北师大版2019高中数学选修2-1精练：第一章 常用逻辑用语 1.2 _含答案

§2充分条件与必要条件
课后训练案巩固提升
A组
1.“x<0”是“ln(x+1)<0”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由ln(x+1)<0得-1<x<0,故选B.
答案:B
2.设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点P(2,3)∈[A∩(∁U B)]的充要条件是()
A.m>-1,n<5
B.m<-1,n<5
C.m>-1,n>5
D.m<-1,n>5
解析:∁U B={(x,y)|x+y-n>0},
∵点P(2,3)∈[A∩(∁U B)],∴(2,3)∈A,且(2,3)∈∁U B,即2×2-3+m>0,且2+3-n>0,∴m>-1,n<5.
答案:A
3.已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列结论中正确的是()
①Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充分条件;
②Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的必要条件;
③Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件.
A.③
B.①②
C.①②③
D.②③
解析:Δ=b2-4ac≥0是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根的充要条件.
∵当Δ=b2-4ac>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两相异实根;
Δ=b2-4ac=0时,方程有两相等实根,故上述结论均正确.
答案:C
4.下面命题中是真命题的是()
A.x>2,且y>3是x+y>5的充要条件
B.A∩B≠⌀是A⫋B的充分条件
C.b2-4ac<0是一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R的充要条件
D.一个三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形
解析:对于选项A,x>2,且y>3⇒x+y>5,但x+y>5未必能推出x>2,且y>3,如x=0,且y=6满足x+y>5,但不满足x>2,故A为假命题.
对于选项B,A∩B≠⌀未必能推出A⫋B,如A={1,2},B={2,3},故B为假命题.
对于选项C,例如一元二次不等式-2x2+x-1>0的解集为⌀,但满足b2-4ac<0,故C为假命题.
答案:D
5.设数列{a n}是公比为q的等比数列,则“0<q<1”是“{a n}为递减数列”的()
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:数列{a n}是公比为q的等比数列,则a n=·q n.若0<q<1,当a1<0时,{a n}为递增数列.若{a n}为递减数列,当a1<0时,q>1(仅对q>0的情况讨论).故选D.
答案:D
6.已知p:A⫋B⊆S,q:(∁S B)⫋(∁S A),则p是q的条件.
解析:利用集合的图示法,如图,A⫋B⊆S⇒(∁S B)⫋(∁S A),(∁S B)⫋(∁S A)⇒A⫋B⊆S.
∴p是q的充分条件,也是必要条件,即p是q的充要条件.
答案:充要
7.下列各小题中,p是q的充要条件的是.(填写正确命题的序号)
①p:m<-2或m>6;q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点;
②p:=-1;q:y=f(x)是奇函数;
③p:cos α=cos β;q:tan α=tan β;
④p:A∩B=A;q:∁U B⊆∁U A.
解析:若y=x2+mx+m+3有两个不同的零点,则m2-4(m+3)>0,解得m<-2或m>6.反之也成立,故①正确;
对于②,函数f(x)=sin x是奇函数,它不全满足=-1,故②不满足;
对于③,当α=β=时,cos α=cos β成立,但tan α=tan β不成立;
对于④,∵A∩B=A,∴A⊆B,∁U B⊆∁U A,反之也成立,故④正确.
答案:①④
8.是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件?如果存在,求出p的取值范围.
解由x2-x-2>0,得x>2或x<-1.由4x+p<0,得x<-.要想使当x<-时,x>2或x<-1成立,必须有-≤-1,即p≥4,所以
当p≥4时,-≤-1⇒x<-1⇒x2-x-2>0,所以当p≥4时,“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件.
9.导学号90074004求关于x的方程x2-mx+3m-2=0的两根均大于1的充要条件.
解设方程的两根分别为x1,x2,则原方程有两个大于1的根的充要条件是
即
又∵x1+x2=m,x1x2=3m-2,
∴
故所求的充要条件为m≥6+2.
B组
1.设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁U C”是“A∩B=⌀”的()
A.充分不必要的条件
B.必要不充分的条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
如图可知,存在集合C,使A⊆C,B⊆∁U C,则有A∩B=⌀.若A∩B=⌀,显然存在集合C.满足A⊆C,B⊆∁U C.故选C.
答案:C
2.已知a,b是实数,则“|a+b|=|a|+|b|”是“ab>0”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:因为|a+b|=|a|+|b|,等价于a2+2ab+b2=a2+2|ab|+b2,等价于|ab|=ab,等价于ab≥0.而由ab≥0不能推出ab>0;由ab>0能推出ab≥0.即由|a+b|=|a|+|b|不能推出ab>0;由ab>0能推出|a+b|=|a|+|b|.故选B.
答案:B
3.函数f(x)=x2+mx+1的图像关于直线x=1对称的充要条件是()
A.m=-2
B.m=2
C.m=-1
D.m=1
解析:当m=-2时,f(x)=x2-2x+1,其图像关于直线x=1对称,反之也成立,所以函数f(x)=x2+mx+1的图像关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.
答案:A
4.设p是q的充分不必要条件,r是q的必要不充分条件,s是r的充要条件,则s是p的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由题可知,p⇒q⇒r⇔s,则p⇒s,s p,故s是p的必要不充分条件.
答案:B
5.方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是()
A.0<a≤1
B.a<1
C.a≤1
D.0<a≤1或a<0
解析:(1)当a=0时,原方程变形为一元一次方程,其根为x=-,符合要求;(2)当a≠0时,原方程为一元二次方程,它有实根的充要条件是判别式Δ≥0,即4-4a≥0,从而a≤1.又设方程ax2+2x+1=0的根为x1,x2,则由根与系数的关系知x1+x2=-,x1·x2=.
①方程ax2+2x+1=0有一个负根的充要条件是⇒a<0.
②方程ax2+2x+1=0有两个负根的充要条件是⇒0<a≤1.
综上所述,ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是a≤1.
答案:C
6.给出下列命题:
①“a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件;
②“lg a=lg b”是“a=b”的必要不充分条件;
③若x,y∈R,则“|x|=|y|”是“x2=y2”的充要条件;
④“sin α>sin β”是“α>β”的充分不必要条件.
其中真命题是(填序号).
解析:①因为a>b推不出a2>b2,a2>b2推不出a>b,所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件;②lg a=lg b可推出a=b,但a=b推不出lg a=lg b,如a=b=-2,所以“lg a=lg b”是“a=b”的充分不必要条件;易知③正确;④当
α=,β=π时,sin α==sin β,但α<β,所以sin α>sin β推不出α>β,反之α>β也推不出sin α>sin β,所以“sin α>sin β”是“α>β”的既不充分也不必要条件.
答案:③
7.导学号90074005设α,β,γ为平面,m,n,l为直线,则对于下列条件:①α⊥β,α∩β=l,m⊥l;②
α∩γ=m,α⊥β,γ⊥β;③α⊥γ,β⊥γ,m⊥α;④n⊥α,n⊥β,m⊥α.
其中为m⊥β的充分条件的是.(将正确的序号都填上)
解析:①α⊥β,α∩β=l,m⊥l m⊥β;
②α∩γ=m,α⊥β,γ⊥β⇒m⊥β;
③α⊥γ,β⊥γ⇒α与β可能相交也可能平行,故α⊥γ,β⊥γ,m⊥αm⊥β;
④由n⊥α,n⊥β得α∥β,又m⊥α,所以m⊥β.
答案:②④
8.已知集合A=,B={x|x+m2≥1};命题p:x∈A,命题q:x∈B,并且命题p是命题q的充分条件,求实数m的取值范围.
解化简集合A,由y=x2-x+1,
配方,得y=.
∵x∈,∴y min=,y max=2.
∴y∈.∴A=.
化简集合B,由x+m2≥1,
得x≥1-m2,∴B={x|x≥1-m2}.
∵命题p是命题q的充分条件,∴A⊆B.
∴1-m2≤,解得m≥或m≤-.∴实数m的取值范围是.
9.两个数列{a n}和{b n},满足b n=(n∈N+).证明:{b n}为等差数列的充要条件是{a n}为等差数列.
证明必要性:
由已知得a1+2a2+3a3+…+na n=n(n+1)b n,①
于是有a1+2a2+3a3+…+(n-1)a n-1=n(n-1)·b n-1(n≥2).②
①-②整理得
a n=(n+1)
b n-(n-1)b n-1(n≥2).
设{b n}的公差为d,由已知得a1=b1,
所以
a n=(n+1)[a1+(n-1)d]-(n-1)[a1+(n-2)d]=[(n+1)a1+(n+1)(n-1)d-(n-1)a1-(n-1)(n-2)d]=a1+(n-1)·
,
故数列{a n}是首项为a1,公差为的等差数列.
充分性:
由已知得n(n+1)b n=a1+2a2+3a3+…+na n.(*)
设等差数列{a n}的公差为d,则
a1+2a2+3a3+…+na n=a1+2(a1+d)+3(a1+2d)+…+n[a1+(n-1)d]
=a1(1+2+3+…+n)+d(22-2+32-3+…+n2-n)
=a1·+d
=a1·+d·.
再结合(*)式得b n=a1+(n-1)d.故数列{b n}是以a1为首项,以d为公差的等差数列.
综上,{b n}为等差数列的充要条件是{a n}为等差数列.。