第2章 确知信号与随机信号分析基础课件

此定理的物理意义是 :时域卷积对应频域相乘
七、频域卷积
若 f1(t) F1( j), f2 (t) F2 ( j)
则
f1 (t )
f2 (t)
1
2
[ F1 (
j)
F2 (
j)]
此定理的物理意义是 :时域相乘对应频域卷积
16
§3 信号的分类与特点 一、确定性信号与随机信号
确定性信号：可用确定的数学函数表示的信号， 且信号的取值是确定的。
12
例题： 试利用对称性 求低通滤波器 的付氏变换。
f (t) A
/ 2 0 / 2 t
F (t) ASa t
2
2
0
F (t) 2A0Sa0t
比例特性, 两边
同时除以2
F (t)
A0
Sa0t
F () ASa
2
f () 2A
/ 2 0 / 2 f ()
2A
0 0 0
)dt
2
25
2、若为非周期功率信号，则
T
R12 ( )
lim
T
1 T
2 T
f1 (t )
f2 (t
)dt
2
3、若为能量信号，则
R12 ( ) f1(t) f2 (t )dt
二、自相关函数的定义：若f1(t)=f2(t)=f(t)，上述三个
公式即成为自相关函数的定义，记为R(τ)
26
三、互相关函数与自相关函数的性质 （一）互相关函数的性质
/ 2 0 / 2 t
9
数字信号频带宽度 f 估算
010110
f 1 T
T
数字信号带宽与码元宽度成反比
10
4. 正弦信号的付里叶变换
cos0t
1 2
e j0t
e j0t
[ ( 0 ) ( 0 )]
sin 0t
1 2j
e j0t e j0t
j[ ( 0 ) ( 0 )]
F ( j)
cos(0t)
( )
( )
0 0 0
sin(0t)
F ( j)
( )
( )
0 0 0
11
§2 付氏变换的性质 一、线性叠加性质
若 f1(t) F1( j) f2 (t) F2 ( j) 则 f1(t) f2 (t) F1( j) F2 ( j) 二、对称性
若 f (t) F ( j) 则 F ( jt) 2f () 或 F ( jt) 2f ()
P() 2 Fn 2 ( n0 )
n
上式实际上是给出了周期信号(与离散谱Fn相联系)功率谱
密度P()与周期信号频谱Fn 之间的关系,下进一步给出非 周期信号功率谱密度P()与非周期信号频谱之间的关系 :
P() lim FT () 2
T T
上式中的FT ()为fT (t)的频谱,如后一页的图所示.
31
§3 概率的基本定理
1 事件之和的概率 : P( A B) P( A) P(B) P( AB)
当A与B互不相容时, P( AB) P() 0,有
P( A B) P( A) P(B) 2 事件之积的概率 :
P( AB) P( A)P(B / A) P(B)P( A / B) 当A与B相互独立时,有P(B / A) P(B), P( A / B) P( A)
一、对于能量信号f(t)，其频谱为F(jω)，则有
E f (t) 2dt F ( j2f ) 2df
1
2
F(
j)
2d
二、对于周期信号f(t)，则有
f
(t)
Fne jn0t , 式中0
n
2
T0
, T0为周期, 则
S
1 T0
T0 / 2
f
T0 / 2
(t)
2 dt
Fn
n
2
21
因为其能量必为无穷大，为什么？ （2）对于非周期信号，可能为功率信号，也可能为能
量信号。如果其能量为有限值，则为能量信号， 如果其能量为无穷大，功率为有限值，则为功率 信号。一个信号或为能量信号，或为功率信号。
20
§4 Parseval定理（即能量守恒定理） 物理意义：能量守恒，时域能量等于频域能量， 即能量守恒不会变换后会发生改变。
1、能量信号
T
2
若E lim f 2 (t)dt f 2 (t)dt T
T
2
则称f (t)为能量信号
18
2、功率信号
若E f 2 (t)dt
T
但S lim 1 2 f 2 (t)dt T T T 2 则称f (t)为功率信号.
19
3、能量信号与功率的有关结论： （1）周期信号必定是功率信号，不可能是能量信号，
其物理意义是,时间域中的相移, 对应频谱函数在频域中的频移
14
五、调制定理
若f (t) F ( j)
则f
(t) cos0t
1 2
F[
j(
0 )]
1 2
F[
j(
0 )]
f
(t) sin 0t
j 2
F[
j(
0 )]
j 2
F[
j(
0 )]
F ()
0
0
0
15
六、时域卷积
若 f1(t) F1( j), f2 (t) F2 ( j) 则 f1(t) f2 (t) F1( j)F2 ( j)
随机信号：给定一个时间值时，信号的取值不确 定，只知其取某一数值的概率。
二、周期信号与非周期信号
满足x(t)=x(t+T0)，则称为周期信号，T0为周期， 不满足上述关系的信号称为非周期信号。
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三、能量信号与功率信号
设信号为f(t)，它为电压或电流，则作用在1Ω电 阻上的功率为p(t)=f 2(t)。
P( AB) P( A)P(为互斥完备事件组,即满足
n
(1) A1, A2 ,, An两两互斥, (2)是必然事件 : Ai 1,
i 1
则对于任一事件B,都有 :
n
P(B) P( Ai )P(B / Ai )
i 1
上式称为全概公式.
信号, 在这种情况下, 就只能用功率, 而不能用能量(因为此
时能量为无穷大). 因此, 上面第二个式子中就只能用功率
谱密度P( )和功率S , 而不用能量谱密度G ( )和能量E. 22
显然,能量谱密度G()与连续频谱F ( j)的关系为
G() F ( j) 2
还可证明, 功率谱密度P( )与离散频谱Fn 2的关系为
23
f (t)
t
fT (t)
fT (t) FT ()
t
T /2
T /2
24
§6 互相关函数与自相关函数 一、互相关函数的定义：
设有两个信号f1(t)和f2 (t),则互相关函数R12 ( )定义为
1、若为周期功率信号，设周期为T0，则
T0
R12 ( )
1 T0
2
f1 (t )
T0
f2 (t
2
第一部分：信号分析内容复习与总结
§1 周期信号和非周期信号的频谱 一、周期信号的付氏级数展开式
1、三角形式
n
f (t) A0 An cos(n0t n )
n 1
其中0
2
T0
为基波频率,T0为信号的周期,
而n0为n次谐波频率
3
2、指数形式
利用高等数学中的欧拉公式，可将三角形式的
付氏级数展开式变换成指数形式的级数展开式。周 期信号频谱Fn的特点是离散谱，如下图所示。
R( ) G() 即能量信号的自相关函数R( )与能量谱G()是一对付氏变换
2 对于功率信号 :
R( ) P() 即功率信号的自相关函数R( )与功率谱P()是一对付氏变换
29
第二部分 概率论与随机过程内容复习与总结
§1 随机事件与概率 一、事件与概率
1、随机事件：把某次试验中可能发生和不可能发生 的事件称为随机事件 A。如正弦波振荡器每次开机起 振的初相，二进制数字信号序列的某一位取值等等， 都属于随机事件。该事件出现的概率用P(A)表示，并
f
(t)
n
Fn e
jn0t
Fn
n
Fn
1 T0
T0 / 2
f
T0 / 2
(t)e jn0t dt
0 f0 2 f0 3 f0 4 f0
f
4
二、非周期信号的付氏变换形式
(1)
f
F
(t)
( j)
1
2
F ( j)e jt
f (t)e jt dt
d
(逆变换) (正变换)
(2) f (t) F ( j)
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《通信原理》课程
1
第2章 确知信号与随机信号分析基础
本章包括信号分析、概率论与随机过程三个方面的 内容。这些内容已在《信号与系统》、《高等数学》中 学过，本章对其中的部分内容作一个复习和总结，只给 出结论，并尽量通俗地理解其中的物理意义及背景，不 作证明。此外，还有一些内容将在具体的章节中进行复 习。这些基本内容是学习《信息论》与《通信原理》的 必备的数学知识，要求大家掌握。
1 若对于所有的 ,都有R12 ( ) 0,
则称f1(t)和f2 (t)不相关.
2 若对于所有的 ,都有R12 ( ) 1,
则称f1(t)和f2 (t)完全相关.
3 互相关函数R12 ( )满足 : R12 ( ) R21( ).
27
（二）自相关函数的性质
1 R(0)的性质(可直接从定义获得) :
对于功率信号, R(0)
lim
1
T /2
f
2 (t)dt
S
T T T / 2
对于能量信号, R(0) f 2 (t)dt E
2 若对于所有的 ,都有R(0) R( ).
3 R( )是偶函数,满足 : R( ) R( ).
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§7 自相关函数与功率谱和能量谱之间的关系
1 对于能量信号 :
33
4 贝叶斯公式
根据上述全概公式, 如果知道事件B已发生, 则诸互
事相容事件之一Ai发生的概率为
P( Ai
/
B)
P( Ai B) P(B)
P( Ai )P(B / Ai )
n
P( Ai )P(B / Ai )
i 1
称为贝叶斯公式
34
§4 随机变量与概率分布 一、随机变量的概念
某随机实验有许多可能的结果，为进行定量 描述，需引入一个变量 X，它将随机地取某些数 值，而对应每一可能的数值，有一个概率，这一 变量称为随机变量。
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二、随机分布函数F(x)和概率密度函数f(x)（统计描述）
设X是一个随机变量, x为任意实数,则函数F (x) P{X x} 称为随机变量X的分布函数,并且有 :
F () 0 F () 1 以及,若x1 x2 ,有F (x1) F (x2 ),即F (x)为单调不减函数. 若存在一个非负函数f (x),使下式成立
(t)
F ( j)
(1)
1
0t
0
6
2 直流信号f (t) A
1 2 () A 2A ()
f (t) A
F ( j) (2A)
0
t
0
物理意义 : 直流信号对应频域中的0频率分量,带宽为0 对于随时间变化很慢的信号, 它的频带宽度(带宽)很窄
7
3. 矩形脉冲的付里叶变换
/ 2
F ( j) f (t)e jt dt Ae jt dt
付里叶变换对
注意：非周期信号的频谱F(ω)是连续谱，周 期信号的频谱Fn是离散谱，这个特征要记住
5
三、常用信号的频谱
1. 单位冲激函数 (t) E (t) E 或 (t) 1
物理意义 : 变化快的信号如很窄的脉冲等,可近似用
数学模型 (t)来表示,上式说明这类随时间变化很快
的信号的频谱很宽.
输出随机过程功率谱密度与输入随机过程功率谱密度之间的关系为p确知信号与随机信号分析图214确定性信号通过线性系统确知信号与随机信号分析图215随机信号通过线性系统确知信号与随机信号分析例26已知高斯白噪声的双边功率谱密度为试求在通过如图216所示的低通滤波器后输出信号的双边功率谱密度prcrcrc确知信号与随机信号分析图216高斯白噪声通过低通滤波器确知信号与随机信号分析24窄带随机过程概述241窄带的概念当信号的带宽远小于载波频率时则该信号称为窄带信号如通信系统中的调幅信号和调频信号
A
13
0 0 0
三、时移特性
若 f (t) F ( j) 则 f (t t0 ) F ( j)e jt0
其物理意义是,时间域中的时移, 在频域中反映在
原频谱函数F ( j)的基础上附加一个相移函数e jt0
四、频移特性
若 f (t) F ( j) 则 f (t)e j0t F[ j( 0 )]
且有0 P(A) 1。若P(A)=1为必然事件，若P(A)=0
为不可能事件，等等。
30
§2 条件概率与统计独立 在事件A发生的条件下,事件B发生的概率用P(B / A),
称为条件概率.按定义有 : P(B / A) P( AB) P( A)
在一般情况下, P(B / A) P(B),只有当A, B为统计独立时, P(B / A) P(B)才能成立.并且有P( AB) P( A)P(B).
x
F (x) f (u)du
则称f (x)为X的概率密度函数,它有如下性质 :
§5 能量谱密度G(ω)与功率谱密度P(ω)的概念
能量谱密度G()(或G( j))定义为单位频率上信号的能量,
即E
1
F ( j) 2d
1
F () 2d
1
G()d
2
2
2
功率谱密度P()(或P( j))定义为单位频率上信号的功率,
即S
Fn
n
2
1
2
P()d
注意,由于周期信号的谱线Fn为离散谱, 而周期信号为功率
/ 2
A sin( / 2) ASa
/ 2
2
F ( j)的零点满足如下关系 : k , k 1,2,
2
从而得 : 2k , k 1,2,
注意到信号的大部分能量集中在第一个主瓣内,
因此,得此信号的带宽为 2k f 1
结论 : 矩形脉冲信号的带宽f与信号的宽度成反比 8
f (t) A