浙教版中考数学第一轮复习图形的性质（二）好题精选

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浙教版2019中考数学第一轮复习图形的性质（二）
四边形好题精选
题号一二三总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
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评卷人得分
一．选择题（共15小题）
1．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角α＝30°，若AC＝8，BD＝6，则平行四边形ABCD的面积是（）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．如图，小明从A点出发，沿直线前进12米后向左转36°，再沿直线前进12米，又向左转36°…
照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（）米．
A．100 B．120 C．140 D．60
3．如图，在▱ABCD中，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F 是CD的中点，则EF的最大值为（）
A．B．4 C．5 D．
5．如图，▱ABCD，BE：AE＝4：1．若△AEF的面积为2cm2，则△ADF的面积为（）cm2
A．8 B．10 C．18 D．32
6．正方形ABCD在直角坐标系中的位置如图表示，将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，B点的坐标是（）
A．（2，0）B．C．（2，﹣1）D．（2，1）
7．如图，有两个正方形A，B，现将B放置在A的内部得到图甲．将A，B并列放置，以正方形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为（）
A．13 B．14 C．15 D．16
8．将矩形OABC如图放置，O为原点，若点A的坐标是（﹣1，2），点B的坐标是（2，），则点C的坐标是（）
A．（4，2）B．（2，4）C．（，3）D．（3，）
9．如图所示，将长方形ABCD分成15个大小相等的小正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点．若四边形EFGH的面积为3，则长方形ABCD的面积为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．顺次连接一个四边形四边中点得到的图形是菱形，则这个四边形满足（）A．菱形B．矩形C．正方形D．对角线相等
11．某小区有一块边长为a的正方形场地，规划修建两条宽为b的绿化带．方案一如图甲所示，绿化带面积为S甲；方案二如图乙所示，绿化带面积为S乙．设k＝（a＞b＞0），下列选项中正确的是（）
A．B．C．D．
12．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC，BD交于点O，过点O作OG⊥AB于点G．延长AB至E，使BE＝AB，连接OE交BC于点F，则BF的长为（）
A．B．1 C．D．2
13．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，点P是AB边上的一个动点，点E、F分别是DP、BP的中点，则线段EF的长为（）
A．2 B．4 C．2D．2
14．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行线间的距离都是1，正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ABCD的面积为（）
A．B．C．3 D．5
15．正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC边上，△AEF是等边三角形．以下结论：①EC＝FC；
②∠AED＝75°；③AF＝CE；④EF的垂直平分线是直线AC．正确结论个数有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（非选择题）
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评卷人得分
二．填空题（共10小题）
16．在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF⊥AE，交边BC于F，若AD＝10，EF＝4，则AB＝．
17．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3＝30°，那么∠1+∠2＝°．
18．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去第n个正方形的边长为．
19．边长为a的菱形是由边长为a的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h，则称为为这个菱形的“形变度”．
（1）一个“形变度”为2的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为．
（2）如图，A、B、C为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为）中的格点，则△ABC 的面积为．
20．如图，已知正六边形ABCDEF，则∠ADF＝度．
21．如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝2，则AB的长为．
22．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G，连接DG．点E从点C运动到点D的过程中，DG的最小值为．
23．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE沿AE对折至△AE，延长EF交边BC于点G，连结AG，CF，则下列结论：
①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S△EGC＝S△AFE；⑤S△FGC＝；
其中正确的结论有．
24．如图，菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别是5和2，∠A＝60°，连结DF，则DF的长为．
25．如图，边长为1的正△ABO的顶点O在原点，点B在x轴负半轴上，正方形OEDC边长为2，点C在y轴正半轴上，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着△ABO的边按逆时针方向运动，动点Q从D点出发，以每秒1个单位的速度沿着正方形OEDC的边也按逆时针方向运动，点Q比点P迟1秒出发，则点P运动2016秒后，则PQ2的值是．
评卷人得分
三．解答题（共15小题）
26．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以OC，OD为邻边作平行四边形OCED，连接
OE．
（1）求证：四边形OBCE是平行四边形；
（2）连接BE交AC于点F．若AB＝2，∠AOB＝60°，求BF的长．
27．如图，在四边形ABCD中，E、F分别为对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）若四边形AECF是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，则四边形ABCD是菱形吗？请说明理由？
（3）若四边形AECF是矩形，则四边形ABCD是矩形吗？不必写出理由．
28．如图1，△ABD和△BDC都是边长为1的等边三角形．
（1）四边形ABCD是菱形吗？为什么？
（2）如图2，将△BDC沿射线BD方向平移到△B1D1C1的位置，则四边形ABC1D1是平行四边形吗？
为什么？
（3）在△BDC移动过程中，四边形ABC1D1有可能是矩形吗？如果是，请求出点B移动的距离（写出过程）；如果不是，请说明理由（图3供操作时使用）．
29．“三等分一个角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的，在探索中，有人曾利用过如下的图形：其中，ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，并且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠GF A，你能证明∠ECB＝∠ACB吗？
30．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P在边AD上以每秒2个单位的速度从A出发，沿AD向D运动，同时动点Q在边BD上以每秒5个单位的速度从D出发，沿DB向B运动，当其中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：当某一时刻t，使得t＝1时，P、Q两点间的距离PQ＝；
（2）是否存在以P、D、Q中一点为圆心的圆恰好过另外两个点？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
31．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，求AE的长．
32．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n ≥4）？
【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有P n种．
探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？
如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2．
探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？
不妨把分割方案分成三类：
第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．
第2类：如图④，用A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为种分割方案．
第3类：如图⑤，用A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．
所以，P5＝P4++P4＝＝5（种）
探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？
不妨把分割方案分成四类：
第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种不同的分割方案．
第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案
第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边
形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案．第4类：如图⑨，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形．再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．
所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+＝14（种）
探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为：P7＝P6，共有种不同的分割方案．……
【结论】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？
（直接写出P n与P n﹣1的关系式，不写解答过程）．
【应用】用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形，共有多少种不同的分割方案？
（应用上述结论，写出解答过程）
33．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝4cm，AD＝2cm，动点P、Q分别从点A，C同时出发，都以1cm/s的速度运动，其中点P由A运动到B停止，点Q由点C运动到点D停止．（1）求四边形PBCQ的面积；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形？
34．解决问题（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD．
小明想到条件∠EAF＝∠BAD应用需要转化，将△ADF绕顶点A旋转到△ABG处，此时△ABG≌△ADF，把线段BE、FD集中到一起，进一步可以再证明EF＝EG＝BE+FD．
证明：（1）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．
∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，
AB＝AD
∴△ABG≌△ADF．
小明没有证明结束，请你补齐证明过程．
基本运用：请你用第（1）题的解答问题的思想方法，解答下面的问题
（2）已知如图2，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点，且∠EAF＝45°，
求证：EF2＝BE2+CF2；
拓展延伸
（3）已知如图3，等边△ABC内有一点P，AP＝8，BP＝15，AP＝17，求∠APB的度数．
35．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（8，4），点C的坐标为（3，4），连接AB、BC、OC
（1）求证四边形OABC是菱形；
（2）直线l过点C且与y轴平行，将直线l沿x轴正方向平移，平移后的直线交x轴于点P．
①当OP：P A＝3：2时，求点P的坐标；
②点Q在直线1上，在直线l平移过程中，当△COQ是等腰直角三角形时，请直接写出点Q的坐标．
36．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧做正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为（用含t的代数式表示）．
（2）当点E落在边BC上时，求t的值．
（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．
37．如图，以长方形OBCD的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，B点坐标为（0，a），C点坐标为（c，b），且a、b、C满足+|2b+12|+（c﹣4）2＝0．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）动点P从点O出发，沿O→B→C的路线以每秒2个单位长度的速度匀速运动，设点P的运动
时间为t秒，DC上有一点M（4，﹣3），用含t的式子表示三角形OPM的面积；
（3）当t为何值时，三角形OPM的面积是长方形OBCD面积的？直接写出此时点P的坐标．38．在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，BD是一条对角线，点P在边CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，在BD上取一点H，使HQ＝HD，连接HQ，AH，PH．
（1）依题意补全图1；
（2）判断AH与PH的数量关系及∠AHP的度数，并加以证明；
（3）若∠AHQ＝141°，菱形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．（可以不写出计算结果）
39．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将对角线AC绕对角线交点O旋转，分别交边AD、BC于点E、F，点P是边DC上的一个动点，且保持DP＝AE，连接PE、PF，设AE＝x（0＜x＜3）．
（1）填空：PC＝，FC＝；（用含x的代数式表示）
（2）求△PEF面积的最小值；
（3）在运动过程中，PE⊥PF是否成立？若成立，求出x的值；若不成立，请说明理由．
40．如图（1），在Rt△ABC，∠ACB＝90°，分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG和正方形BCED，连接AD、CF，AD与CF交于点M．
（1）求证：△ABD≌△FBC；
（2）如图（2），已知AD＝8，求四边形AFDC的面积；
（3）在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，当∠ACB≠90°时，c2≠a2+b2．在任意△ABC中，c2＝a2+b2+k．就a＝5，b＝4的情形，探究出k的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角α＝30°，若AC＝8，BD＝6，则平行四边形ABCD的面积是（）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】先过点D作DE⊥AC于点E，由在▱ABCD中，AC＝8，BD＝6，可求得OD的长，又由对角线AC、BD相交成的锐角α为30°，求得DE的长，△ACD的面积，则可求得答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AC于点E，
∵在▱ABCD中，AC＝8，BD＝6，
∴OD＝BD＝3，
∵∠α＝30°，
∴DE＝OD•sin∠α＝3×＝1.5，
∴S△ACD＝AC•DE＝×8×1.5＝6，
∴S▱ABCD＝2S△ACD＝12．
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角函数的知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．2．如图，小明从A点出发，沿直线前进12米后向左转36°，再沿直线前进12米，又向左转36°…
照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（）米．
A．100 B．120 C．140 D．60
【分析】根据多边形的外角和为360°，由题意得到小明运动的轨迹为正10边形的周长，求出即可．【解答】解：由题意得：360°÷36°＝10，
则他第一次回到出发地A点时，一共走了12×10＝120（米）．
故选：B．
【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和定理是解本题的关键．
3．如图，在▱ABCD中，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO的长，再利用勾股定理得出BO的长，进而得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6，
∴AO＝3，
则BO＝＝5，
∴BD＝2BO＝10．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确得出BO的长是解题关键．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F 是CD的中点，则EF的最大值为（）
A．B．4 C．5 D．
【分析】取BC中点O，连接OE，OF，根据矩形的性质可求OC，CF的长，根据勾股定理可求OF 的长，根据直角三角形的性质可求OE的长，根据三角形三边关系可求得当点O，点E，点F共线时，EF有最大值，即EF＝OE+OF．
【解答】解：如图，取BC中点O，连接OE，OF，
∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠C＝90°
∵点F是CD中点，点O是BC的中点
∴CF＝，CO＝2
∴OF＝＝
∵点O是Rt△BCE的斜边BC的中点
∴OE＝OC＝2
∵根据三角形三边关系可得：OE+OF≥EF
∴当点O，点E，点F共线时，EF最大值为OE+OF＝2+＝
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，找到当点O，点E，点F共线时，EF有最大值是本题的关键．
5．如图，▱ABCD，BE：AE＝4：1．若△AEF的面积为2cm2，则△ADF的面积为（）cm2
A．8 B．10 C．18 D．32
【分析】证明△DFC∽△EF A，得，根据已知得＝＝，所以＝5，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AB＝CD，
∴△DFC∽△EF A，
∴，
∵BE：AE＝4：1，
∴＝＝，
∴＝5，
∴＝5，
∵△AEF的面积为2cm2，
∴△ADF的面积为10cm2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
6．正方形ABCD在直角坐标系中的位置如图表示，将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，B点的坐标是（）
A．（2，0）B．C．（2，﹣1）D．（2，1）
【分析】依据题意画出图形，然后依据旋转的性质确定出点B′的坐标即可．
【解答】解：如图所示：过点B′作B′E⊥x轴，垂足为E．
由旋转的性质可知：OA＝AE＝1，OB＝BE′＝1，
∴点B′的租表为（2，﹣1）．
∴旋转后B点的坐标是（2，﹣1）．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
7．如图，有两个正方形A，B，现将B放置在A的内部得到图甲．将A，B并列放置，以正方形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为（）
A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图形得出关系式求解即可．
【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1，
由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，2ab＝12，
所以a2+b2＝13，
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．
8．将矩形OABC如图放置，O为原点，若点A的坐标是（﹣1，2），点B的坐标是（2，），则点C的坐标是（）
A．（4，2）B．（2，4）C．（，3）D．（3，）
【分析】首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出CM＝，MO＝3，进而得出答案．
【解答】解：如图：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于
点N，
过点C作CM⊥x轴于点M，
∵∠EAO+∠AOE＝90°，∠AOE+∠MOC＝90°，
∴∠EAO＝∠COM，
又∵∠AEO＝∠CMO，
∴∠AEO∽△COM，
∴＝＝，
∵∠BAN+∠OAN＝90°，∠EAO+∠OAN＝90°，
∴∠BAN＝∠EAO＝∠COM，
在△ABN和△OCM中
，
∴△ABN≌△OCM（AAS），
∴BN＝CM，
∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，
∴BN＝，
∴CM＝，
∴MO＝3，
∴点C的坐标是：（3，）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识，正确得出CM的长是解题关键．
9．如图所示，将长方形ABCD分成15个大小相等的小正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点．若四边形EFGH的面积为3，则长方形ABCD的面积为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】设小正方形的边长a，那么矩形的面积＝（S△AEF+S△BFG）×2+S四边形EFGH．
【解答】解：设小正方形的边长a，那么矩形的面积＝（S△AEF+S△BFG）×2+S四边形EFGH，
即：3a×5a＝（2a×a÷2+a×4a÷2）×2+1，
9a2＝3，
则a＝（a＞0），
故矩形的面积＝3a×5a＝5．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形面积求法，本题从矩形的面积表示方法入手进行计算是解题关键．10．顺次连接一个四边形四边中点得到的图形是菱形，则这个四边形满足（）A．菱形B．矩形C．正方形D．对角线相等
【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定定理解答．
【解答】解：当四边形对角线相等时，顺次连接这个四边形四边中点得到的图形是菱形，
∵E，F，G，H分别为矩形各边的中点，
∴EH＝BD，EH∥BD，FG＝BD，FG∥BD，EF＝AC，
∴EH＝FG，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
当AC＝BD时，EF＝EH，
∴平行四边形EFGH是菱形，
故选：D．
【点评】本题考查的是菱形的判定、矩形的性质，掌握三角形的中位线定理和矩形的性质定理是解题关键．
11．某小区有一块边长为a的正方形场地，规划修建两条宽为b的绿化带．方案一如图甲所示，绿化带面积为S甲；方案二如图乙所示，绿化带面积为S乙．设k＝（a＞b＞0），下列选项中正确的是（）
A．B．C．D．
【分析】由题意可求S甲＝2ab﹣b2，S乙＝2ab，代入可求k的取值范围．
【解答】解：∵S甲＝2ab﹣b2，S乙＝2ab．
∴k＝＝＝1﹣
∵a＞b＞0
∴＜k＜1
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，能用代数式正确表示阴影部分面积是本题的关键．
12．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC，BD交于点O，过点O作OG⊥AB于点G．延长AB至E，使BE＝AB，连接OE交BC于点F，则BF的长为（）
A．B．1 C．D．2
【分析】由OG∥BC可知即可求解．
【解答】解：∵OG∥BC，
∴，
其中：OG＝BC＝3，BE＝AB＝2，GE＝BG+BE＝6
解得：BF＝1，
故选：B．
【点评】本题考查的是矩形性质，涉及到平行线分线段成比例，是一道基本题．
13．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，点P是AB边上的一个动点，点E、F分别是DP、BP的中点，则线段EF的长为（）
A．2 B．4 C．2D．2
【分析】如图连接BD．首先证明△ADB是等边三角形，可得BD＝4，再根据三角形的中位线定理即可解决问题．
【解答】解：如图连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝4，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BA＝AD＝4，
∵PE＝ED，PF＝FB，
∴EF＝BD＝2．
故选：A．
【点评】本题考查菱形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明△ADB是等边三角形．
14．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行线间的距离都是1，正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ABCD的面积为（）
A．B．C．3 D．5
【分析】过D点作直线EF与平行线垂直，与l1交于点E，与l4交于点F．易证△ADE≌△DFC，得CF＝1，DF＝2．根据勾股定理可求CD2得正方形的面积．
【解答】解：作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．
∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，
∴EF⊥l1，EF⊥l4，
即∠AED＝∠DFC＝90°．
∵ABCD为正方形，
∴∠ADC＝90°．
∴∠ADE+∠CDF＝90°．
又∵∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠CDF＝∠DAE．
在△ADE和△DCF中
∴△ADE≌△DCF（AAS），
∴CF＝DE＝1．
∵DF＝2，
∴CD2＝12+22＝5，
即正方形ABCD的面积为5．
故选：D．
【点评】此题主要考查了正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键．
15．正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC边上，△AEF是等边三角形．以下结论：①EC＝FC；
②∠AED＝75°；③AF＝CE；④EF的垂直平分线是直线AC．正确结论个数有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由题意可证△ABF≌△ADE，可得BF＝DE，即可得EC＝CF，由勾股定理可得EF＝EC，由平角定义可求∠AED＝75°，由AE＝AF，EC＝FC可证AC垂直平分EF，
则可判断各命题是否正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠C＝∠D＝∠DAB＝90°
∵△AEF是等边三角形
∴AE＝AF＝EF，∠EAF＝∠AEF＝60°
∵AD＝AB，AF＝AE
∴△ABF≌△ADE
∴BF＝DE
∴BC﹣BF＝CD﹣DE
∴CE＝CF
故①正确
∵CE＝CF，∠C＝90°
∴EF＝CE，∠CEF＝45°
∴AF＝CE，
∵∠AED＝180°﹣∠CEF﹣∠AEF
∴∠AED＝75°
故②③正确
∵AE＝AF，CE＝CF
∴AC垂直平分EF
故④正确
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟练运用这些性质和判定解决问题是本题的关键．
二．填空题（共10小题）
16．在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF⊥AE，交边BC于F，若AD＝10，EF＝4，则AB＝7或3．
【分析】根据平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠DAE，推出AB ＝BE，根据已知条件推出∠ADF＝∠ADC，得到∠ADF＝∠CDF，推出CF＝CD，于是得到结论．
【解答】解：①如图1，在▱ABCD中，∵BC＝AD＝10，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∵DF⊥AE，
∴∠DAE+∠ADF＝90°，
∵∠BAD+∠ADC＝180°，
∴∠ADF＝∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∵∠ADF＝∠DFC，
∴∠DFC＝∠CDF，
∴CF＝CD，
∴AB＝BE＝CF＝CD
∵EF＝4，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF＝2AB﹣4＝10，
∴AB＝7；
②在▱ABCD中，∵BC＝AD＝10，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∵DF⊥AE，
∴∠DAE+∠ADF＝90°，
∵∠BAD+∠ADC＝180°，
∴∠ADF＝∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∵∠ADF＝∠DFC，
∴∠DFC＝∠CDF，
∴CF＝CD，
∴AB＝BE＝CF＝CD
∵EF＝5，
∴BC＝BE+CF＝2AB+EF＝2AB+4＝10，
∴AB＝3；
综上所述：AB的长为7或3．
故答案为：7或3．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出AB＝BE＝CF＝CD．
17．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3＝30°，那么∠1+∠2＝72°．
【分析】分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即可．
【解答】解：如图，
∵∠3＝30°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，
∴∠4＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴∠5+∠6＝180°﹣80°＝90°，
∴∠5＝180°﹣∠2﹣108°①，
∠6＝180°﹣90°﹣∠1＝90°﹣∠1 ②，
∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1＝90°，
即∠1+∠2＝72°．
故答案为：72．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．
18．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去第n个正方形的边长为（）n﹣1．．
【分析】首先求出AC、AE、AG的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题；
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝1，∠B＝90°，
∴AC2＝12+12，AC＝
同理可得：AE＝（）2，
AG＝（）3…，
∴第n个正方形的边长a n＝（）n﹣1．
故答案为（）n﹣1．
【点评】此题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用．
19．边长为a的菱形是由边长为a的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h，则称为为这个菱形的“形变度”．
（1）一个“形变度”为2的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为1：2．
（2）如图，A、B、C为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为）中的格点，则△ABC 的面积为．
【分析】（1）分别表示出正方形的面积和菱形的面积，再根据“形变度”为2，即可得到菱形与其“形变”前的正方形的面积之比；
（2）根据两面积之比＝菱形的“形变度”，即可解答．
【解答】解：（1）∵边长为a的正方形面积＝a2，边长为a的菱形面积＝ah，
∴菱形面积：正方形面积＝ah：a2＝h：a，
∵菱形的变形度为2，即＝2，
∴“形变度”为2的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比＝1：2，
故答案为：1：2；
（2）∵菱形的边长为1，“形变度”为，
∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比为，
∴S△ABC＝（36﹣）×＝
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，根据题意得出菱形形变前的面积与形变后的面积之比是解题关键．
20．如图，已知正六边形ABCDEF，则∠ADF＝30度．
【分析】连接OF，由多边形是正六边形可求出∠AOF的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADF的度数．
【解答】解：由题意知：AD是正六边形的外接圆的半径，
找到AD的中点O，连接OF，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOF＝＝60°，
∴∠ADF＝∠AOF＝×60°＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查的是正多边形和圆及圆周角定理，根据题意作出辅助线构造出圆心角是解答此题的关键．
21．如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝2，则AB的长为2．
【分析】如图，连接BD．由△ADG∽△GCF，设CF＝BF＝a，CG＝DG＝b，可得＝，推出＝，可得b＝a，在Rt△GCF中，利用勾股定理求出b，即可解决问题；
【解答】解：如图，连接BD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AC＝BD＝2，
∵CG＝DG，CF＝FB，
∴GF＝BD＝，
∵AG⊥FG，
∴∠AGF＝90°，
∴∠DAG+∠AGD＝90°，∠AGD+∠CGF＝90°，
∴∠DAG＝∠CGF，
∴△ADG∽△GCF，
设CF＝BF＝a，CG＝DG＝b，
∴＝，
∴＝，
∴b2＝2a2，
∵a＞0．b＞0，
∴b＝a，
在Rt△GCF中，3a2＝3，
∴a＝1，
∴AB＝2b＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查三角形中位线定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G，
连接DG．点E从点C运动到点D的过程中，DG的最小值为．
【分析】首先证明∠CGB＝90°，推出点G的运动轨迹是以BC为直径的⊙O，当O，G，D共线时，DG的值最小；
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，
∵CE＝DF，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠EBC＝∠FCD，
∵∠FCD+∠BCG＝90°，
∴∠CBE+∠BCG＝90°，
∴∠CGB＝90°，
∴点G的运动轨迹是以BC为直径的⊙O，
当O，G，D共线时，DG的值最小，最小值＝﹣＝，
故答案为．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是确定出DG最小时点G的位置，也是本题的难点．
23．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE沿AE对折至△AE，延长EF交边BC于点G，连结AG，CF，则下列结论：
①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S△EGC＝S△AFE；⑤S△FGC＝；
其中正确的结论有①②③④⑤．。