高考数学赢在微点2018年 理科使用-配餐作业25

配餐作业(二十五) 正弦定理和余弦定理(基础课
)
一、选择题
1．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，且a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( )
A ．30°
B ．30°或150°
C ．60°
D ．60°或120°
解析 sin B ＝b sin A a ＝43sin30°4
＝32，又因为b >a ，所以∠B 有两个解，所以∠B ＝60°或120°。

故选D 。

答案 D
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B
＝45°，cos A ＝35，则b ＝( )
A ．53
B ．107
C ．57
D ．5214
解析 因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，所以sin C ＝sin[180°－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45cos45°＋35sin45°＝7210。

由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝172
10
×sin45°＝57。

故选C 。

答案 C
3．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶10，则cos C ＝( )
A ．33
B ．34
C ．13
D ．14
解析 依题意，不妨设sin A ＝2k ，sin B ＝3k ，sin C ＝10k ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝sin 2A ＋sin 2B －sin 2C 2sin A sin B ＝4＋9－102×2×3＝14。

故选D 。

答案 D
4．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )
A ．5
B ． 5
C ．2
D ．1
解析 由题意可得12AB ·BC ·sin B ＝12，又AB ＝1，BC ＝2，所以sin B ＝22，所以B ＝45°或B ＝135°。

当B ＝45°时，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去，所以B ＝135°。

由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝5。

故选B 。

答案 B
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c ，(b
＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状是( )
A ．直角三角形
B ．等腰非等边三角形
C ．等边三角形
D ．钝角三角形
解析 因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝a c ，所以b ＝c 。

又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝
3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12。

因为A ∈(0，
π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形。

故选C 。

答案 C
6．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。

若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )
A ．a ＝2b
B ．b ＝2a
C ．A ＝2B
D ．B ＝2A
解析 sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋(sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B ，所以2sin B ＝sin A ，所以a ＝2b 。

故选A 。

答案 A
二、填空题
7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。

若c ＝4，sin C
＝2sin A ，sin B ＝154，则S △ABC ＝________。

解析 因为sin C ＝2sin A ，由正弦定理可得c ＝2a ，因为c ＝4，所以a
＝2，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×4×154＝15。

答案 15
8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝2b ＝2，a ＝2sin A ，则此三角形的面积S △ABC ＝________。

解析 由题意得，b sin B ＝a sin A ＝2，而b ＝1，所以sin B ＝12。

又2b ＝a
＋c ，所以b 不是最长边，所以B 不可能是钝角，所以cos B ＝32。

而cos B
＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a ＋c )2－2ac －b 22ac
＝3－2ac 2ac ，所以3－2ac 2ac ＝32，所以ac ＝32＋3
＝6－33，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝6－334。

答案 6－334
9．(2018·抚州联考)在△ABC 中，D 为线段BC 上一点(不与端点重合)，
∠ACB ＝π3，AB ＝7，AC ＝3，BD ＝1，则AD ＝________。

解析 在△ABC 中，cos π3＝AC 2＋BC 2－AB 22·AC ·BC
，化简得BC 2－3BC ＋2＝0，得BC ＝1(舍去)或BC ＝2，所以CD ＝BC －BD ＝1。

在△ACD 中，AD 2＝9
＋1－2×1×3×12＝7，则AD ＝7，故答案为7。

答案 7
三、解答题
10．(2017·北京高考)在△ABC 中，A ＝60°，c ＝37a 。

(1)求sin C 的值。

(2)若a ＝7，求△ABC 的面积。

解 (1)在△ABC 中，因为A ＝60°，c ＝37a ，
所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314。

(2)因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3。

由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A
得72＝b 2＋32－2b ×3×12，
解得b ＝8或b ＝－5(舍去)。

所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝63。

11．(2017·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，
b ，
c 。

已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35。

(1)求b 和sin A 的值。

(2)求sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2A ＋π4的值。

【命题立意】
本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦、余弦公式，两角和的正弦公式以及正弦定理，余弦定理等基础知识，考查运算求解能力。

解三角形的题目的突破口是通过审题确定用哪个定理更合适，或两个定理都要用，抓住能用某个定理的关键点。

一般地，如果式子中含有角的余弦值或边的二次式时，考虑用余弦定理，如果含有角的正弦或边的一次式，或齐次式则考虑用正弦定理。

解 (1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45。

由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13。

由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313。

所以b 的值为13，sin A 的值为31313。

(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，
所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513。

故sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos2A sin π4＝7226。

1．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a sin B ＋b sin A
＝2c ，则△ABC 的形状是( )
A ．等边三角形
B ．锐角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
解析因为a
sin B＋
b
sin A＝2c，所以由正弦定理可得
sin A
sin B＋
sin B
sin A＝2sin C，
而sin A
sin B＋
sin B
sin A≥2
sin A
sin B·
sin B
sin A＝2，当且仅当sin A＝sin B时取等。

所以
2sin C≥2，即sin C≥1。

又sin C≤1，故可得sin C＝1，所以∠C＝90°。

又因为sin A＝sin B，所以A＝B，故三角形为等腰直角三角形。

故选C。

答案 C
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边的长分别是x＋1，x，x－1，且A＝2C，则△ABC的周长为________。

解析由正弦定理得x－1
sin C＝
x＋1
sin A，又A＝2C，所以
x－1
sin C＝
x＋1
sin2C，所以
cos C＝
x＋1
2(x－1)
，①又cos C＝
(x＋1)2＋x2－(x－1)2
2x(x＋1)
，②所以由①②得x
＝5，所以△ABC的三边分别是6,5,4，所以△ABC的周长为15。

答案15
3．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。

已知△ABC的面积为
a2
3sin A。

(1)求sin B sin C。

(2)若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长。

【命题立意】
本题主要考查三角形的面积公式，正弦定理，余弦定理，两角和的余弦公式，意在考查考生分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力。

解决本题注意：(1)首先利用三角形的面积公式可得1
2ac sin B＝
a2
3sin A，
然后利用正弦定理，把边转化成角可得sin B sin C的值；(2)首先利用sin B sin C 的值以及题目中给出的6cos B cos C＝1，结合两角和的余弦公式求出B＋C，进而求出A，然后利用三角形的面积公式和a的值求出bc的值，最后利用
余弦定理求出b ＋c ，进而求出△ABC 的周长。

解 (1)由题设得12ac sin B ＝a 2
3sin A ，
即12c sin B ＝a 3sin A 。

由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A 。

故sin B sin C ＝23。

(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，
即cos(B ＋C )＝－12。

所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3。

由题设得12bc sin A ＝a 2
3sin A ，即bc ＝8。

由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，
即(b ＋c )2－3bc ＝9，得b ＋c ＝33。

故△ABC 的周长为3＋33。

4．(2018·福州质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ctanC ＝3(a cos B ＋b cos A )。

(1)求角C 。

(2)若c ＝23，求△ABC 面积的最大值。

解 (1)因为ctanC ＝3(a cos B ＋b cos A )，
所以sin CtanC ＝3(sin A cos B ＋sin B cos A )，
所以sin CtanC ＝3sin(A ＋B )＝3sin C ，
因为0<C <π，所以sin C ≠0，
所以tanC ＝3，即C ＝π3。

(2)因为c ＝23，C ＝π3，
由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得12＝a2＋b2－ab≥2ab－ab，
所以ab≤12，所以S△ABC＝1
2ab sin C≤33，
当且仅当a＝b＝23时，
△ABC的面积取得最大值33。