状态空间描述法

如上例中,
xt
x1 x2
为tt 系统的状态，
xi t ,(i为状1,态2)变量。
第4页，共129页。
3. 状态向量
4. 状态空间:
定义: 所有状态构成的一个实数域上的(线性)向量空 间称为状态空间。 5. 方程:
状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系表达式称 为状态方程(见上例);
系统输出量y(t) 与状态变量、输入量的关系的表达式称 为输出方程。
第5页，共129页。
三. 状态变量的选取 1. 状态变量的选取是非唯一的。 2. 选取方法
（1）可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作为 系统的状态变量。 （2）可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或与 其相关的变量作为控制系统的状态变量。（如电感电流i、 电容电压uc 、质量m 的速度v 等。
结构图
x 1 ∫
+
x1 c1
λ1
u(t)
x 2 ∫
+
x2
c2
y(t)
λ2
x n ∫
+
xn
cn
λn
例9.8 求
Gs s 2 8s 15
s 3 7s 2 14s 8
的对角线规范型实现，并画出系统状态图 。
第21页，共129页。
解：
G(s)
s
s2 8s 15
1s 2s
4
8 1 3 1 1 1 3 s1 2 s2 6 s4
z s u s
sn
an1 s n1
1 an2 s n2
x
n
a1s a0
y s z s
bn1 s n1 bn2 s n2 b1 s b0
z (n) an1 z n1 an2 z n2 a1 z a0 z u y bn1 z n1 bn2 z n2 b1 z b0 z
x Ax Bu y Cx Du
第10页，共129页。
2. 一般线性系统状态空间表达式（p输入q输出）
x At x Bt u y Ct x Dt u
3. 线性定常系统状态空间表达式
x Ax Bu y Cx Du
第11页，共129页。
输入
u B
D C
输出 y
∫ （t 域）
1
s
3. 现代控制理论
(1) 适应控制工程的高性能发展需要，于60年代提出。 (2) 可处理时变、非线性、多输入—多输出问题。
(3) 应用方面的理论分支：最优控制、系统辩识，自适应控 制……
第2页，共129页。
二. 状态和状态空间
1. 先看一个例子： 例9.1 试建立图示电路的数学模型。
di (t ) L dt uc (t ) Ri(t ) ur (t )
(2) 由传递函数建立—— x即2 实 现
1
0
x2
0
u
G(s)
y(s) u(s)
bsnxnsxnnn1abnn1s10asn0n11a1 aab11s1s0ab00a1n1
x n1 xn
0 1
① 可控规范型实现
x1
A). bn 0,G(s) yNDb(0(ss))b1 zy((ss)b)n1uz((xss2))
则对角线规范型实现为
x1 1 0 0 x1 1
x 2
0
2
0
x2
1u
x3 0 0 4 x3 1
y
8 3
3 2
1 6
x1 x2 x3
第22页，共129页。
④ 约当规范型实现----特征方程有重根时
Gs
s
c11
1 3
s
c12
1 2
s
c13
1
c4 cn
（ω 域）
D 系状统态
X A
u
B
x ∫ x C
y
a) 结构关系图
A b) 结构图
第12页，共129页。
五. 线性定常系统状态空间表达式的建立 1. 方法:机理分析法、实验法 2. 线性定常单变量系统(单输入—单输出系统) (1) 由微分方程建立
yn an1 yn1 an2 yn2 a1 y1 a0 y bm1um1 b1u1 b0u
Gs
ys us
c1
s 1
c2
s 2
cn
s n
n i 1
ci
s i
取
xi s
1
s i
us
n
则 ys ci xi i 1
x 1 1 0 0 x1 1
x
2
0
2
0
x2
1
u
x
n
0
0
n
x
n
1
x1
y c1
c2
c
n
x2
x
n
第20页，共129页。
① 在输入量中不含有导数项时：
x1 y,x2 y1,,xn yn1
第13页，共129页。
x1 0 1 0 0 x1 0
则 x1 x2
x 2
1
0
x2
0
写成xxx向nn2量1 -x-3-ax矩0nx阵1 形a式1yxxx(2n或n11系 统00动a0a态n结1a0x1构n xx图12ba10)u:
第6页，共129页。
例9.2 图示弹簧——质量——阻尼器系统，外作用力u(t)为 该系统的输入量，质量的位移y(t)为输出量，试列写该系统的状态
方程和输出方程。
m
d 2 yt
f
dyt
Kyt
ut
dt
dt
x1t yt 、 x2 t yt
x 1 x2 t
x 2
yt
1 kyt
状态空间描述法
第1页，共129页。
9.1 线性系统的状态空间描述法
一、问题的提出
9.2 9.3 9.4
1．控制系统的两种基本描述方法：
输入—输出描述法——经典控制理论
状态空间描述法——现代控制理论 2．经典控制理论的特点： (1) 优点：对单入—单出系统的分析和综合特别有效。 (2) 缺点：内部的信息无法描述，仅适于单入—单出系统。
,,k
c i
lim (s
s pi
pi )G(s),i
k ,,n
G(s) G1 (s) G2 (s)
G1 (s)
c1 (s p1 )k
c2
( s p1 )k 1
ck s p1
第26页，共129页。
x1 p1 1 0 0
x 2
0
p1 1 0
0 x1 0
x2
f n1 bn1 a b n1 n , f n2 bn2 an2bn
f1 b1 a1bn , f0 b0 a0bn
ys
bnus
N s Ds
us
第16页，共129页。
例9.5 已知系统的传递函数为
Gs s 2 8s 15
s 3 7s 2 14s 8
试求其能控规范型实现，并画出系统状态图。
y(s) u( s )
G(s)
N (s) D(s)
(s
N (s) p1 )k (s pk1 )(s
pn )
c1 (s p1 )k
c2 (s p1 )k1
ck s p1
ck1 s pk1
cn s pn
c j
lim
s pj
(j
1 d j1
1)!
ds
j
1
(s
p1
)
k
G(
s),
j
试求其能控规范型实现，并画出系统状态图。
解: 由 bn=b3≠0, 对照标准型
Gs
s3 s3
8s2 7s2
8s 15 14s 8
1
s3
s2 6s 7 7s2 14s
8
x1 0 1 0 x1 0
x 2
0
0
1
x2
0
u
x3 8 14 7 x3 1
x1
m
fyt
1 m
ut
K m
x1t
f m
x2 t
1 m
ut
yt x1t
k m
f
u(t) y(t)
第7页，共129页。
例9.3 已知系统微分方程组为
ur
R1i1
1 c1
(i1 i2 )dt
1
1
c1 (i1 i2 )dt R2i2 c2 i2dt
1
uc c2 i2dt ur
第15页，共129页。
B）bn≠0
G(s)
y(s) u( s )
bn s
s
n
n bn1 an1 s
s n1 b1 s b0 n1 a1s a0
bn
f n1 s n1 f n2 s n2 f1 s s n an1s n1 a1s a0
f0
N s bn Ds
y 7
6
1
x2
u
x3
第18页，共129页。
② 能观测规范型实现 与能控规范型关系： A*=AT，B*=CT，C*=BT
例9.7 已知系统的传递函数为
Gs s 2 8s 15
s 3 7s 2 14s 8
试求其能观测规范型实现，并画出系统状态图。
第19页，共129页。
③ 对角线规范实现
其中，ur 为输入，uc 为输出，R1、C1、 R2、C2为常数。试列写系 统状态方程和输出方程。
第8页，共129页。
解：选
x1 i1dt, x2 i2dt
1
ur R1i1 c1 (i1 i2 )dt
1
1
c1 (i1 i2 )dt R2i2 c2 i2dt
uc
1 c2
i2dt ur
y c11
c12
c13
c4
cn
x13
x4
xn1
第24页，共129页。
x13 ∫ x13
+
x12 ∫ x12
+
x 11
+
∫
x11 c11
λ1
λ1
λ1
u(t)
x 4 ∫ x4
+
c12
y(t)
c4
c13
λ4
x n
∫
xn
+
cn
λn
第25页，共129页。
当G(s)有重极点时，设-pi中有k重极点
i(t ) C duc (t ) dt
i(t) R
ur(t)
duc (t) dt
1 C
i(t)
di(t
)
dt
1 L
uc
R L
i(t)
1 L
ur
(t)
L
C
uc(t)
第3页，共129页。
在已知ur(t)的情况下，只要知道 uc(t)和i(t)的变化特性，则其他变 量的变化均可知道。故uc(t)和i(t)称为“状态变量”。记
x n n xn u
第23页，共129页。
x11 1 1 0 0 0 x11 0
x 12
0
1
1Biblioteka Baidu
0
0
x12
0
x 13 x 4
0 0
0 0
1
0
0
4
0 0
x13 x4
1
1
u
x n
0
0
0
0
n xn
1
x11
x12
s 4
s n
令
1
x13(s) s 1 u(s)
1
x12 (s) s 1 2 u(s)
1
s 1 x13 (s)
1
x11 (s) s 1 3 u(s)
1
s 1 x12 (s)
则 x11 1 x11 x12
x 12 1 x12 x13
x 13 1 x13 u x 4 4 x4 u
ur
1( c1
R1
x1
x1
x2 )
1 c1 ( x1
R2 x
x2 )
2
1 c2
x2
1
uc c2 x2 ur
写成向量—矩阵形式：
x1 x 2
1
1/
/ R1C1 R2C1
1
/
1 / R1C1 R2C1 1 /
R2C
2
x1 x2
1
/ R1 0
u
y 0
1
/
C
x1(t ) uc (t ), x2 (t ) i(t )
及 dxi (t ) x i 、)
dt
i
则有
x1(t ) x2 (t )
0 1
L
1 C
R L
x1 x2
(t (t
) )
0
1
L
ur
(
t
)
➢ 2. 状态与状态变量的定义
控制系统的状态为完全描述系统的一个最小变量组，该组中 的每个变量称为状态变量。
0
x k1 x k
0
p1 1 0 p1
x
k
1
0u
xk 1
pk1
x n
0
pn
xn
1
y c1 c2 ck1 ck ck1 cn x
u(s)• 1
1
s
1
•xk
p1
1
1
ck
1
s
x•
0
u
1
x
n1
0
an1 xn b0
xn
例9.4 已知系统微分方程为
y 3y 2 y y 3u
列写系统的状态空间表达式。
解：选 x1 y, x2 y , x3 y
② 输入量中含有导数项时：
第14页，共129页。
x1 0 1 0 0 x1 0
解: 由 bn=b3=0,对照标准型,可得实现为
x1 0 1 0 x1 0
x 2
0
0
1
x
2
0u
x3 8 14 7 x3 1
x1
y 15
8
1
x
2
x3
第17页，共129页。
例9.6 已知系统的传递函数为
Gs s 3 8s 2 8s 15
s 3 7s 2 14s 8
2
x1 x2
t t
u
第9页，共129页。
四. 状态空间表达式
1. 单输入单输出线性定常连续系统
x1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1u
x 2
a21 x1
a22 x2
a2n xn
b2u
x n an1 x1 an2 x2 ann xn bnu
y c1 x1 c2 x2 cn xn du
•
k 1
1
p1
1
s
c k 1
1
c2
s
•
x2
c