一元二次方程根与系数的关系同步培优题典(解析版)

专题1.6一元二次方程根与系数的关系
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020•遵化市模拟）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（）A．x1≠x2B．x1x2＝2C．x1+x2＝2D．x12﹣2x1＝0
【分析】根据方程的系数结合根的判别式可得出△＝4＞0，进而可得出x1≠x2，结论A正确；利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出x12﹣2x1＝0，x1•x2＝0，x1+x2＝2，即结论C，D正确，结论B 错误，此题得解．
【解析】∵△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，
∴关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0有两个不相等的实数根，
∴x1≠x2，结论A正确；
∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，
∴x12﹣2x1＝0，x1•x2＝0，x1+x2＝2，
∴结论C，D正确，结论B错误．
故选：B．
2．（2020•天心区校级模拟）已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2﹣2n+2015的值是（）A．2021B．2020C．2019D．2018
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出m2+2m＝1，m+n＝﹣2，将其代入m2﹣2n+2015＝（m2+2m）﹣2（m+n）+2015中即可求出结论．
【解析】∵m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，
∴m2+2m＝1，m+n＝﹣2，
∴m2﹣2n+2015＝（m2+2m）﹣2（m+n）+2015＝1+4+2015＝2020．
故选：B．
3．（2019秋•中山市校级期末）关于x的方程x2﹣mx﹣3＝0的一个根是x1＝3，则它的另一个根x2是（）A．0B．1C．﹣1D．2
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解析】由根与系数的关系可知：3x2＝﹣3，
解得x2＝﹣1．
故选：C．
4．（2019秋•新会区期末）关于x的方程x2﹣mx+6＝0有一根是﹣3，那么这个方程的另一个根是（）A．﹣5B．5C．﹣2D．2
【分析】根据两根之积可得答案．
【解析】设方程的另一个根为a，
∵关于x的方程x2﹣mx+6＝0有一根是﹣3，
∴﹣3a＝6，
解得a＝﹣2，
故选：C．
5．（2020春•西湖区期末）关于x的方程k2x2+（2k﹣1）x+1＝0有实数根，则下列结论正确的是（）
A．当k=1
2时，方程的两根互为相反数
B．当k＝0时，方程的根是x＝﹣1
C．若方程有实数根，则k≠0且k≤1 4
D．若方程有实数根，则k≤1 4
【分析】因为已知没有明确此方程是否是一个一元二次方程，所以方程有两种情况，既可以是一元一次方程，也可以一元二次方程，所以分两种情况分别去求k的取值范围，然后结合选项判断选择什么．【解析】若k＝0，则此方程为﹣x+1＝0，所以方程有实数根为x＝1，则B错误；
若k≠0，则此方程是一元二次方程，由于方程有实数根，
∴△＝（2k﹣1）2﹣4k2＝﹣4k+1≥0，
∴k≤1
4且k≠0；
综上所述k的取值范围是k≤1 4．
故A错误，C错误，D正确．
故选：D．
6．（2020•红桥区模拟）一元二次方程x2﹣4x+2＝0根的情况是（）A．无实数根
B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3
D．有两个正根，且有一根大于3
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号、以及两根的和，两根的积就可以了．
【解析】∵a＝1，b＝﹣4，c＝2，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∵两根的和为4，两根的积为2，
∴有两个正根，且有一根大于3．
故选：D．
7．（2020•湖北）关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（）
A．﹣1B．﹣4C．﹣4或1D．﹣1或4
【分析】根据方程的根的判别式，得出m的取值范围，然后根据根与系数的关系可得α+β＝﹣2（m﹣1），α•β＝m2﹣m，
结合α2+β2＝12即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解析】∵关于x的方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有两个实数根，
∴△＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m）＝﹣4m+4≥0，
解得：m≤1．
∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴α+β＝﹣2（m﹣1），α•β＝m2﹣m，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α•β＝[﹣2（m﹣1）]2﹣2（m2﹣m）＝12，即m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m＝﹣1或m＝4（舍去）．
故选：A．
8．（2020•南京）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）A．两个正根B．两个负根
C．一个正根，一个负根D．无实数根
【分析】先把方程（x﹣1）（x+2）＝p2化为x2+x﹣2﹣p2＝0，再根据方程有两个不相等的实数根可得△
＝1+8+4p2＞0，由﹣2﹣p2＞0即可得出结论．
【解析】∵关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数），
∴x2+x﹣2﹣p2＝0，
∴△＝1+8+4p2＝9+4p2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为﹣2﹣p2＜0，
∴一个正根，一个负根，
故选：C．
9．（2020•日照一模）已知m，n（m≠n）满足方程x2﹣5x﹣1＝0，则m2﹣mn+5n＝（）A．﹣23B．27C．﹣25D．25
【分析】由根与系数的关系可得出m+n＝5、mn＝﹣1，m2﹣5m＝1，将m2﹣mn+5n变形为m2﹣5m﹣mn+5（m+n），代入数据即可得出结论．
【解析】∵m，n（m≠n）满足方程x2﹣5x﹣1＝0，
∴m+n＝5，mn＝﹣1，m2﹣5m＝1，
∴m2﹣mn+5n
＝m2﹣5m﹣mn+5（m+n）
＝1+1+25
＝27．
故选：B．
10．（2020•文登区模拟）已知a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则a2﹣3b+2020的值是（）A．2016B．2020C．2025D．2034
【分析】利用根与系数的关系，求出a2+3a＝5，a+b＝﹣3，再代入计算即可求解．
【解析】∵a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，
∴a2+3a＝5，a+b＝﹣3，
则a2﹣3b+2020＝a2+3a﹣3（a+b）+2020＝5+9+2020＝2034．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020•泰州）方程x2+2x﹣3＝0的两根为x1、x2，则x1•x2的值为﹣3．
【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，即可得出x1•x2的值．
【解析】∵方程x2+2x﹣3＝0的两根为x1、x2，
∴x1•x2=c
a
=−3．
故答案为：﹣3．
12．（2020•南昌一模）已知α、β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣αβ的值为3或7．【分析】由一元二次方程的解及根与系数的关系可得出α2﹣2α＝3，αβ＝﹣3，将其代入α2﹣3α﹣αβ中可得出α2﹣3α﹣αβ＝6﹣α，利用因式分解法解一元二次方程可求出α的值，再将其代入6﹣α中即可求出结论．
【解析】∵α、β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，
∴α2﹣2α＝3，αβ＝﹣3，
∴α2﹣3α﹣αβ＝α2﹣2α﹣α﹣αβ＝3﹣α﹣（﹣3）＝6﹣α．
∵x2﹣2x﹣3＝0，即（x+1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴α＝3或﹣1，
∴6﹣α＝3或7．
故答案为：3或7．
13．（2020•泉州模拟）已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个根，则m2n+mn2＝2．【分析】先根据根与系数的关系得到m+n＝﹣2，mn＝﹣1，再利用因式分解法得到m2n+mn2＝mn（m+n），然后利用整体代入的方法计算．
【解析】根据题意得m+n＝﹣2，mn＝﹣1，
所以m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×（﹣2）＝2．
故答案为2．
14．（2020•青海）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；
小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程x2﹣6x+6＝0．【分析】利用根与系数的关系得到2×3＝c，1+5＝﹣b，然后求出b、c即可．
【解析】根据题意得2×3＝c，
1+5＝﹣b，
解得b＝﹣6，c＝6，
所以正确的一元二次方程为x2﹣6x+6＝0．
故答案为x2﹣6x+6＝0．
15．（2020•太仓市模拟）已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于2021．【分析】根据根与系数的关系以及方程的解的定义即可求出答案．
【解析】由题意可知：a2﹣2a＝2020，
由根与系数的关系可知：a+b＝2，
∴原式＝a2﹣2a+2a+2b﹣3，
＝2020+2（a+b）﹣3
＝2020+2×2﹣3
＝2021，
故答案为：2021．
16．（2020•南昌县模拟）若方程x2﹣4x+2＝0的两个根为x1，x2，则x1（1+x2）+x2的值为6．【分析】欲求x1（1+x2）+x2＝x1+x2+x1•x2的值，根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根的和与积，代入数值计算即可．
【解析】根据题意x1+x2＝4，x1•x2＝2，
∴x1（1+x2）+x2
＝x1+x2+x1•x2
＝4+2
＝6．
故答案为：6．
17．（2020•荆门）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的一个根比另一个根大2，则m的值为1．
【分析】设方程的两根分别为t，t+2，利用根与系数的关系得到t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2，利用代入消元法得到（2m﹣1）（2m+1）＝3m2，然后解关于m的方程得到满足条件的m的值．
【解析】设方程的两根分别为t，t+2，
根据题意得t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2，
把t＝2m﹣1代入t（t+2）＝3m2得（2m﹣1）（2m+1）＝3m2，
整理得m2﹣1＝0，解得m＝1或m＝﹣1（舍去），
所以m的值为1．
故答案为1．
18．（2020•内江）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）2x2+3mx+3＝0有一实数根为﹣1，则该方程的另一个
实数根为−1
3．
【分析】把x＝﹣1代入原方程求出m的值，进而确定关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系可求出方程的另一个根．
【解析】把x＝﹣1代入原方程得，
（m﹣1）2﹣3m+3＝0，即：m2﹣5m+4＝0，
解得，m＝4，m＝1（不合题意舍去），
当m＝4时，原方程变为：9x2+12x+3＝0，即，3x2+4x+1＝0，
由根与系数的关系得：x1•x2=1
3，又x1＝﹣1，
∴x2=−1 3
故答案为：−1 3．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋•孝南区期末）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为x1，x2且x1﹣x2＝﹣2，求m的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4（2m﹣1）≥0，然后就解关于m的不等式；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1•x2＝2m﹣1，而x1﹣x2＝﹣2，则可先求出x1、x2的值，然后计算m的值．
【解析】（1）根据题意得△＝（﹣2）2﹣4（2m﹣1）≥0，
解得m≤1；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1•x2＝2m﹣1，
∵x1﹣x2＝﹣2，
∴x1＝0，x2＝2，
∴2m﹣1＝0，
解得m=1 2．
20．（2019秋•鞍山期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有实数根．（1）求k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，若2x1x2﹣x1﹣x2＝1，求k的值．
【分析】（1）由△≥0，求出k的范围；
（2）由根与系数的关系可知：x1+x2＝﹣2k﹣1，x1x2＝k2，代入等式求解即可．【解析】（1）∵一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4k2≥0，
∴k≥−1 4；
（2）由根与系数的关系可知：x1+x2＝﹣2k﹣1，x1x2＝k2，
∴2x1x2﹣x1﹣x2＝2k2+2k+1＝1，∴k＝0或k＝﹣1，
∵k≥−1 4；
∴k＝0．
21．（2020•玉林）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求a
a+1−
1
b+1
的值．
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△＝4+4k＞0，解不等式求出k的取值范围；（2）由根与系数的关系可得a+b＝﹣2，a•b＝﹣k，代入整理后的代数式，计算即可．
【解析】（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝4+4k＞0，
解得k＞﹣1．
∴k的取值范围为k＞﹣1；
（2）由根与系数关系得a+b＝﹣2，a•b＝﹣k，
a a+1−
1
b+1
=
ab−1
ab+a+b+1
=
−k−1
−k−2+1
=1．
22．（2020•黄石）已知：关于x的一元二次方程x2+√m x﹣2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两根为x1、x2，且满足（x1﹣x2）2﹣17＝0，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝m+8≥0，根据二次根式的意义即可得出m ≥0，从而得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=−√m，x1•x2＝﹣2，结合（x1﹣x2）2﹣17＝0即可得出关于m的
一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2+√m x﹣2＝0有两个实数根，∴△＝[√m]2﹣4×1×（﹣2）＝m+8≥0，且m≥0，
解得：m≥0．
（2）∵关于x的一元二次方程x2+√m x﹣2＝0有两个实数根x1、x2，∴x1+x2=−√m，x1•x2＝﹣2，
∴（x1﹣x2）2﹣17＝（x1+x2）2﹣4x1•x2﹣17＝0，即m+8﹣17＝0，解得：m＝9．
23．（2019秋•南充期末）已知关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝0．（1）求证：无论a为何实数，方程总有实数根．
（2）如果方程有两个实数根x1，x2，当|x1﹣x2|=3
2时，求出a的值．
【分析】（1）证明一元二次方程根的判别式恒大于等于0，即可解答；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=2a−3
a，以及x1•x2=
a−3
a，由|x1﹣x2|=
3
2即可求得a的值．
【解答】（1）证明：①当a＝0时，方程为3x﹣3＝0，是一元一次方程，有实数根；
②当a≠0时，方程是一元二次方程，
∵关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝0中，△＝（3﹣2a）2﹣4a（a﹣3）＝9＞0，∴无论a为何实数，方程总有实数根．
（2）解：如果方程的两个实数根x1，x2，则x1+x2=2a−3
a，x1•x2=
a−3
a，
∵|x1﹣x2|=3 2，
∴√(2a−3
a
)2−4×a−3a=32，
解得a＝±2．
故a的值是﹣2或2．
24．（2020•广东）已知关于x，y的方程组{ax+2√3y=−10√3，
x+y=4
与{
x−y=2，
x+by=15
的解相同．
（1）求a，b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为2√6，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
【分析】（1）关于x ，y 的方程组{ax +2√3y =−10√3，x +y =4与{x −y =2，x +by =15
的解相同．实际就是方程组{x +y =4x −y =2
的解，可求出方程组的解，进而确定a 、b 的值； （2）将a 、b 的值代入关于x 的方程x 2+ax +b ＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与2√6为边长，判断三角形的形状．
【解析】（1）由题意得，关于x ，y 的方程组的相同解，就是方程组{x +y =4x −y =2
的解， 解得，{x =3y =1
，代入原方程组得，a ＝﹣4√3，b ＝12； （2）当a ＝﹣4√3，b ＝12时，关于x 的方程x 2+ax +b ＝0就变为x 2﹣
4√3x +12＝0， 解得，x 1＝x 2＝2√3，
又∵（2√3）2+（2√3）2＝（2√6）2，
∴以2√3、2√3、2√6为边的三角形是等腰直角三角形．。