数学七年级下册 第5章 《相交线与平行线》 常考题型训练(四)(含答案)

七年级下册《相交线与平行线》
常考题型训练（四）
1．如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
（3）若AF平分∠BAD，试说明：∠E+∠F＝90°．
2．如图1，已知点A，点D在BC上方，过点A，D分别作CD，AB的平行线，两条平行线交于点M（点M在BC下方），且与BC分别交于E，F两点，连结AD．
（1）∠BAM与∠CDM相等吗？请说明理由．
（2）根据题中条件，判断∠AEF，∠DFE，∠BAE三个角之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，Q是AD下方一点，连结AQ，DQ，且∠DAQ＝∠BAD，∠ADQ＝∠ADC，若∠AQD＝112°，请直接写出∠BAE的度数．
3．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，AC∥BD，点E为直线AC上方一点，连接CE、DE，猜想∠C、∠D、∠E的数量关系，并证明．
小明发现，可以过点E作MN∥AC来解决问题，如图2，请你完成解答；
用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：
如图3，AB∥CD，P是平面内一点，连接AP、CP，使AP∥BD，∠APC＝100°，BM、CM分别平分∠ABD、∠DCP交于点M，求∠M的度数．
4．（1）已知：如图1，直线AB∥CD，点E是AB、CD之间的一点，连接BE、DE得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D，（提示：过E作EF平行AB）
（2）已知：直线AB∥CD，直线MN分别与AB、CD交于点E、F．
①如图2，∠BEF和∠EFD的平分线交于点G．猜想∠G的度数，并证明你的猜想；
②如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于
点G1和G2．求证：∠FG1E+∠G2＝180°．
5．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：∠GDC ＝∠B．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90°（），
∴EF∥AD（），
∴+∠2＝180°（）．
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3（），
∴AB∥（），
∴∠GDC＝∠B（）．
6．如图，直线AB、CD相交于O，∠EOC＝90°，OF是∠AOE的角平分线，∠COF＝34°，求∠BOD的度数．
其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤．
解：∵∠EOC＝90°
∠COF＝34°（）
∴∠EOF＝°
∵OF是∠AOE的角平分线
∴∠AOF＝＝56°（）
∴∠AOC＝°
∵∠AOC+＝90°
∠BOD+∠EOB＝90°
∴∠BOD＝∠AOC＝°（）
7．如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE．（1）写出∠BOE的余角；
（2）若∠COF的度数为29°，求∠BOE的度数．
8．如图，已知，BC∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，试回答下列问题：
（1）如图1，求证：OC∥AB；
（2）如图2，点E、F在线段BC上，且满足∠EOB＝∠AOB，并且OF平分∠BOC：
①若平行移动AB，当∠BOC＝6∠EOF时，求∠ABO；
②若平行移动AB，那么的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；
若不变，求出这个比值．
9．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点，（1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系；
（2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；
（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求的值．
10．平面内两条直线EF、CD相交于点O，OA⊥OB，OC恰好平分∠AOF．（1）如图1，若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；
（2）在图1中，若∠AOE＝x°，请求出∠BOD的度数（用含有x的式子表示），并写出∠AOE和∠BOD的数量关系；
（3）如图2，当OA，OB在直线EF的同侧时，∠AOE和∠BOD的数量关系是否会发生改变？若不变，请直接写出它们之间的数量关系；若发生变化，请说明理由．
参考答案
1．解：（1）AD∥BC，
理由是：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°，∴∠ADF＝∠BCF，
∴AD∥BC；
（2）AB∥EF，
理由是：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE，
∵∠ABC＝2∠E，
∴∠ABE＝∠E，
∴AB∥EF；
（3）∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD，
∴∠ABE＝ABC，∠BAF＝∠BAD，
∴∠ABE+∠BAF＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣90°＝90°＝∠EOF，
∴∠E+∠F＝180°﹣∠EOF＝90°．
2．解：（1）∵AB∥DF，CD∥AM，
∴∠BAM＝∠M，∠CDM＝∠M，
∴∠BAM＝∠CDM；
（2）∵∠AEF+∠MEF＝180°，∠DFE+∠MFE＝180°，∴∠AEF+∠MEF+∠DFE+∠MFE＝360°，
又∴∠MEF+∠MFE＝180°﹣∠M，
∴∠AEF+∠DFE+180°﹣∠M＝360°，
即∴∠AEF+∠DFE﹣∠M＝180°，
∵∠M＝∠BAE，
∴∠AEF+∠DFE﹣∠BAE＝180°，
（3）∵∠DAQ+∠ADQ+∠AQD＝180°，∠AQD＝112°，
∴∠DAQ+∠ADQ＝180°﹣112°＝68°，
∵∠DAQ＝∠BAD，∠ADQ＝∠ADC，
∴∠BAD+∠ADC＝68°×3＝204°，
又∵∠BAD+∠ADC+∠B+∠C＝360°，
∵∠B+∠C＝360°﹣204°＝156°，
∵∠B＝∠DFC，
∴∠CDF＝180°﹣156°＝24°，
∴∠CDF＝∠M＝∠BAE＝24°．
3．证明：（1）∠D═∠C+∠E（图）∠D═∠C+∠DEC（图2）过点E作MN∥AC，
∴∠C═∠CEN．
又∵AC∥BD，
∴MN∥BD，
∴∠D═∠DEN
又∵∠DEN═∠DEC+∠CEN，．
∴∠D═∠C+∠DEC
（2）如图所示，AP与CD，CD与BM分别相交于点E、F两点，∵BM、CM分别平分∠ABD、∠DCP，
∴∠MBD＝∠MBA＝∠ABD，∠MCP＝∠MCD═∠PCE．又∵AB∥CD，
∴∠D+∠DBA＝180°．
又∵AP∥BD，
∴∠AED+∠D＝180°，
∵∠DBA＝∠AED，
又∵∠AED＝∠PEC
∴∠CEP＝∠DBA
∴∠MBA═∠CEP．
又∵∠ABF＝∠BFD，∠BFD＝∠CFM，
∴∠ABF＝∠CFM＝∠ABD＝∠CEP．
又∵△CEP中，∠P＝100°
∴∠PCE+∠PEC＝180°﹣100°＝80°，
∴∠CEP+∠PCE＝（∠PCE+∠PEC）＝×80°＝40°，∴∠MCF+∠MFC＝40°，
∴∠M＝180°﹣（∠MCF+∠MFC）＝180°﹣40°＝140°．
4．（1）证明：如图1过点E作EF∥AB，
则有∠BEF＝∠B．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠FED＝∠D．
∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
即∠BED＝∠B+∠D；
（2）①解：如图2所示，猜想：∠EGF＝90°；
证明：由材料中的结论得∠EGF＝∠BEG+∠GFD，
∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，
∴∠BEF＝2∠BEG，∠EFD＝2∠GFD，
∵BE∥CF，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴2∠BEG+2∠GFD＝180°，
∴∠BEG+∠GFD＝90°，
∵∠EGF＝∠BEG+∠GFD，
∴∠EGF＝90°；
②解法一：
证明：如图3，过点G1作G1H∥AB，
∵AB∥CD，∴G1H∥CD，
由结论可得∠G2＝∠1+∠3，∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，
∴∠3＝∠G2FD，
∵FG2平分∠EFD，
∴∠4＝∠G2FD，
∵∠1＝∠2，
∴∠G2＝∠2+∠4，
∵∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，
∴∠EG1F+∠G2＝∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD＝∠BEF+∠EFD，∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠EG1F+∠G2＝180°．
解法二：证明：由结论可得∠G2＝∠1+∠G2FD
∵FG2平分∠EFD，
∴∠EFG2＝∠G2FD，
∵∠EG1F+∠EG1G2＝∠EG1F+∠2+∠EFG2＝180°，
∴∠EG1G2＝∠2+∠EFG2，
∵∠1＝∠2，
∴∠G2＝∠EG1G2，
∴∠EG1F+∠G2＝180°
5．解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90°（垂直的定义），
∴EF∥AD（同位角相等两直线平行），
∴∠1+∠2＝180°（两直线平行同旁内角互补），
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3 （同角的补角相等），
∴AB∥DG（内错角相等两直线平行），
∴∠GDC＝∠B（两直线平行同位角相等）．
故答案为：垂直的定义，同位角相等两直线平行，∠1，两直线平行同旁内角互补，同角的补角相等，DG，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等．
6．解：∵∠EOC＝90°，
∠COF＝34°（已知），
∴∠EOF＝56°，
∵OF是∠AOE的角平分线，
∴∠AOF＝∠EOF＝56°（角平分线的定义），
∴∠AOC＝22°，
∵∠AOC+∠EOB＝90°，
∠BOD+∠EOB＝90°，
∴∠BOD＝∠AOC＝22°（同角的余角相等），
故答案为：已知；56；∠EOF；角平分线的定义；22；∠EOB；同角的余角相等．7．解：（1）∵直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，
∴∠BOD＝∠AOC，∠DOE＝90°，
∴∠BOE+∠BOD＝90°，
∴∠BOE+∠AOC＝90°，
∴∠BOE的余角是∠BOD和∠AOC；
（2）∵∠COF＝29°，∠COE＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣29°＝61°，
又OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝122°，
∵∠BOE+∠AOE＝180°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝58°．
8．（1）证明：∵BC∥OA，
∴∠C+∠COA＝180°，∠BAO+∠ABC＝180°，
∵∠C＝∠BAO＝100°，
∴∠COA＝∠ABC＝80°，
∴∠COA+∠OAB＝180°，
∴OC∥AB；
（2）①如图②中，设∠EOF＝x，则∠BOC＝6x，∠BOF＝3x，∠BOE＝∠AOB＝4x，∵∠AOB+∠BOC+∠OCB＝180°，
∴4x+6x+100°＝180°，
∴x＝8°，
∴∠ABO＝∠BOC＝6x＝48°．
如图③中，设∠EOF＝x，则∠BOC＝6x，∠BOF＝3x，∠BOE＝∠AOB＝2x，
∵∠AOB+∠BOC+∠OCB＝180°，
∴2x+6x+100°＝180°，
∴x＝10°，
∴∠ABO＝∠BOC＝6x＝60°．
综上所述，满足条件的∠ABO为48°或60°；
②∵BC∥OA，∠C＝100°，
∴∠AOC＝80°，
∵∠EOB＝∠AOB，
∴∠COE＝80°﹣2∠AOB，
∵OC∥AB，
∴∠BOC＝∠ABO，
∴∠AOB＝80°﹣∠ABO，
∴∠COE＝80°﹣2∠AOB＝80°﹣2（80°﹣∠ABO）＝2∠ABO﹣80°，∴＝＝2，
∴平行移动AB，的值不发生变化．
9．解：（1）∠C＝∠1+∠2．
理由：如图，过C作CD∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴PQ∥CD∥MN，
∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2．
（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，
∴∠MEC＝30°，
由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，
∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，
∴∠BDF＝∠PDC＝60°；
（3）设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x，
由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，
∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，
∴∠BDF＝90°﹣x，
∴＝＝2．
10．解：（1）∵∠AOE＝40°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝140°，
∵OC平分∠AOF，
∴，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠AOC＝20°；
（2）∵∠AOE＝x°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝（180﹣x）°，
∵OC平分∠AOF，
∴，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴；
∴∠AOE＝2∠BOD；
（3）不变，∠AOE＝2∠BOD．。