半正定矩阵的性质

半正定矩阵的性质
内容摘要
矩阵是线性代数的一个重要内容，矩阵这一概念是从其它许多事物中抽象出来的，具有很大的现实意义.矩阵的理论不仅贯穿于线性代数的各个部分，而且在在物理学及其它科学技术领域，在经济及其它社会科学领域都有广泛的应用.本文以半正定矩阵的概念为基本出发点，从特征值、主子式、QR 分解、Gram 矩阵、半正定矩阵的各种运算等等系统研究半正定矩阵的基本性质，尤其是hadamard 积 和kronecker 积 ，更深刻的理解半正定矩阵的内涵和性质.
【关键词】 半正定矩阵 hadamard 积 kronecker 积 一、矩阵的相关知识
定义1[1]. 矩阵的秩
向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩.矩阵的行秩就是矩阵行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵列向量组的秩.矩阵的行秩等于矩阵的列秩，统称为矩阵的秩，记作()R A .
定义2[1]. 矩阵的特征值与特征向量
设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和非零n 维列向量x ，使得x Ax λ=成立，则称 λ 为A 的一个特征值.非零n 维列向量x 称为矩阵A 的属于（对应于）特征值λ的特征向量，简称A 的特征向量.特征向量0≠x .
注1. 特征向量不是由特征值唯一确定的，但是特征值都是由特征向量唯一决定的.所以一个特征向量只能属于一个特征值，一个特征值有无穷多个特征向量.
注2．对于一个n 阶矩阵A ，λ是矩阵A 的特征值，一般通过求解特征方程
A E f -=λλ)(和齐次线性方程组()0E A X λ-=来得到矩阵的特征值和特征向量.
定义3[1]. 矩阵的迹
设矩阵()ij n n A a ⨯=，那么矩阵A 的迹就是矩阵A 的主对角线元素的之和，记作()tr A .
注3.矩阵的迹就是矩阵的所有特征值之和. 定义4. 对角优势矩阵 对于矩阵()ij n n A a ⨯=，如果
1n
ii ij j j i
a a =≠≥∑，1,2,
,i n =
则称矩阵A 为对角优势矩阵.
定义5[1].对称矩阵
对于矩阵()ij n n A a ⨯=，若元素满足
ji ij a a =, n j i 2,1,=
或者A A T =, 则称矩阵A 为对称矩阵.
定义6[2].酉矩阵
对n 阶复矩阵A ，用A -
表示以A 的元素的共轭复数作元素的矩阵.如A 满足
T
T
A A A A E --==,则称矩阵A 为酉矩阵.
定义7.Gram 矩阵 设12,,
,n v v v 是欧氏空间V 的一个向量组，定义矩阵
1112121
22212,,,,,,,,,n n n n n n v v v v v v v v v v v v A v v v v v v <><><>⎛⎫
⎪
<><><> ⎪
= ⎪
⎪
<><>
<>⎝⎭
A 称为由向量12,,
,n v v v 组成的Gram 矩阵，记做()12,,,n Gram v v v . 其中，,<⋅⋅>
为欧氏空间V 中定义的内积.
定义8. 可对角化
如果方阵A 相似于一个对角矩阵，称方阵A 为可对角化，换句话说，即如果存在一个可逆矩阵 P 使得AP P 1-是对角矩阵，那么称矩阵A 可对角化.
定义9[2]. 置换矩阵
对于矩阵()ij n n P p ⨯=，如果它的每一行和每一列都只有一个元素为1，其它
的元素都为零，则称矩阵P 为置换矩阵.
定义10[2]. 可约矩阵 对于 矩阵()n n ij a A ⨯=，如果满足 ①1=n 时，0=A ；
②2≥n ,存在n 阶置换矩阵P ,使得⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-D O C B PAP 1
,其中B 是k 阶方阵
11-≤≤n k ,左下角是()k k n ⨯-阶的零矩阵,则称矩阵A 为可约的.否则，矩阵A
为不可约.
定义11[1]. 非退化矩阵
对于矩阵()n n ij a A ⨯=，如果0≠A ，称矩阵A 为非退化的. 定义12[1]. 矩阵的幂
对于矩阵()n n ij a A ⨯=,对任意正整数k ，
k
A 定义为k k
A AA
A
=，称为矩阵A 的
k 次幂.规定E A =0.
定义13[4]. 阵的QR 分解
实(复)非奇异矩阵A 能够化成正交（酉）矩阵Q 与实（复）非奇异上三角矩阵R 的乘积，即QR A =,称为A 的QR 分解.
定义14[5].Kronecker 积
设()n m ij R a A ⨯∈=,()n m ij R b B ⨯∈=，A 与B 的Kronecker 积,记作B A ⊗，定义为
n m nn n n n n C B a B
a B a B a B
a B a B a B
a B a B A ⨯∈⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛=⊗ 21
2222111211
注4：从定义看矩阵的Kronecker 积被表示成为矩阵的分块运算，即B A ⊗是一个分块矩阵，每一个子块是数乘运算()B a ij . 矩阵的Kronecker 积也称为直积或张量积.
定义15[5].Hadamard 积
设()n m ij R a A ⨯∈=，()n m ij R b B ⨯∈=，其中A 与B 为同阶矩阵，A 与B 的Hadamard 积，记作A B ,定义为()n m ij ij R b a B A ⨯∈= .
注5： 矩阵A 与B 的Hadamard 积即将A 与B 对应元素相乘，矩阵的Hadamard 积也称为Schur 积.
注6[5]：矩阵Hadamard 积的性质：
① ()()kB A B kA = ② ()C A B A C B A +=+ ③ ()()C B A C B A =
④
()T
T T A B A B =
注7：由矩阵的Kronecker 积与Hadamard 积的定义可以看出，B A 是B A ⊗的主子矩阵.
二、半正定矩阵的性质
(一)半正定矩阵的定义
如果矩阵n n R A ⨯∈是实对称矩阵，并且对于一切n R X ∈,有0≥AX X T ，则称矩阵A 为半正定矩阵.记作0A ≥.如果0≥-B A ，记作B A ≥.
(二)半正定矩阵的二次型
对称矩阵A 的二次型()AX X X f T =，如果对任何非零向量X ，都有
0≥AX X T 成立,则称()AX X X f T =为半正定二次型.
(三)半正定矩阵的性质
性质1：设A 为一个n 阶对角优势对称矩阵，且对角线元素非负，那么矩阵A 为半正定矩阵.
证明：设A 是一个n 阶对角优势对称矩阵，且对角线元素非负. 设ij A 矩阵是A 的主子矩阵且i 行j 列如下，且其它对角元素等于0
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛ij ij ij ij a a a a
那么ij A 是一个半正定矩阵，而∑=-n
j i ij A A 1,也为非负对角阵，所以A 为半正定的.
注8：半正定矩阵对角化之后，所有元素都大于等于0. 性质2：设A 为一个n 阶对称矩阵，下列命题等价：
(a)A 是半正定矩阵;
(b)A 的所有特征值为非负; (c)A 的所有的主子式非负;
(d)存在一个n 阶矩阵B ，使得T BB A =; (e)存在一个n 阶下三角矩阵L ，使得T LL A =; (f)存在一个n 阶对称矩阵C ，使得2C A =;
(g)存在一个k 维欧氏空间V 和向量12,,
,n v v v V ∈，使得
()12,,,n A Gram v v v =;
(h)存在k 个向量12,,,n
k b b b R ∈，使得∑==k
i T i i b b A 1
.
证明：
(a)⇒(b)设,AX X λ=0X ≠,其中λ为矩阵A 的特征值，由于矩阵A 为半正定矩阵，有0≥=X X AX X T T λ,且0T X X >,则\0T T X AX X X λ=≥, 所以矩阵A 的所有特征值非负.
(a)⇒(c) 设[]a A 是A 的主子式，由于A 为半正定的，所以[]a A 也为半正定的，由(a)⇒(b)可知[]a A 的特征值为非负，因此，[]0≥a A .
(c)⇒(b) 设A 的特征多项式
()()()n n
k n k k
n n n A P x P x P x
P x x 11221
1-++-+-+-=∆--- 其中k P 为A 的所有k k ⨯阶子矩阵的和，由于 (c)，n k P k 2,10=≥，，
假设0<x ,
如果n 为任意正整数，那么0>n x 并且()0≥∆x A ；如果n 唯一，那么0<n x ，并且()0≥∆x A ，这表明矩阵A 不可能有负特征值且A 为对称矩阵，所以矩阵A 特征值存在且非负.
(b)⇒(f) 由于A 为对称矩阵，并且特征值非负，它正交相似与一个非负对 角矩阵D .即T UDU A =,其中U 是正交矩阵，D 是非负对角矩阵
()n d d d diag D 21=,但是当T T U D U U D U A =,其中由于U 为正交矩阵，所以有T U U E =,然而
)
,n diag
d =.
所以T U D U C C A ==，2.
(d)⇒(e) 为了证明这个结论，首先利用下列这一点：任何矩阵C 有一个QR 因数i.e.,QR C =，其中Q 的行正交，R 是上三角矩阵.
设T
A B
B =,T
B 的QR 分解为T B QR =,有()
()T
T
T
T T B B QR R Q ===，那么
T T T A R Q QR LL ==，那么就有T T Q R L =,T QR L =,然而T
R L =是一个下三角矩阵.
所以T LL A =.
(d)⇒(g) 设T BB A =,然而B 是n n ⨯阶矩阵，设k R V =,并且设T i V 是 B 的i 行，那么()n v v v Gram A 21=
(g)⇒(a)由于()12,,
,n A Gram v v v =，且设n R x ∈，那么
()()0
x v ,21
1i n 1j 1,1,,1,≥=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛====∑∑∑∑∑∑======n
i i
i n j j i i n
j i j j i i j i n
j i j i n
j i j i ij T
v
x v x v x v x x x v v x x a AX X 0T X AX ≥,所以矩阵A 为半正定矩阵.
(b)⇒(h) 设T BB A = ,则有∑==k
i T i i b b A 1
，其中(1,2
)i b i k = 为B 的列向量，
由(e)⇒(d)，(f)⇒(d)，可知结论成立.
注9:
①性质2 中，证明(b)⇒(f) 中，构造的矩阵C 其实为半正定矩阵，这表明任何一个半正定矩阵A 都有唯一的半正定矩阵C 满足2C A =,那么矩阵C 为A 的
平方根，记作C =
②中指的是主子矩阵而不是顺序主子式，实际上，只有顺序主子式大于等于零并不能保证A 是半正定的.
例1 判定二次型()212322
1321245,,x x x x x x x x f -++=的正定性 解 (解法1) 用顺序主矩阵判别 首先，该二次型()123,,f x x x 对应的矩阵为
⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛--=100041015A
求A 的各阶主子式可得，
051>=D 0224
11
52>=--=
D 03==A D
由于A 的各阶主子式全都大于等于零，所以该二次型()123,,f x x x 为半正定二次型。

（解法2）用特征值判别
首先，给出该二次型()123,,f x x x 所对应矩阵A 的特征多项式为
()()
()5
104--114
-5
1
E A f λλλλλλλλλ--=
-=
=-
令()0=λf ，可求出矩阵A 的特征值为 140321===λλλ，，.可见矩阵A 的全部特征值都大于等于零，所以该二次型()123,,f x x x 为半正定二次型.
注10：本例题主要应用半正定矩阵性质2中A 为半正定矩阵时,A 各阶主子式全都大于等于零,A 的所有特征值非负. 例2 设矩阵
⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101B
满足矩阵B kE A -=, 其中k 为实数，E 为单位矩阵，求对角矩阵C ，使得矩阵A
相似于矩阵C ，并求k 为多少时，矩阵A 为半正定矩阵.
解 由于B 为实对称矩阵，从而A 也为实对称矩阵,使得
()0,2023212
===⇒=-=-λλλλλλB E
从而存在正交矩阵T ，使得
⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0221
BT T
A 相似于
B ，所以
()11-2-2=k T AT T kE B T k C k --⎛⎫ ⎪
=-= ⎪ ⎪⎝⎭
① 由于A 相似于C ,设矩阵A 特征值为123,,u u u 由①可知,A 的特征值为
k u k u u =-==321,2,A 为半正定的，所以
⇔()3,2,10=≥i u i
⇔0,02≥≥-k k ⇔k 2≥
所以k 2≥时，A 为半正定矩阵.
注11：本例题主要应用半正定矩阵性质2中A 为半正定矩阵时,A 的所有特
征值非负.
例3 设B A ,分别为n m ⨯和n s ⨯的行满秩实矩阵，()
BA BB AB Q T T =
证明：Q AA T -是半正定矩阵
证明 令T
CC G B A C =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=,,那么G 是半正定矩阵，且
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=T T
T T
BB BA AB AA G
其中T T BB AA ,分别是m 阶和s 阶方阵，且秩()T AA =秩()m A = 秩()
T BB =秩s B =
所以，T AA T BB 都是可逆矩阵.
()()11
00T T T
T T T T T T T AA AB AA O E AB BB E AB BB BA BB O BB E E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
由于G 是半正定矩阵，但是合同不改变半正定性，因此⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛T T
BB O
O AA 是半正定，从而它的主子矩阵Q AA T -也是半正定的.
注12：本例题主要应用了半正定矩阵性质2A 是半正定矩阵，A 的所有的主子式非负;A 是半正定矩阵,存在一个n n ⨯阶矩阵B ，使得T BB A =.
例4 A 为实对称矩阵，若A 为半正定矩阵，则对任意n 维向量Y X ,有
T T T X AY X AX Y AY ≤.
证明 在n R 中，由柯西-布涅夫斯基不等式，则
()2
2
2,βαβα≤
由于矩阵A 为半正定矩阵，那么有n n ⨯ 阶矩阵B ,使得T BB A = 令PY PX ==βα,，则
()()(),=T
T T T T PX PY X B BY X AY αβαβ===
()()()2
,T
T T T PX PX X P PX X AX
ααα====()()()2,T
T T T PY PY Y P PY Y BY βββ====
所以
AY Y AX X AX X T T T ≤
注13：本例题主要应用柯西-不涅夫斯基不等式，同时也应用半正定矩阵性质2（d ）矩阵A 是半正定矩阵,那么存在一个n n ⨯阶矩阵B ，使得T BB A =.
性质3：如果A 是一个半正定矩阵，且k 为正整数,那么k A 也为半正定的.
证明：A 为半正定矩阵，由性质2可知2C A =, 其中，C 为对称矩阵，那么
()()
02
2
≥==k k
k C C A
所以k
A 也为半正定的.
性质4：设A ，B 为半正定矩阵，那么A B +也为半正定的，且0≥a ，则aA 也为半正定的.
证明：由于矩阵A ，B 为半正定矩阵，则有0T X AX ≥,0T X BX ≥ 那么有
()()()0=0
T T T T T T X A B X X AX X BX X aA X aX AX a X AX +=+≥=≥
所以B A +，aA 也为半正定的.
性质5：如果A 是一个n n ⨯阶半正定矩阵，且S 是m n ⨯阶矩阵，那么AS S T 为半正定的.
证明：A 是一个n n ⨯阶半正定矩阵，[]a A 是A 的任意主子矩阵，
{}1,2N α⊆，，x 是一个n 维向量，令[]y=x α且0,i x i a
=∉，那么有
[]0≥=AX X y a A y T T ，其中[]S x α=,即有AS S T 为半正定的.
性质6：设A ,B 为半正定矩阵，那么A B ⊗也为半正定的.
证明：设B A ,为半正定矩阵，设(){}m A λλσ,1 ，
=，(){}m u u B ,,1 =σ，则0,0≥≥j i u λ，
而且
(){}n j m i u B A j ,,1,,,1,i ===⊗λσ
由于0≥j i u λ，所以B A ⊗也是半正定的.
性质7[5]: 设A ,B 为半正定矩阵，那么A B 也为半正定的. 证明：设B A ,分别是秩为k 和l 的半正定矩阵，那么B A ,可以表示为
=1
k
T i i i A v v =∑
=1l
T
j j j B w w =∑
()()T j i k j i j i w w v v B A ∑===
1,1, ，其中，=ij i j u v w
由于T ij ij u u 为半正定矩阵，所以B A 也为半正定的.
注14：性质6知，B A ,为半正定矩阵，B A ⊗也为半正定的，而B A 是B A ⊗的一个主子矩阵，所以由此可得B A 也为半正定的.
性质8：如果()∑==m
i i i x a x f 0
是一个非负系数的多项式，并且A 是半正定，那
么()∑==m
i i i A a x f 0也是半正定的.
注15：由性质3,性质4可得，如果A 是一个半正定矩阵，k A 也为半正定的. 且0a ≥，k aA 也为半正定的.那么0
m
i i i a A =∑也为半正定的. 小结
本文在了解一些矩阵基础知识的前提下，从半正定矩阵的定义出发，了解半正定矩阵形式特点和表示方法，研究了从特征值、主子式、矩阵分解来判别什么样的矩阵为半正定矩阵，又研究了半正定矩阵的运算性质，半正定矩阵经过矩阵加法、矩阵数乘、矩阵求和、矩阵的幂、矩阵的hadamard 积 、矩阵的 kronecker 积之后，不改变矩阵的半正定性.这是半正定矩阵所特有的性质.更深刻的理解半正定矩阵的内涵和性质。

为以后研究正定矩阵打下了很好的基础.。