专题05 全称量词与存在量词(练)(解析版)

专题05全称量词与存在量词（练）
基础巩固专练
1．【山东省枣庄十六中2019-2020学年高一10月学情检测】已知命题“x R ∃∈，使2
1
2(1)02
x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,1)-∞- B ．(1,3)- C ．(3,)-+∞ D ．(3,1)-
【答案】B
【解析】因为命题“x R ∃∈，使2
12(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以21
2(1)02
x a x +-+>恒成立，所以2
()1
14202
a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-． 故选B ．
2．【北京市通州区2019-2020学年高二（下）期末】命题“x R ∀∈，10x +”的否定是（ ） A ．x R ∃∈，10x +< B ．x R ∀∈，10x +< C ．x R ∃∈，10x + D ．x R ∀∈，10x +
【答案】A
【解析】解：命题“x R ∀∈，10x +”为全称命题，则命题的否定为x R ∃∈，10x +<， 故选：A.
3．【必修第一册 过关斩将】下列命题中是全称命题的是( ) A ．圆有内接四边形
B >
C <
D ．若三角形的三边长分别为3,4,5，则这个三角形为直角三角形 【答案】A
【解析】A 命题即为所有的圆都有内接四边形，是全称命题． 其余三命题均不为全称命题．故选A ．
4．【必修第一册 过关斩将】若命题“x R ∃∈，使得23210x ax ++<”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．a <<
B ．a ≤a ≥
C ．a ≤≤
D ．a <a >【答案】C
【解析】解：命题“x R ∃∈，使得23210x ax ++<”是假命题，
即“,x R ∀∈使得23210x ax ++≥”是真命题，故24120a ∆=-≤，解得a ≤≤C ． 5．【必修第一册 逆袭之路】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ） A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数
【答案】B
【解析】由命题的否定的定义知，“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数．
6．已知命题p ：“0a ∃>，有1
2a a
+<成立”，则命题p ⌝为（ ） A ．0a ∀≤，有1
2a a +≥成立
B ．0a ∀>，有1
2a a
+≥成立
C ．0a ∃>，有1
2a a
+≥成立
D ．0a ∃>，有1
2a a
+
>成立 【答案】B
【解析】特称命题的否定是全称命题，所以0a ∃>，有12a a
+<成立的否定是0a ∀>，有1
2a a +≥成立，
故选B.
7．【宁夏平罗中学2019-2020学年高二上学期期末】下列是全称命题且是真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，x 2>0 B ．∀x ∈Q ，x 2∈Q C ．∃x 0∈Z ，x 2
0>1 D ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2>0
【答案】B
【解析】主要考查全称量词和全称命题的概念．
解：A 、B 、D 中命题均为全称命题，但A 、D 中命题是假命题．故选B ．
8．已知下列命题①“实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0”；②“三角形外角和为360度”是含有全称量词的真命题；③“至少存在一个实数x ，使得0x ≥” 是含有存在量词的真命题； ④“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题。

其中正确的有_________. 【答案】②③④
【解析】①“实数都大于0”的含义是“所有实数都大于0”，所以它的否定应该是“存在实数不大于0”，所以①错误；②“三角形外角和为360度”的含义是“所有三角形外角和为360度”，所以②正确；同理 ③④ 也正确.所以答案为“②③④”.
9．“x R ∀∈，都有21k x ≤+恒成立”是真命题，则实数k 的取值范围是____________； 【答案】1k ≤
【解析】因为211x +≥，即21x +的最小值为1，要使“21k x ≤+恒成立”，只需(
)
2
1min
k x ≤+，即1k ≤，
所以答案为“1k ≤”.
10．命题“有些一元一次不等式的解集是空集”是__________；（全称量词命题、存在量词命题） 【答案】存在量词命题
【解析】原命题即是“存在一元一次不等式的解集是空集”，所以答案为“存在量词命题”.
11．【必修第一册（上） 重难点知识清单】命题2:,20p x R x mx ∃∈++，若“非p ”为真命题，则m 的
取值范围是_________.
【答案】m -<<【解析】由题意知，命题2
:,20p x R x mx ∃∈++为假，即2,20x R x mx ∀∈++>恒成立，
所以∆<0，所以2420m -⨯<，所以m -<<
故答案为：m -<<12．【必修第一册（上） 重难点知识清单】命题“有些负数满足不等式()()2
1190x x +->”用“∃”写成存在量词命题为________________.
【答案】0x ∃<，使得2
(1)(19)0x x +->
【解析】因为有些负数满足不等式()()2
1190x x +->， 所以写成存在量词命题为：0x ∃<，使得2
(1)(19)0x x +->. 故答案为：0x ∃<，使得2
(1)(19)0x x +->.
13．已知集合{|0}A x x a =≤≤，集合22{|34}B x m x m =+≤≤+，如果命题“m R ∃∈，使得A B ⋂≠∅”
为假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】3a <
【解析】命题“m ∃∈R ，使得A B ⋂≠∅”为假命题，则其否定命题“m R ∀∈，A B =∅”为真命题
当0a <时，集合{|0}A x x a =≤≤=∅，符合A B =∅ 当0a ≥时，因为230m +>，所以m R ∀∈，A B =∅
得23a m <+对于m R ∀∈恒成立 所以(
)
2
3
3min
a m <+=，则03a ≤<
综上，实数a 的取值范围为3a <.
14．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出对应的否定命题，并判断真假: (1)不论m 取何实数,关于x 的方程20x x m +-=必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)函数y kx =图象恒过原点. 【答案】见解析
【解析】 (1)即“所有m R ∈，关于x 的方程20x x m +-=都有实数根”，是全称量词命题，其否定为“存在实数m ，使得方程20x x m +-=没有实数解”，真命题；
(2)是全称量词命题，其否定为“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”，假命题； (3)是存在量词命题，其否定为“所有梯形的对角线不互相平分”，真命题；
(4)即“所有k ∈R ，函数y kx =图象都过原点”，是全称量词命题，其否定为“存在实数k ，使函数y kx =图象不过原点”，是假命题.
15．将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假. （1）6是12和18的公约数； （2）当1a >-时，方程2
210ax x 有两个不等实根；
（3）平行四边形的对角线互相平分；
（4）已知,x y 为非零自然数，当2y x -=时，4,2y x ==. 【答案】答案见解析.
【解析】解：（1）若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题. （2）若1a >-，则方程2
210ax x 有两个不等实根，
因为当0a =时，原方程只有一解，所以原命题是假命题.
（3）若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题.
（4）已知,x y 是非零自然数，若2y x -=，则4,2y x ==，是假命题.
能力提升专练
1．【必修第一册 过关斩将】已知命题P ：有的三角形是等边三角形，则（ ） A ．P ⌝：有的三角形不是等边三角形 B ．P ⌝ ：有的三角形是不等边三角形 C ．P ⌝：所有的三角形都是等边三角形 D ．P ⌝：所有的三角形都不是等边三角形 【答案】D
【解析】因为命题P 是特称命题，存在量词的否定为全称量词，且否定结论， 所以命题P 的否定是所有的三角形都不是等边三角形. 故本题正确答案为D.
2．【必修第一册 逆袭之路】针对我校某次考试有关的命题P ：所有理科学生都会做第1题，那么命题P 的否定是（ ）
A ．所有理科学生都不会做第1题
B ．存在一个理科学生不会做第1题
C ．存在一个理科学生会做第1题
D ．至少有一个理科学生会做第1题
【答案】B
【解析】根据全称命题的否定是特称命题，
∴命题p ：所有理科学生都会做第1题，那么命题p 的否定是：存在理科学生不会做第1题．故选B ．
3．【必修第一册 逆袭之路】命题“0x ∀>，2
0x x +≥”的否定是（ ） A ．0x ∀>，2
0x x +<
B ．0x ∀>，2
0x x +≤
C ．00x ∃>，2
000x x +<
D ．00x ∃>，2
000x x +≤
【答案】C
【解析】由全称命题的否定变特称，结论否定，
故命题“0x ∀>，20x x +≥”的否定是：00x ∃>，2
000x x +<.故选：C
4．【必修第一册 过关斩将】下列命题正确的是（ ） A ．x R ∃∈，2230x x ++= B ．1x =是21x =的充分不必要条件 C ．x ∀∈N ，32x x >
D ．若a b >，则22a b >
【答案】B
【解析】由22
23(1)20x x x ++=++>知A 错误；
解方程21x =可得1x =±，由1x =能推出21x =，所以条件充分，由21x =推不出1x =，所以条件不必要，故B 正确；当0x =时，32x x >不成立，故C 错误； 由12>-推不出()2
212>-，故D 错误．故选：B ．
5．【必修第一册 过关斩将】下列命题中：①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x ∈R ，总有2
1
11
x +；存在量词命题的个数是（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B
【解析】命题①中含有存在量词，是存在量词命题；命题②中全称量词省略，可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③中全称量词省略，可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④中有全称量词“总有”，是全称量词命题故有1个存在量词命题； 故选：B .
6．【必修第一册 过关斩将】下列存在量词命题中真命题的个数是（ ） ①,0x R x ∃∈≤，
②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数， ③{}
|x x x ∃∈是无理数，2x 是无理数. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【答案】D
【解析】①0,0x R x ∃=∈≤使得为真命题
②至少有一个整数例如1，它既不是合数，也不是素数，故②为真命题
③例如x π=是无理数，2π仍然是无理数，从而可得{}
|x x x ∃∈是无理数，2x 是无理数为真命题，从而可知真命题的个数为3个，故选D
7．下列存在量词命题的否定中真命题的个数是（ ）
（1）x ∃∈R ，0x ≤；（2）至少有一个整数，它既不是合数，又不是素数；（3）x ∃∈Z ，使345x +=． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【答案】B
【解析】对于（1），取1x =-，显然10-<，故为真命题，其否定为假命题； 对于（2），存在整数，如1既不是合数又不是素数，故为真命题，其否定为假命题； 对于（3），当345x +=成立时，1
3
x =∉Z ，因而不存在x ∈Z ，使345x +=，故为假命题，其否定为真命题． 故选：B ．
8．【江西省贵溪市实验中学2019-2020学年高二下学期期末】命题“2,10∃∈+<x R x ”的否定形式是
___________________________.
【答案】2
,10x R x ∀∈+≥
【解析】
为特称命题的否定是全称命题，否定特称命题时，要将存在量词改写为全称量词，所以，命题
2,10∃∈+<x R x 的否定为 2,10x R x ∀∈+≥，故答案为2,10x R x ∀∈+≥.
9．已知()(2)(3),()22x f x m x m x m g x =-++=-，若同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或()0<g x ；②(,4),()()0x f x g x ∃∈-∞-<.则m 的取值范围是________________. 【答案】()4,2m ∈--
【解析】根据()220x
g x =-<可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在1x ≥是必须是
()0f x <，当m=0时，()0f x =不能做到f(x)在1x ≥时()0f x <，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开
口只能向下，故m<0,且此时2个根为122,3x m x m ==--，为保证条件成立，只需
1221
{31
x m x m =<=--<1
{24
m m <
⇒>-，和大前提m<0取交集结果为40m -<<；又由于条件2的限制，可分析得
出在(,4),()x f x ∃∈-∞-恒负，因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，即-4应该比12x x 两个根中较小的来的大，当(1,0)m ∈-时，34m --<-，解得交集为空，舍．当m=-1时，两个根同为24->-，舍．当(4,1)m ∈--时，24m <-，解得2m <-，综上所述，(4,2)m ∈--． 10．命题：“2,10x R x ax ∃∈-+<”的否定为____．
【答案】2
,10x R x ax ∀∈-+≥
【解析】
写命题否定时，除结论要否定外，存在量词与全称量词要互换，因此命题“210x R x ax ∃∈-+<，”的否定是“210x R x ax ∀∈-+≥，”.故答案为：∀x ∈R ，x 2﹣ax +1≥0
11．【江苏省苏州中学园区校2018-2019学年10月调研】若命题“x R ∃∈，使得2
(1)10x a x +-+<”是假
命题，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】[]1,3- 【解析】由题设可得
,解之得
,故应填答案[]1,3-.
12．【2020届山东省青岛市胶州市期末】若命题“0x R ∃∈，2
0020x x a --=”为假命题，则实数a 的取值范围是______. 【答案】1a <-；
【解析】命题“0x R ∃∈，2
0020x x a --=”为假命题，故220x x a -->恒成立.
440a ∆=+<，故1a <-.故答案为：1a <-.
13．【必修第一册（上） 重难点知识清单】判断下列命题的真假. （1）2,560x R x x ∀∈-+=.
（2）2
,10x x ∃∈+=R .
（3）*22,,20a b N a b ∃∈+=.
【答案】（1）假命题；（2）假命题；（3）真命题.
【解析】（1）假命题，因为只有2x =或3x =时满足2560x x -+=. （2）假命题，因为不存在实数x ，使210x +=成立. （3）真命题，因为存在正整数2和4，使222420+=. 14．【必修第一册 逆袭之路】写出下列命题的否定： （1）所有人都晨练； （2）2,10x x x ∀∈++>R ； （3）平行四边形的对边相等； （4）2,10x x x ∃∈-+=R ． 【答案】（1）有的人不晨练；
（2）2,10x x x ∃∈++≤R ；
（3）存在平行四边形，它的对边不相等； （4）；2,10x x x ∀∈-+≠R
【解析】解：（1）因为命题“所有人都晨练”是全称命题， 所以其否定是“有的人不晨练”．
（2）因为命题“2,10x x x ∀∈++>R ”是全称命题， 所以其否定是“2,10x x x ∃∈++≤R ”．
（3）因为命题“平行四边形的对边相等”是指任意一个平行四边形的对边相等，是一个全称命题， 所以它的否定是“存在平行四边形，它的对边不相等”． （4）因为命题“2,10x x x ∃∈-+=R ”是特称命题， 所以其否定是“2,10x x x ∀∈-+≠R ”．
15．【必修第一册 逆袭之路】用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并判断真假： (1)任意实数的平方大于或等于0；
(2)对任意实数a ，二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称； (3)存在整数x ，y ，使得243x y +=； (4)存在一个无理数，它的立方是有理数. 【答案】(1)2
,0x R x
∀∈.真命题；
(2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题； (3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题； (4)3
,R x Q x Q ∃∈∈，真命题.
【解析】(1)2
,0x R x ∀∈≥，是真命题；
(2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题，；
(3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题,因为242(2)x y x y +=+必为偶数；
(4)3
,R x Q x Q ∃∈∈.真命题,例如32x x Q ==∈.。