《菱形的判定》教案

19．2.2 菱形的判定
一、教学目标
1．经历探究菱形判定条件的过程，通过操作、观察、猜想、证明的过程，•培养学生的科学探索精神．
2．探索并掌握菱形的判定方法．
3．利用菱形的判定方法进行合理的论证和计算．
二、教学重点菱形的判定方法．
教学难点探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算．
教具准备多媒体课件．把中点固定在一起的两根细木条．
三、教学过程
一、创设问题情境，引入新课
想一想：菱形和矩形分别比平行四边形多了哪些性质？怎样判定一个四边形是矩形？
〔让学生回忆并说出菱形和矩形各自的性质，教师用比照的形式播放课件〕
矩形菱形
性质1．四个角都是直角1．四条边都相等2．对角线相等2．对角线互相垂直
且平分一组对角
判定1．有一个角是直角的平行四边形2．三个角是直角的四边形
3．角线相等的平行四边形
师：看看上表，大家可以猜到，我们就研究如何判定一个四边形是菱形的问题．
二、探究菱形的判定条件
生：可以用菱形的定义判定．也就是说：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
师：很好．大家再用类比的方法想一想，受矩形判定条件的启发，你对菱形的判定条件有什么猜想．
生甲：矩形定义是平行四边形根底上限制角，于是有“三个角是直角的四边形是矩形〞；
菱形的定义是平行四边形根底上限制边，是不是可以得到：“四条边都相等的四边形是菱形〞呢？
生乙：矩形的对角线相等，于是有对角线相等的平行四边形是矩形；菱形的对角线互相垂直，是不是可以猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
师：猜得有理．下面请大家做一做，看有什么新发现．
操作要求：
用一长一短的两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉；做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋〔如图〔1〕〕，做成一个四边形，转动木条，•这个四边形什么时候变成菱形？
学生活动：
通过操作、观察、思考、讨论最后发现并证明猜想和观察到的结论．
生甲：将中点固定在一起，说明对角线互相平分，所以这是一个平行四边形． 生乙：转动十字架，变成菱形时，看起来对角线要互相垂直．
生丙：那就是说对角线垂直的平行四边形是菱形．
生乙：我觉得也可以说成：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
生甲：是的，这两种说法都对．对角线平分能得到平行四边形嘛．
师：同学们的研究和分析合情合理，能不能证明这个命题呢？
生：能：如图〔1〕〔b 〕
90OB OD
AO AO AOB AOD =⎫⎪=⇒⎬⎪∠=∠=︒⎭
△AOB ≌△AOD ⇒AB=AD ．
又四边形ABCD 是平行四边形，
∴四边形ABCD 是菱形．
师：大家做得很好．这样，我们就得到了一个变形的判定定理．
判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
推论：对角线互相垂直，平分的四边形的是菱形．
应用举例：
【例3】如图
ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AB=5，AO=4，BO =3，求证ABCD 是
菱形． 证明：∵AB=5，AO=4，BO=3，
∴AB 2=AO 2+BO 2
．
∴△AOB 是直角三角形．
∴A C ⊥BD ．
∴ABCD 是菱形． 议一议：以下方法画菱形采取什么原理？
先画两条等长的线段AB 、AD ，然后分别以B 、D 为圆心，AB 为半径画弧，•得到两弧的交点C ，连接BC 、CD ，就画出一个菱形ABCD ．
学生活动：
1．按要求画出四边形ABCD ，发现它是菱形，产生直观感受．
2．证明四边形ABCD 是菱形．
AB DC ABCD AD AB BC AB AD =⎫⎫⇒⎬⎪==⎭⎪⎪⇒⎬⎪=⎪⎪⎭
四边形是平行四边形四边形ABCD 是菱形． 师生总结：得菱形的第二个判定方法：
判定定理2：四边相等的四边形是菱形．
师：我们通过类比的方法得出的菱形的判定方法．请同学们完成开课时给的表格．〔老师再次播放课件，加深学生对菱形、矩形的性质和判定的理解〕
做一做：判断以下命题是否正确，并说明理由．
〔1〕对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形．
〔2〕两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形．
〔3〕邻角相等的四边形是菱形．
〔4〕有一组邻边相等的四边形是菱形．
〔5〕两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形．
〔6〕对角线互相垂直的四边形是菱形．
〔7〕对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
引导学生懂这类问题的解决方法是：认为正确的命题要进行证明，认为错误的命题要举出反例．最后得出：〔1〕〔2〕〔5〕〔7〕是正确的，其余是错误命题．
三、随堂练习
课本练习
2．解：如图,∵AB=9，AO=1
2
AC=6，BO=
1
2
BD=35．且92=62+〔35〕2．
∴AB2=AO2+BO2．
∴△AOB是直角三角形．∴AC⊥BD，
∴ABCD是菱形．
∴S菱形ABCD=1
2
AC·BD=
1
2
×12×65=365．
3．如图，因为纸条等宽，所以△ABC以BC为底的高和以AB为底的高相等，•所以AB=BC．纸条交叉重叠在一起可得：AB∥CD，AD∥BC．
所以四边形ABCD是平行四边形．
因此可得重合的四边形ABCD是一个菱形．
四、课时小结
〔引导学生归纳总结菱形的判定方法，通过课件演示逐渐得出下表．让学生从图形的变化中形象地看到被判定图形是四边形还是平行四边形，它们各要具备什么条件才是菱形，从中领悟到各种图形之间的内在联系〕．
五、课后作业
1．习题
2．预习正方形的判定
板书设计。