2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷(十)文科数学

2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷（十）
文科数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题
1.设集合{}
2
|230A x x x =--<，{}|20B x x =-<，则A
B =（ ）
A.
1,2
B. ()2,3
C. ()3,1--
D. (),2-∞
【答案】A 【解析】 【分析】
由一元二次不等式解法得出集体A ，再得出集合B ，根据集合的交集运算可得选项. 【详解】由{
}
2
|230A x x x =--<，即(1)(3)0x x +-<，解得13x
，所以
{}|13A x x =-<<，
又{|20}B x x =-<，即(,2)B =-∞，
所以(1,2)A B =-.
故选：A.
【点睛】本题考查集合的含义与表示和集合的运算，属于基础题. 2.复数31i
z i
-=+的模z =（ ）
A. 1
C. 2
【答案】D 【解析】 【分析】
利用复数的除法运算，求得复数12z i =-，即可求解复数的模.
【详解】由题意3(3)(1)24121(1)(1)2
i i i i
z i i i i ----====-++-，所以||z == 故选:D.
【点睛】本题考查了复数的四则运算及复数模的计算，其中根据复数的除法运算求得复数
12z i =-，再利用复数模的公式求模是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.
3.圆222270x y x y +---=的圆心到直线0x y +=的距离为（ ）
C. 2
D. 3
【答案】A 【解析】 【分析】
将圆一般方程化为普通方程,找到圆心.利用点到直线距离公式即可求解. 【详解】圆222270x y x y +---= 化为标准方程可得()()2
2
119x y -+-= 则圆心为()1,1
由点到直线距离公式可得d ==
故选:A
【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化,点到直线距离公式的应用,属于基础题.
4.某商家统计了去年P ，Q 两种产品的月销售额（单位：万元），绘制了月销售额的雷达图，图中A 点表示P 产品2月份销售额约为20万元，B 点表示Q 产品9月份销售额约为25万元.
根据图中信息，下面统计结论错误．．的是（ ） A. P 产品的销售额极差较大 B. P 产品销售额的中位数较大 C. Q 产品的销售额平均值较大 D. Q 产品的销售额波动较小
【答案】B 【解析】 【分析】
由图示中P 产品的销售额的波动较大，Q 产品的销售额的波动较小，再根据极差、中位数、平均值的概念，可得选项.
【详解】据图求可以看出，P 产品的销售额的波动较大，Q 产品的销售额的波动较小，并且Q 产品的销售额只有两个月的销售额比25万元稍小，其余都在25万元至30万元之间，所以P 产品的销售额的极差较大，中位数较小，Q 产品的销售的平均值较大，销售的波动较小， 故选：B.
【点睛】本题考查识别统计图的能力，会根据图示得出其数字特征的大小关系，属于基础题. 5.设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<
B. b c a <<
C. b a c <<
D.
c b a <<
【答案】C 【解析】 【分析】
设()0.6x
f x =，() 1.5x
g x =。

根据指数函数的单调性和中介值1可得出选项.
【详解】设()0.6x f x =，() 1.5x g x =。

因为0.61<，故()f x 在R 上单调递减，又因为当0
x >
时，()1f x <，所以 1.50.50.60.61<<。

因为1.51>，故()g x 在R 上单调递增，又因为当0x >时，()1g x >，所以0.61.51>，所以b a c <<。

故选:C.
【点睛】本题考查指数幂的大小比较,在比较时,一般需转化成同底数或同指数,或者寻找中介值,属于基础题.
6.若sin 2cos αα=，则2cos sin 2αα+=（ ） A.
12
5
B.
95
C. 1
D.
45
【答案】C 【解析】 【分析】
将所求的表达式转化为22
22
cos 2sin cos cos sin 2sin cos ααα
αααα
++=+,代入已知条件可求选项. 【详解】∵sin 2cos αα=,
∴()()2
22
2222
cos 22cos cos cos 2sin cos cos sin 21sin cos 2cos cos ααα
ααααααααα
+⨯⨯++===++, 故选:C.
【点睛】本题考查正弦的二倍角公式和同角三角函数的平方关系,关键在于运用平方关系中的”1”,将原式化为分式的齐次式,属于基础题.
7.已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()
a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( ) A.
π
6
B.
π3
C.
2π3
D.
5π6
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，建立a 与b 的关系，即可得到夹角.
【详解】因为()
a b b -⊥，所以()
=0a b b -⋅，则2=0a b b ⋅-，则22
2cos =0b θb -，所以
1cos =2
θ，所以夹角为π
3故选B.
【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，难度较小.
8.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A.
110
B.
35
C.
310
D.
25
【答案】D 【解析】
【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数n=5×5=25，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）， 共有m=10个基本事件，
∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=102
.255
= 故答案为D ．
9.设α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，下列命题错误．．的是（ ） A. 如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥. B. 如果//αβ，m α⊂，那么//m β.
C. 如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥.
D. 如果α内有两条相交直线与β平行，那么//αβ. 【答案】C 【解析】 【分析】
对于A 选项,由线面垂直的性质定理,线面平行的性质定理和空间的直线所成的位置关系可证
m n ⊥;对于B 选项,由面面平行的性质定理可得//m β;对于C 选项,与β相交或平行,故C
选项是错误的;对于D 选项,由面面平行的判定定理可得//αβ. 【详解】由α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，得:
对于A 选项, 如果m α⊥，//n α，那么由线面垂直的性质定理,线面平行的性质定理和空间的直线所成的位置关系可证得m n ⊥,故A 选项是正确的.
对于B 选项,//αβ，m α⊂，由面面平行的性质定理可证得//m β,故B 选项是正确的. 对于C 选项,m n ⊥，m α⊥，//n β，则α与β相交或平行,故C 选项是错误的. 对于D 选项,α内有两条相交直线与β平行，由面面平行的判定定理可得//αβ,故D 选项是正确的. 故选:C.
【点睛】本题考查线面垂直的判定,线面平行的判定,线线垂直的判定等空间的线线,线面,以及面面的关系,属于基础题．
10.下列函数中，其图象与函数lg y x =的图象关于点()1,0对称的是（ ） A. ()lg 1y x =- B. ()lg 2y x =- C. ()0.1log 1y x =- D. ()0.1log 2y x =-
【答案】D 【解析】 【分析】
设(),M x y 为所求函数图象上任意一点，求得点M 关于点()1.0的对称点()2,N x y --必在函数y lgx =的图象上，代入可得选项.
【详解】设(),M x y 为所求函数图象上任意一点，则由已知可得点M 关于点()1.0的对称点
()2,N x y --必在函数y lgx =的图象上，
所以()2y lg x -=-,即()()0.1log 22y lg x x ==---, 故选:D.
【点睛】本题考查函数关于某点对称的函数,关键在于设所求函数上的点,根据对称,可得所设关于已知点的对称点的坐标,再代入原函数的解析式中,属于基础题. 11.关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数②()f x 在区间,02π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
单调递减 ③()f x 在[]
,ππ-有4个零点④()f x 的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①②④ B. ②④ C. ①③④ D. ①④
【答案】A 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性,讨论区间得sin x 的正负和x 的正负可化简函数()f x 的表达式,再由sin y x =的单调性,值域,零点可判断得出选项. 【详解】()f x 的定义域为 (,)-∞+∞,
∵ ()sin |||sin()|sin |||sin |()f x x x x x f x -=-+-=+=,∴ ()f x 是偶函数,故① 正确; 当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时, ()sin sin 2sin f x x x x =--=-,∴()f x 在,02x π⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
单调递减, 故②正
确;
当[0,]x π∈时, sin 0x ≥, ()2sin f x x =有两个零点:0,π,当 [,0)x π∈-时,
()2sin f x x =-有一个零点:π-,
所以()f x 在[],ππ-上有三个零点,故③不正确;
当0x ≥时, ()sin |sin |f x x x =+其最大值为2,又因为函数 ()f x 是偶函数,所以函数 ()f x 的最大值为2,故④正确. 所以正确的命题有①②④, 故选:A.
【点睛】本题考查函数奇偶性、三角函数的图象与性质;考查学生的推理论证能力和运算求解能力;考查的核心素养是逻辑推理,关键在于讨论化简函数的表达式,属于中档题.
12.设F 为双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的
圆与圆222
x y a +=交于P ，Q 两点，若PQ OF =，则C 的渐近线方程为（ ）
A. 2y x =±
B. y =
C. y =
D. y x =±
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意,画出几何图形.求得以OF为直径的圆与圆222
x y a
+=交点,结合PQ OF
=即可求得,,
a b c关系,进而求得渐近线方程.
【详解】由题意,画出几何图形如下图所示:
以OF为直径的圆的方程为
2
22
1
24
c
x y c
⎛⎫
-+=
⎪
⎝⎭
,化简得220
x y cx
+-=
则以OF为直径的圆与圆222
x y a
+=交点可得
22
222
x y cx
x y a
⎧+-=
⎨
+=
⎩
解得
2
a
x
c
=
所以P点横坐标为
2
a
x
c
=,
代入圆222
x y a
+=,解得
4
2
2
a ab
y a
c
c
=-=±
所以
2ab
PQ
c
=
由PQ OF
=可得
2ab
c
c
=
所以
222
2ab
c
c
c a b
⎧
=
⎪
⎨
⎪-=
⎩
,解得a b
=
所以双曲线的渐近线方程为
b
y x x
a
=±=±
故选:D
【点睛】本题考查了双曲线几何性质的简单应用,圆的方程求法及应用,属于基础题.
二、填空题
13.若抛物线y 2
=4x 上一点P 到焦点F 的距离为10，则点P 的横坐标为_________ 【答案】9 【解析】 【分析】
由题意首先确定抛物线的直线方程，然后结合抛物线的性质可得点P 的横坐标. 【详解】由抛物线的解析式可知抛物线的准线方程为1x =-，
结合抛物线的定义可知点P 到准线的距离为10，故点P 的横坐标为1109-+=. 故答案为9．
【点睛】本题主要考查抛物线的定义与性质，抛物线准线方程的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14.已知函数()f x 在R 单调递减，且为奇函数，则满足()()130f x f x ++-<的x 的取值范围为_______.
【答案】1,
【解析】 【分析】
由函数()f x 的单调性和奇偶性得13x x +>-,解之可得答案.
【详解】因为函数()f x 在R 单调递减，且为奇函数，所以()()()333f x f x f x --=--=-⎡⎤⎣⎦, 所以由()()130f x f x ++-<得()()13f x f x +<-,所以13x x +>-,解得1x >, 故答案为: ()1,+∞.
【点睛】本题考查运用函数的奇偶性和单调性求解不等式,关键在于由性质,化简不等式,得到关于x 的不等式,属于基础题.
15.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为222
4
a b c
--，则
A =_______.
【答案】
34
π 【解析】 【分析】
根据三角形的面积公式和余弦定理,由已知条件可得11
sin cos 22
ABC
S bc A bc A ==-,再根据三角形中的角的范围可得所求的角. 【详解】在ABC 中，1
sin 2
ABC
S
bc A =,而222
4ABC
a S
b
c --=
， 由余弦定理得2222cos a b c bc A --=-，则2cos cos 42
ABC
bc A bc A
S -=
=-,
故
11
sin cos 22
bc A bc A =-，则sin cos A A =-。

由于(0,)A π∈，则34
A π
=。

故答案为:
34
π. 【点睛】本题考查三角形的面积公式和余弦定理的应用,关键在于熟悉各公式的特点,选择合适的公式,属于中档题.
16.已知正三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的表面上，若这个三棱柱的体积为
3AB =，则1AA =_______，球O 的表面积为_______.
【答案】 (1). 4 (2). 28π 【解析】 【分析】
根据三棱柱题意,结合底边棱长即可求得三棱柱的高1AA .找到外接球的球心,由勾股定理即可求得外接球半径长,进而得球的表面积. 【详解】根据题意,设三棱柱的高1AA h =
因为三棱柱的体积为3AB =
所以ABC V S h ∆=⋅,代入可得2
34
h =⨯ 解得4h =
正三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的表面上
由球的截面性质可知,球心位于底面ABC ∆外接圆圆心的垂线上.结合棱柱的对称性可知,球心在上下底面中心连线的中点上.
底面ABC ∆的外接圆半径为r ,则由正弦定理可知2sin AB
r C =
,代入可得
332sin 60
r == 由勾股定理可知正三棱柱111ABC A B C -外接球的半径R 满足
22
2
12R r h ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,代入可得2
213472R ⎛⎫
=+⨯= ⎪⎝⎭
则由球的表面积公式可知正三棱柱111ABC A B C -外球球的表面积为
244728S R πππ==⨯=
故答案为: 4;28π
【点睛】本题考查了三棱柱的体积公式,三棱锥外接球的性质及特征,属于中档题. 三、解答题
17.等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
【答案】（1）2n a n =；（2）1
n
n + 【解析】 【分析】
（1）根据等差数列通项公式,及等比中项定义,代入公差可得关于1a 的方程,解方程求得1a ,即可求得{}n a 的通项公式.
（2）根据等差数列的求和公式可求得n S ,取倒数后利用裂项法即可求得数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项
和n T .
【详解】（1）等差数列{}n a 的公差为2,若2a ,4a ,8a 成等比数列
由等比中项定义可知2
4
28a a a =, 结合等差数列通项公式可得()()()2
1116214a a a +=++,解得12a =.
所以{}n a 的通项公式()2122n a n n =+-⨯=. （2）由（1）可得()()112
n n n
S a a n n =
+=+, 则()111111
n S n n n n ==-++. 所以111111
11223341n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11
11111123
2341n n ⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
111
n =-+ 1
n n =
+. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法,等比中项定义,等差数列前n 项和及裂项法求和的应用,属于基础题.
18.经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以x （单位：t ，100≤x ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
（Ⅰ）将T 表示为x 的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率.
【答案】（Ⅰ）80039000,100130
{65000,130150
x x T x -≤<=≤≤（Ⅱ）0.7
【解析】
试题分析：（I ）由题意先分段写出，当X∈[100，130）时，当X∈[130，150）时，和利润值，
最后利用分段函数的形式进行综合即可．
（II ）由（I ）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．再由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值．
解：（I ）由题意得，当X∈[100，130）时，T=500X ﹣300（130﹣X ）=800X ﹣39000， 当X∈[130，150]时，T=500×130=65000， ∴T=
．
（II ）由（I ）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120≤X≤150． 由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，
所以下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7． 考点：频率分布直方图．
19.如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．
（1）证明：PO ⊥平面ABC ；
（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．
【答案】（1）详见解析（2）5
5
． 【解析】
分析：（1）连接OB ，欲证PO ⊥平面ABC ，只需证明,PO AC PO OB ⊥⊥即可；（2）过点C 作CH OM ⊥，垂足为M ，只需论证CH 的长即为所求，再利用平面几何知识求解即
可.
详解：（1）因为AP =CP =AC =4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP =23．
连结OB ．因为AB =BC =
2
AC
，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB =12AC =2． 由222OP OB PB +=知，OP ⊥OB ． 由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．
（2）作CH ⊥OM ，垂足为H ．又由（1）可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ． 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离． 由题设可知OC =
12AC =2，CM =23BC =42
3
，∠ACB =45°． 所以OM 25
，CH =sin OC MC ACB OM ⋅⋅∠=45．
所以点C 到平面POM 45
点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.
20.已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b +=>>，四点()11,1P ，()20,1P ，32P ⎛- ⎝⎭，42P ⎛ ⎝⎭
中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；
（2）设C 的短轴端点分别为A ，B ，直线l ：()1y x t t =+≠±交C 于M ，N 两点，交y 轴于D 点，若DM DN DA DB λ⋅=⋅，求实数λ的值.
【答案】（1）2
212x y +=；（2）43
【解析】 【分析】
（1）根据所给四个点的坐标可知3P ,4P 关于y 轴对称,当恰有三点在椭圆C 上时,椭圆必经过
3P ,4P .将坐标代入椭圆方程可得,a b 等量关系.由点和椭圆的位置关系,可判断出1P 不在椭
圆上,将2P 代入椭圆方程,即可求得,a b ,得椭圆方程.
（2）设出直线与椭圆的两个交点坐标和与y 轴的交点坐标.利用两点间距离公式可表示出
,DM DN .将直线方程与椭圆方程联立,根据两个交点可知判别式0∆≥,求得t 的取值范围.结合韦达定理表示出DM DN ⋅.根据坐标表示出DA DB ⋅,再由等量关系
DM DN DA DB λ⋅=⋅,即可消去t 求得λ的值.
【详解】（1）由于3P ,4P 关于y 轴对称,当恰有三点在椭圆C 上时,椭圆必经过3P ,4P . 所以
22
1112a b +=. 又将()11,1P 代入椭圆方程可知
2222111112a b a b
+>+=,所以C 不经过点1P , 则点2P 在椭圆上,所以代入()20,1P 可得21
1b
=,即21b = 因此22a =,
故C 的方程为2
212
x y +=.
（2）直线l :y x t =+.则()0,D t ,设与C 的两个交点分别为,()11,M x y ,()22,N x y , 则11y x t =+,22y x t =+ 由两点间距离公式可知
1DM =
2DN =
=.
将直线方程与椭圆方程联立22
12
y x t x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩,化简可得2234220x tx t ++-=. 当()
2
830t ∆=-≥时,
即t ≤
,
212223
t x x -=.
所以2124123
t DM DN x x -⋅==
.
由（1）得()0,1A -,()0,1B 所以2
111DA DB t t t ⋅=+⋅-=-.
等式DM DN DA DB λ⋅=⋅可化为
224113
t t λ-=-.
因为1t ≠±,所以43
DA DB DM DN
λ⋅=
=
⋅. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法,直线与椭圆位置关系的综合应用,韦达定理及两点间距离公式的用法,等量关系式的应用,属于难题. 21.已知函数()2
1ln 12
f x x x =
-+. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设()2
1ln 2
g x x ax x =
-+，证明：曲线()y g x =没有经过坐标原点的切线. 【答案】（1）在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增；（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）先求得导函数,根据导函数的符号即可判断单调区间.
（2）先讨论过原点的切线斜率是否存在.当斜率不存在时,切线为y 轴,分析可知不成立.当斜率存在时,可设出切线方程和切点坐标.建立方程组,判断方程组无解,即可证明不存在这样的切线.
【详解】（1）()f x 定义域为()0,∞+,
()()()111'x x f x x x x
+-=-
=
.
当01x <<时,()'0f x <, 当1x >时,()'0f x >.
所以()f x 在()0,1单调递减,在()1,+∞单调递增.
（2）因为()g x 定义域为()0,∞+,所以y 轴不是曲线()y g x =的切线.
当经过坐标原点的直线不是y 轴时,设y kx =是曲线()y g x =的切线,切点是()00,x y .
因为()2
1'g x x a x =-+,所以2
0000001ln 21x ax x kx x a k x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩
.
消去k 得2
001ln 102
x x -+=,即()00f x =.
由（1）知()f x 在1x =处取得最小值,则()()013
2
f x f ≥=>, 所以()00f x =无解.
因此曲线()y g x =没有经过坐标原点的切线.
【点睛】本题考查根据导函数判断函数的单调区间,利用导数研究曲线的切线方程,利用导数研究不等式成立问题,属于中档题.
22.在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点()2,4M --.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
sin 2cos ρθθ=. （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与C 交于A ，B 两点，且40MA MB ⋅=，求倾斜角α的值.
【答案】（1）l ：2cos 4sin x t y t αα
=-+⎧⎨=-+⎩（t 是参数），C ：2
2y x =；（2）4π
【解析】 【分析】
（1）根据直线的倾斜角和所过定点,可直接写出直线l 的参数方程;根据极坐标与直角坐标方程的转化公式,即可求得曲线C 的直角坐标方程;
（2）将参数方程与曲线方程联立,由参数方程的几何意义求得α.根据有两个交点,则判别式
>0∆,可舍去不符合要求的解.
【详解】（1）因为l 的倾斜角为α,l 过点()2,4M --,所以直线l 的参数方程是
2cos 4sin x t y t α
α=-+⎧⎨
=-+⎩
（t 是参数）. 因为2sin 2cos ρθθ=,所以22
sin 2cos ρθρθ=,
由cos x ρθ=,sin y ρθ=得曲线C 的直角坐标方程是2
2y x =.
（2）把l 的参数方程代入2
2y x =,得()22sin 2cos 8sin 200t t ααα-++=.
设A ,B 对应的参数分别为1t ,2t , 则1212
222cos 8sin 20
,sin sin t t t t αααα
++=
⋅= 由参数方程的几何意义可得则12220
sin MA MB t t α
⋅==. 而40MA MB ⋅= 所以
220
40sin α
=,0απ≤<
解得4
πα=
或34πα=
又因为有两个交点,满足()2
22cos 8sin sin 2040ααα∆⨯=-+>
化简可得2sin 8s 4in cos cos 0αααα--< 当34
π
α=时,cos 0α<,此时2sin 8s 4in cos cos 0αααα-->与上式矛盾 故4
πα
=
【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的转化,直线参数方程的表示方法及其几何意义的应用,注意根据题意舍去不符合要求的解,属于中档题. 23.已知0a >，0b >.
（1）证明：3322a b a b ab +≥+； （2）若2a b +=，求33+a b 的最小值. 【答案】（1）证明见解析（2）2
【解析】 【分析】
（1）对不等式作差,分解因式,判断作差的结果有符号,可得证.
（2）对所求的代数式分解因式得()(
)3
3
2
2
a b a b a ab b
+=+-+(
)2
23a b ab ⎡⎤=+-⎣⎦
86ab =-,
再根据基本不等式可求得最小值..
【详解】（1）()()332222a b a b ab a a b b b a +--=-+-()()
22
a b a b =--()()2
a b a b =-+.
因为0a >，0b >，所以0a b +>，而()2
0a b -≥，所以()()2
0a b a b -+≥.
于是3322a b a b ab +≥+. （2）因为2a b +=，所以
()()3322a b a b a ab b +=+-+()222a ab b =-+()2
23a b ab ⎡⎤=+-⎣⎦
86ab =-. 因为2
12a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭
，当且仅当1a b ==等号成立，所以862ab -≥.
故当1a b ==时，33+a b 取最小值2.
【点睛】本题主要是考查了不等式的证明和运用基本不等式求最值,在证明不等式时,可以运用综合法也可以运用分析法，。

一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明,属于中档题.。