(2

12++=x y 的图象。2．做一做：请填写下表：

3．总结k m x a y ++=2)(的图象和2ax y =图象的关系

2ax y =（0≠a ）的图象个单位时向右平移当个单位向左平移时当m 0m m 0m −−−−−→−2)2(2

1-=x y 的图象个单位时向下平移当个单位向上平移时当m 0k m 0k −−−−−→

−k m x a y ++=2)(的图象。

k m x a y ++=2)(的图象的对称轴是直线x=-m ，顶点坐标是（-m ，k ） 。口诀：（m 、k ）正负左右上下移

（ m 左加右减 k 上加下减）

五、谈收获：

1．函数k m x a y ++=2)(的图象和函数2ax y =图象之间的关系。函数解析式

图象的对称轴图象的顶点坐标

22

1x y =,)2(2

12+=x y 3)2(212++=x y

2．函数k m x a y ++=2)(的图象在开口方向、顶点坐标和对称轴等方面的性质。

【作业布置】

预习题：对于函数122+--=x x y ，请回答下列问题：

（1）对于函数122+--=x x y 的图象可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？

（2）函数图象的对称轴、顶点坐标各是什么？