【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(十)

江苏省南通市2017年高考（数学学科基地命题）模拟数学试卷（十）
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．设全集{2,1,0,1,2}U =--，{2,1,2}A -=，则U A =ð________． 2．设a ∈R ，i 是虚数单位，若()(1)a i i +-为纯虚数，则a =________．
3．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面
积和的1
4，且样本容量为160，则中间一组的频数为________．
4．棱长均为2的正四棱锥的体积为________．
5．已知{1,0,1}m ∈-，{2,2}n ∈-，若随机选取m ，n ，则直线10mx ny ++=上存在第二象限的点的概率是________．
6．如图所示的流程图，当输入n 的值为10时，则输出S 的值为________．
7．已知正数a ,b 满足210a ab -+=，则8a b +的最小值为________．
8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为双曲线224x y -=的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，
ABC △是等边三角形，则ABC △的面积为________．
9．已知ABC △，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222
65tan ac
B a c b =+-，则sin B 的值是________．
10．已知函数2()||2
+=
+x f x x ，x ∈R ，则2
(2)(34)f x x f x -<-的解集是________．
11．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，且数列也为等差数列，则11a =________． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,0)(0)A t t ->，(0)B t ，，点C 满足8AC BC =u u u r u u u r
g ，且点C 到直线
:34240l x y -+=的最小距离为9
5
，则实数t 的值是________．
13．设函数231,1
()2,1
x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，则满足2(())2(())f f a f a =的a 的取值范围为________．
14．已知函数2()()()(0)f x x a x b b =--≠，不等式()()f x mxf x '≥对x ∀∈R 恒成立，
则2m a b +-=________．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.
15．（本小题满分14分）在ABC △中，三个内角分别为A ，B ，C ，已知π
sin()2cos 6
A A +=．
（1）若6
cos 3
C =
，求证：230a c -=． （2）若π
(0,)3
B ∈，且4cos()5A B -=，求sin B ．
16．（本小题满分14分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB DC ∥，60ABC ∠=︒，
1DC =，3AD =．已知PB PC =.
（1）若N 为PA 的中点，求证：DN ∥平面PBC ； （2）若M 为BC 的中点，求证：MN BC ⊥．
17．(本小题满分14分）如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积
种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照． 半圆周上的C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是π
6
ABC ∠=,点E ，F 在直径AB 上，且π
6
ABC ∠=
． （1）若3CE =，求AE 的长；
（2）设ACE α∠=,求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
18．(本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b
+=>>的离心率为2
，
点12
(,)33
A 在椭圆E 上，射线AO 与椭圆E 的另一交点为
B ，点
(4,)P t t -在椭圆E 内部，射线AP ，BP 与椭圆E 的另一交点分
别为C ，D ．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）求证：直线CD 的斜率为定值．
19．(本小题满分16分）设a ∈R ，函数()ln f x x ax =-．
（1）求()f x 的单调递增区间；
（2）设2()()F x f x ax ax =++问()F x 是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由； （3）设11(,)A x y ，22(,)B x y 是函数()()g x f x ax =+图象上任意不同的两点，
线段AB 的中点为00(,)C x y
直线AB 的斜率为k ．证明：0()k g x >'．
20．(本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均为正数，且对任意不小于2的正整数n ，都有
2
1231...1(,)n n n a a a a ka ta k t -+++++=-为常数成立．
（1）若12k =
，1
4
t =，问：数列{}n a 是否为等差数列？并说明理由； （2）若数列{}n a 是等比数列，求证：0t =，且0k <．
第II 卷（附加题，共40分）
21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．
. A ．（选修4-1；几何证明选讲）如图,PAQ ∠是直角,圆O 与射线AP 相切于点T ,与射线AQ 相交于两点B 、C ．求证：BT 平分OBA ∠．
B ．（选修4-2：矩阵与变换）在平面直角坐标系xOy 中，设点(,3)P x 在矩阵
1234M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点(4,2)Q y y -+，求2x M y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
． C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直线cos :sin x t m l y t αα=+⎧⎨=⎩
（t 为参数）恒经过椭圆5cos :3sin x C y ϕ
ϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为
参数）的右焦点F ． （1）求m 的值；
（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求FA FB g 的最大值与最小值． D ．（选修4-5：不等式选讲）已知a ，b ，c 均为正数，且239a b c ++=．求证：11114181089
a b c ++≥．
【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.
22．一个袋中装有黑球，白球和红球共(*)n n ∈N 个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是2
5
．现从袋中任意摸出2个球．
（1）若15n =，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是4
7
，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ξ；
（2）当n 取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？
23．设集合{1,0,1}M =-，集合123{(,,,...,)|,1,2,...,}n n i A x x x x x M i n =∈=，集合n A 中满足条件
“121||||...||n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为n
m S ．
（1）求22S 和42S 的值；
（2）当m n <时，求证：111322n n m n m S +++<+-．。