北师大版八年级数学下册第一章课时作业(十)

链接听课例2归纳总结
B．△ABC的三边的垂直平分线的交点处
C．△ABC的三条角平分线的交点处
D．△ABC的三条高所在直线的交点处
图K－10－1
课时作业(十)
[解析] C 根据角平分线的判定定理，在角的内部，到角的两边距离相 等的点在此角的平分线上，所以到三角形三边的距离相等的点在△ABC的 三条角平分线的交点处．
课时作业(十)
三、解答题
6．如图K－10－5，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交
于点O.
(1)求证：点O在∠A的平分线上；
(2)求∠BOC与∠A的关系式．
链接听课例3归纳总结
图K－10－5
课时作业(十)
解： (1)证明：如图，过点O作OD⊥BC于点D，作OE⊥AC于点 E，作OF⊥AB于点F. ∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OF⊥AB， ∴OD＝OF. 同理，OD＝OE. ∴OE＝OF. 又∵OE⊥AC，OF⊥AB， ∴点O在∠A的平分线上．
课时作业(十)
5．如图K－10－4，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角 ∠ABC的平分线BP相交于点P.若∠BPC＝40°，则∠CAP＝ ____5_0___°.
图K－10－4
课时作业(十)
[解析]过点P分别作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，垂足分别为N，F，M. 设∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN. ∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN， ∴PF＝PM，∴AP平分∠CAF. ∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝(x－40)°， ∴∠BAC＝∠ACD－∠ABC＝(2x)°－(x－40)°－(x－40)°＝80°， ∴∠CAF＝100°，∴∠FAP＝∠CAP＝50°. [点评]此题主要考查了角平分线的性质、判定以及三角形外角的性质等知 识，根据角平分线的性质定理得出PM＝PN＝PF是解决问题的关键．
第一章 三角形的证明
课时作业(十)
第一章 三角形的证明
课时作业(十)
[第一章 4 第2课时 三角形三条内角平分线]
课堂达标 素养提升
课时作业(十)
课堂达标
一、选择题
1．三角形中到三边的距离相等的点是( D ) A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条中线的交点 D．三条角平分线的交点
[解析] D 利用角平分线上的点到角的两边的距离相等，可知三角形中到 三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．故选D.
课时作业(十)
2．如图K－10－1所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一
座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭
的位置应选在( C ) A．△ABC的三条中线的交点处
图K－10－6
课时作业(十)
解： 在OP上任找一点E，过点E分别作EC⊥OM于点C， ED⊥ON于点D，可得△OEC与△OED是以OP为对称轴的全等 三角形，如图所示．(答案不唯一) (1)FE＝FD. (2)仍然成立． 证明：过点F作FG⊥AB于点G， 作FH⊥BC于点H，作FK⊥AC于点K. ∵AD，CE分别是∠BAC，∠ACB的平分线， ∴FG＝FH＝FK.
图K－10－6
课时作业(十)
(1)如图K－10－6②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°， AD，CE分别是∠BAC，∠ACB的平分线，AD，CE相交于点F. 请你判断FE与FD之间的数量关系(不需要证明)．
图K－10－6
课时作业(十)
(2)如图K－10－6③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而 (1)中的其他条件不变，则你在(1)中所得到的结论是否仍然成立？ 若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
课时作业(十)
二、填空题
4．如图K－10－3，在△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的 平分线，DE⊥AB于点E，AC＝8 cm，AE＝4 cm，则DE的长是 ___3___cm.
图K－10－3
课时作业(十)
[解析] ∵在△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB， ∴CD＝DE. 再设DE＝x cm，则CD＝x cm，AD＝(8－x)cm. 在Rt△ADE中， ∵AE2＋DE2＝AD2， 即42＋x2＝(8－x)2， 解得x＝3. 故答案为3.
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课时作业(十)
在四边形 BGFH 中，∠GFH＝360°－60°－90°×2＝120°. ∵AD，CE 分别是∠BAC，∠ACB 的平分线，∠B＝60°， ∴∠FAC＋∠FCA＝12×(180°－60°)＝60°. 在△AFC 中，∠AFC＝180°－(∠FAC＋∠FCA)＝180°－60°＝120°， ∴∠EFD＝∠AFC＝120°，∴∠EFD＝∠GFH，∴∠EFG＝∠DFH. 在△EFG 和△DFH 中， ∵∠EFG＝∠DFH，FG＝FH，∠EGF＝∠DHF＝90°， ∴△EFG≌△DFH(ASA)，∴FE＝FD.
课时作业(十)
3．如图K－10－2，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，
50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等
于( D )
链接听课例3归纳总结A．1∶2∶3B来自2∶3∶4C．3∶4∶5
D．4∶5∶6
图K－10－2
课时作业(十)
[解析] D 如图， 过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F. ∵三条角平分线交于点O，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC， ∴OD＝OE＝OF， ∴S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝AB∶BC∶CA＝4∶5∶6. 故选D.
课时作业(十)
(2)∵BO 平分∠ABC， ∴∠OBC＝12∠ABC. 同理∠OCB＝12∠ACB， ∴∠BOC＝180°－12(∠ABC＋∠ACB)＝180°－12(180°－∠A)＝90°＋ 12∠A.
课时作业(十)
素养提升
探究性问题如图K－10－6①，OP是∠MON的平分线，请你利用该 图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个 作全等三角形的方法，解答下列问题：