【2-平几】2.三角形的五心1 内心【讲师版】

课程类型数学
“平面几何 三角形的五心1 内心”
讲义编号：
三角形的内心、外心、重心、垂心和旁心并称三角形的五心，三角形的五心由于其具有诸多性质，在平面几何中的地位不言而喻。

本节对三角形的内心进行介绍。

1. 三角形的内心
定义：三角形的内心是三角形内切圆的圆心。

性质1：三角形内心是三角形内角平分线的交点。

性质2：设I 为ABC 内一点。

I 为ABC 内心的充要条件是：I 到ABC 三边的距离相等。

性质3：I 为ABC 内心的充要条件是：ABC 中A ∠的平分线上，且1
902
BIC A ∠=︒+
∠。

同理，该命题对B ∠、C ∠也成立。

性质4：I 为ABC 内心的充要条件是：1902BIC A ∠=︒+
∠，1902CIA B ∠=︒+∠，1
902
AIB C ∠=︒+∠。

性质5：设I 为ABC 内一点，I 为其内心的充要条件是：AI 所在直线交ABC 外接圆于D ，DI=DB=DC 。

同理，该命题对B ∠、C ∠也成立。

性质6：设I 为ABC 内一点，I 为ABC 内心的充要条件是：IBC ，ICA ，IAB 的外心均在ABC 外接圆上。

性质7：设I 为ABC 内心，BC a =，AC b =，AB c =，AI 交BC 于K ，交ABC 的外接圆于D ，则
AI AD DI b c
KI DI DK a
+===。

性质8：一条直线截三角形，把周长l 与面积S 分为对应的两部分：l 1与l 2，S 1与S 2。

此直线过三角形内心的充要条件是
11
22
l S l S =
性质9：设I 为ABC 内心，BC a =，AC b =，AB c =，I 在BC ，AC ，AB 边上的射影分别为D 、E 、F 。

内切圆半径为r ，令()1
2
p a b c =
++，则： a) ID IE IF r ===，ABC
S pr =；
b) 2ABC
S r a b c
=
++，AE AF p a ==-，BD BF p b ==-，CD CE p c ==-；
c)
a b c r p AI BI CI ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
d) 海伦公式
ABC
S =
性质10：ABC 内一点P 在DB ，CA ，AB 上的投影分别为D ，E ，F 。

当P 与ABC 内心重合时BC CA AB
PD PE PF
++取最小值（利用柯西不等式）。

以上每种性质的证明均由教师与学生一起完成，视学生的接受能力而定，可以作为例题。

例1 （1994年全国高中数学联赛）如图，设三角形的外接圆O 的半径为R,内心为I ，∠B=60︒,∠A <∠C,∠A 的外角平分线交圆O 于E ．
证明:(1) IO=AE ； (2) 2R <IO +IA +IC <(1+3)R ．
A
B
C O
I
E
证明：∵∠B=60°，∴∠AOC=∠AIC=120°．
∴A ，O ，I ，C 四点共圆．圆心为弧AC 的中点F ，半径为R ．
∴O 为⊙F 的弧AC 中点，设OF 延长线交⊙F 于H ，AI 延长线交弧BC 于D ． 由∠EAD=90°（内外角平分线）知DE 为⊙O 的直径．∠OAD=∠ODA ．
但∠OAI=∠OHI，故∠OHI=∠ADE，于是RtΔDAE≌RtΔHIO
∴AE=IO．
由ΔACH为正三角形，易证IC+IA=IH．
由OH=2R．∴IO+IA+IC=IO+IH>OH=2R．
设∠OHI=α，则0<α<30°．
∴IO+IA+IC=IO+IH=2R(sinα+cosα)=2R2sin(α+45°)
又α+45°<75°，故IO+IA+IC<2 2R(6+2)/4=R(1+3)
例2 （1996年第37届IMO试题）
例3 （第20届IMO试题）等腰三角形ABC，AB = AC．在三角形ABC的外接圆的内部有一与其相切的一个小圆，该小圆又分别与AB、AC相切于P、Q两点．求证：线段PQ的中点恰为三角形ABC内切圆的圆心
解答：我们证明此题的推广：
在ABC 中，O '内切于ABC 外接圆
O ，且与AB ，AC 分别相切于P 、Q 。

证明PQ 的中点I 为ABC 内心。

证明：设AI 延长线交O 与M ，则O '在AM 上。

连O P '，由O P AB '⊥，O A PQ '⊥，有2O P O I O A '''=⋅。

做两圆连心线OO ' 交
O 与R ，T 。

则O R O T O A MO ''''⋅=⋅
两式相加，并且由O P O T ''=，有O P TR O A MI ''⋅=⋅。

做
O 直径MN ，可知BM BN ⊥ ，MNB MAB ∠=∠，从而BMN POA ∽ ，即有O P MN O A BM ''⋅=⋅
比较以上两式，由于MN=TR ，故BM=MI ，故I 为内心。

例4 （1982年澳大利亚数学竞赛）如图，在ABC ∆中，A ∠、B ∠，C ∠的平分线分别交外接圆于点P 、Q 、R ．
证明：AP BQ CR BC CA AB ++>++．
A
B
C
R
P
Q
I
证明：连接AR 、RB 、BP 、PC 、CQ 、QA ．因为12∠=∠，34∠=∠，56∠=∠，
12
34
5
6B
C
R
P
Q
I
所以AP 、BQ 、CR 相交于一点I ，即I 为ABC ∆的内心， 则PB PI PC ==，QA QI QC ==，RA RI RB ==． 在BPC ∆中，因为PB PC BC +>，所以2PI BC >． 同理可证2QI AC >，2RI AB >． 将这三个式子相加并整理， 得()1
2
PI QI RI BC CA AB ++>
++…① 因为BI CI BC +>，AI BI AB +>，AI CI CA +>， 所以()1
2
AI BI CI BC CA AB ++>++ …②
1. 已知I 是ABC ∆的内心，AI 、BI 、CI 的延长线分别交ABC ∆的外接圆于D 、E 、F ．
求证：EF AD ⊥．
M
F
E
D
I
C
B
A
【答案】连接DE ．∵I 是ABC ∆的内心
B
C
I
D
E
F
M
∴ADF ABF CBF ∠=∠=∠，BFE BCE ACE ∠=∠=∠， BFD BAD CAD ∠=∠=∠
∴ADF BFE BFD ∠+∠+∠ ()1
902
ABC ACB BAC =
∠+∠+∠=︒ ∴EF AD ⊥
2. 已知一等腰三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r
，证明：两圆心的距离为d =（欧拉公示）
D
【答案】如图，设AB AC =，O 为ABC ∆的外接圆圆心，I 为ABC ∆的内切圆圆心(即I 为ABC ∆的内心)，连接AI 并延长AI ，交圆O 于D ，则易知AD 是圆O 的直径．设AC 与圆O 相切于E ，连接IE 、DC ，则90AEI ACD ∠=∠=︒，所以IE DC ∥，从而
AI IE
AD DC
=
， 于是2AI DC AD IE Rr ⋅=⋅=，由此，得DC DI =． 因为AI OA OI R d =+=+，DI OD OI R d =-=-， 所以()()2R d R d Rr
+-=，整理，得d =
D
3. 设ABC ∆的内切圆O 切BC 于点D ，过点D 作直径DE ，连接AE ，并延长交BC 于点F ，则BF CD =．
F D
C B
F D
C
B
H G
I 1
A
B
C
D
F
E
【解析】 解法1：
如图，令圆O 分别切AB 、AC 于点M 、N ． 过点E 作GH BC ∥，分别交AB 、AC 于点G 、H ， 则GH 切圆O 于点E ，且AGE ABF ∆∆∽，AGH ABC ∆∆∽． 记AGH ∆与ABC ∆的周长分别为2'p 、2p ，则
AG GE AG GM +=+AM AN =='AH HN AH HE p =+=+=．
于是
'2'2p p AG p p AB =='
GF AG GE p BF AB BF AB BF
+===
++ 即有p AB BF =+，故BF p AB CD =-=． 解法2：
设AB c =，AC b =，BC a =，则()12BD b a b c +=++，∴()1
2
BD a c b =+- 下面仅需证明()1
2
CF a c b =
+-． 为此，作1FI BC ⊥交AI 的延长线于1I ，1I G AC ⊥于G ， 即仅需证明1I 是ABC ∆旁切圆在A ∠内的旁心．
事实上，由
111I F AI I G
IE AI IH
==
（H 是边AC 与圆I 的切点） 但IE IH =，可知11I F I G =，即1I 确是旁心， ∴()1
2
CF a b c =
+-，即BD CF =．
讲师评价。