2019年河北省中考数学试题(解析版)

2019年河北省中考数学试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共16小题，1-10题每小题3分，11-16题每小题2分，合计42分．
{题目}1．（2019年河北）下列图形为正多边形的是（ ）
A B C D {答案}D
{解析}本题考查了正多边形的定义．根据“各边都相等、各角都相等的四边形叫做正多边形”可知选项D 是正五边形.
{分值}3
{章节:[1-11-3]多边形及其内角和} {考点:多边形} {类别:常考题} {难度:1-最简单}
{题目}2．（2019年河北）规定：（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作的个数为（ ） A ．+3 B ．-3 C ．-
13 D ．+13
{答案}B
{解析}本题考查了用正负数表示具有相反意义的量，根据“（→2）表示向右移动2记作+2”可知向右→为正，向左←为﹣，故（←3）表示向左移动3记作-3，因此本题选B ．.
{分值}3
{章节:[1-1-1-1]正数和负数} {考点:负数的意义} {类别:常考题} {难度:2-简单}
{题目}3．（2019年河北）如图1，从点C 观测点D 的仰角是（ ） A ．∠DAB B ．∠DCE C ．∠DCA D ．∠ADC
{答案}B
{解析}本题考查了仰角的定义，从点C 观测点D ，仰角是视线CD 与水平线CE 的夹角∠DCE ，因此本题选B ．
{分值
}3
图1
水平地面
{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {考点:解直角三角形的应用－仰角} {类别:常考题} {难度:1-最简单}
{题目}4．（2019年河北）语句“x 的1
8
与x 的和不超过5”可以表示为（ ） A ．8x +x ≤5 B ．8x +x ≥5 C ．8+5
x +x ≤5 D ．8x +x ＝5
{答案}A
{解析}本题考查了列不等式.x 的
18与x 的和为8x +x ，它不超过5，即1
8
x+x ≤5，因此本题选A ．
{分值}3
{章节:[1-9-1]不等式} {考点:不等式的定义} {类别:常考题} {难度:2-简单}
{题目}5．（2019年河北）如图2，菱形ABCD 中，∠D ＝150°，则∠1＝（ ） A ．30︒ B ．25︒ C ．20︒ D ．15︒
{答案}D
{解析}本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的所有性质，菱形特有的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∴∠
BAD=180°-150°=30°,∠1=
1
2
×30°=15°，因此本题选D.
{分值}3
{章节:[1-18-2-2]菱形} {考点:菱形的性质} {类别:常考题} {难度:2-简单}
{题目}6．（2019年河北）小明总结了以下结论： ①a(b+c)＝ab+ac ； ②a(b –c)＝ab –ac ； ③(b –c)÷a ＝b÷a –c÷a （a≠0）； ④a÷(b+c)＝a÷b+a÷c （a≠0）. 其中一定成立的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
{答案}C
{解析}本题考查了整式的运算.根据“乘法分配律”可知①②都是正确的；（b-c ）÷a=（b-c ）
×
1a =b ×1a -c ×1
a
，故③也是正确的；当a ≠0时，④不一定成立，例如当a=2,b=2,c=2时，a ÷（b+c ）=1
2
，a ÷b+a ÷c=2，此时a ÷（b+c ）≠a ÷b+a ÷c.故一定成立有3个，因此本题选C.
{分值}3
{章节:[1-14-1]整式的乘法} {考点:单项式乘以多项式} {考点:多项式除以单项式}
{类别:易错题} {难度:2-简单}
则回答正确的是（）
A．◎代表∠FEC B．@代表同位角 C．▲代表∠EFC D．※代表AB
{答案}C
{解析}本题考查了三角形外角的性质及平行线的判定．如图，延长BE交CD于点F，则∠BEC=∠BFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）.又∠BEC=∠B+∠C，∴∠B=∠BFC,故AB∥CD(内错角相等，两直线平行).故选项A,B,D都不正确，只有选项C正确.
{分值}3
{章节:[1-11-2]与三角形有关的角}
{考点:三角形的外角}
{考点:内错角相等两直线平行}
{类别:高度原创}
{难度:2-简单}
{题目}8．（2019年河北）一次抽奖活动特等奖的中奖率为
1
5000
，把
1
5000
用科学记数法表示为（）
A．5×10–4B．5×10–5 C．2×10–4D．2×10–5
{答案}D
{解析}本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数.
4445
1111111
===2=2
50000510510101010
⨯⨯⨯⨯
⨯
=2×10-5.因此本题选D.
{分值}3
{章节:[1-15-2-3]整数指数幂}
{考点:将一个绝对值较小的数科学计数法}
{类别:易错题}
{难度:3-中等难度}
{题目}9．（2019年河北）如图3，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（）
已知：如图，∠BEC＝∠B+∠C
求证：AB∥CD．
证明：延长BE交※ 于点F，则
∠BEC＝◎ +∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．
又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝▲ ，
故AB∥CD（ @ 相等，两直线平行）．
F
E
D C
B
A
A．10 B．6 C．3 D．2
{答案}C
{解析}本题考查了轴对称图形及其对称轴的条数，如图，当n=3时，新图案是一个大正三角形，此时恰有三条对称轴.
{分值}3
{章节:[1-13-1-1]轴对称}
{考点:轴对称图形}
{考点:等边三角形的性质}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}10．（2019年河北）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）
A B C D
{答案}C
{解析}本题考查了尺规作图及三角形的外心，知道“三角形任意两边的垂直平分线的交点是它的外心”是解题的关键，只有选项C中能用直尺画出三角形两边的垂直平分线，因此本题选D.
{分值}3
{章节:[1-24-2-1]点和圆的位置关系}
{考点:三角形的外接圆与外心}
{考点:与垂直平分线有关的作图}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}11．（2019年河北）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类．以下是排乱的统计步骤：
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的各类；
②去图书馆收集学生借阅图书的记录；
③绘制扇形图来表示各个各类所占的百分比；
④整理借阅图书记录并绘制频数分布表．
正确统计步骤的顺序是（）
A．②→③→①→④B．③→④→①→② C．①→②→④→③D．②→④→③→①
{答案}D
{解析}本题考查了统计的一般步骤：收集数据→整理数据→表示数据→分析数据→合理决策.因为①是分析数据作判断，②是收集数据，③是画统计图表示数据，④是列统计表整理数据，所以正确统计步骤的顺序是：②④③①.因此本题选D.
{分值}2
{章节:[1-10-1]统计调查}
{考点:调查收集数据的过程与方法}
{类别:高度原创}
{难度:2-简单}
{题目}12．（2019年河北）如图4，函数y=1
(0)1(0)x x
x x
⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩ 的图象所在坐标系的原点是（ ）
A ．点M
B ．点N
C ．点P
D ．点Q
{答案}A
{解析}本题考查了反比例函数的图像，注意结合自变量的取值范围分析函数的图像．对于y=
1x
(x ＞0)，其图像位于第一象限；对于y=－
1
x
(x ＜0)，其图像位于第二象限，故当点M 为坐标系的原点，因此本题选A.
{分值}2
{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:反比例函数的图象} {考点:平面直角坐标系} {类别:高度原创} {难度:3-中等难度}
{题目}13．（2019年河北）如图5，若x 为正整数，则
()
2
22144
1
x x x x +-
+++ 表示的值的点落在（ ）
A ．段①
B ．段②
C ．段③
D ．段④{答案}B
{解析}本题考查了分式的化简及求值，解题的关键是正确进行分式的加减运算.原式=
()()2
2
21111
112x x x x x x +=-=-=+++
+.若x
为正整数，则0.5≤1x x +＜1，即表示原式的值的点落在段②，因此本题选B
{分值}2
{章节:[1-15-2-2]分式的加减} {考点:两个分式的加减} {类别:高度原创} {难度:3-中等难度}
{题目}14．（2019年河北）图6-2是图6-1中长方体的三视图，若用S 表示面积，且S 主＝x 2+2x ，S 左＝x 2+x ，则S 俯＝（ ）
A ．x 2
+3x+2 B ．x 2
+2 C ．x 2
+2x+1 D ．2x 2+3x {答案}A
{解析}本题考查了几何体的三视图与其长、宽、高的关系，即主视图可反映出几何体的长和高，左
视图可反映出几何体的高和宽，俯视图可反映出几何体的长和宽.∵S 主=x 2
+2x=x （x+2）, S 左
图5
图6-2
图6-1
正面俯视图
=x 2+x=x （x+1）,∴这个长方体的长为x+2，高为x,宽为x+1，故S 俯=（x+2）（x+1）=x 2+3x+2,因此本题选A.
{分值}2
{章节:[1-29-2]三视图} {考点:几何体的三视图}
{考点:因式分解－提公因式法} {类别:高度原创} {难度:3-中等难度}
{题目}15．（2019年河北）小刚在解关于x 的方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）时，只抄对了a ＝1，b ＝4，解出其中一个根是x ＝–1．他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2．则原方程的根的情况是（ ）
A ．不存在实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．有一个根是x ＝–1
D ．有两个相等的实数根{答案}A
{解析}本题考查了一元一次方程的解及其根的判别式，由方程的解求得c 的值是解题的关键．由题
意，得一元二次方程x 2+4x+c=0的一个根为x=-1,将x=-1代入x 2
+4x+c=0，得c=3.所以原方程c=3+2=5.即原方程为x 2+4x+5=0，∵b 2-4ac=42-4×1×5=-4＜0，∴原方程没有实数根. 因此本题选A.
{分值}2
{章节:[1-21-2-2]公式法} {考点:一元二次方程的解} {考点:根的判别式} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}
{题目}16.（2019年河北）对于题目“如图7-1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n ．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x ，再取最小整数n ．
甲：如图7-2，思路是当x 为矩形对角线长时就可以移转过去；结果取n ＝13． 乙：如图7-3，思路是当x 为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n ＝14． 丙：如图7-4，思路是当x
倍时就可移转过去；结果取n ＝13． 下列正确的是（ ）
A ．甲的思路错，他的n 值对
B ．乙的思路和他的n 值都对
C ．甲和丙的n 值都对
D ．甲、乙的思路都错，而丙的思路对{答案}B
{解析}本题考查了图形的变换及勾股定理等知识．因为矩形的长为12，宽为6，所以矩形对角线
∵13
14，∴n=14.故甲和乙的思路都对，甲的n 值错，乙的n 值
图7-2
图7-1
对；（12+6
）×
2
n值都错.
{分值}2
{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}
{考点:勾股定理}
{考点:解直角三角形}
{考点:旋转的性质}
{类别:高度原创}
{难度:4-较高难度}
{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共3小题，17小题3分，18~19小题各有2个空，每空2分，合计11分．
{题目}17．（2019年河北）若7–2×7–1×70=7p，则p的值为＝ .
{答案}-3
{解析}本题考查了同底数幂的运算,根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可知原式＝7-2-1+0=7-3，故p=-3.
{分值}3
{章节:[1-15-2-3]整数指数幂}
{考点:同底数幂的乘法}
{考点:零次幂}
{考点:负指数参与的运算}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目
年河北）如图8，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．即4+3=7.
则（1）用含x的式子表示m＝_________；
（2）当y＝–2时，n的值为_________．
{答案}3x 1
{解析}本题考查了整式的加减及解一元一次方程，明白题目的约定是解题的关键.（1）由题意，得m=x+2x；（2）由题意，得n=2x+3,m+n=y，∴y=3x+(2x+3).当y=-2时，3x+(2x+3)=-2，解得x=-1.∴n=2×（-1）+3=1.
{分值}4
{章节:[1-3-2-1]解一元一次方程（一）合并同类项与移除}
{考点:整式加减}
{考点:解一元一次方程（去括号）}
{类别:高度原创}
图8
{难度:3-中等难度}
{题目}19．（2019年河北）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地
的坐标，数据如图9（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．
（1）A，B间的距离_________km；
（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为_________km．．
{答案}20 13
{解析}本题考查了平面直角坐标系中两点距离的求法、点到直线的距离、线段垂直平分线的性质、
勾股定理等知识，解题的关键根据题意构建出平面直角坐标系.（1）∵点A（12,1）,B（-8,1），
∴AB＝12-（-8）=20 km；（2）如图，设AB与y轴交于点E，连接CE，则CE为C到AB的最短公路l，连接AC，作AC的垂直平分线DF，交l于点D，由垂直平分线的性质可知点D到A,C的距离相等.设
DA=DC=x，则ED=18-x.在Rt△ADE中，根据勾股定理，得AE2+ ED2=DA2,即122+（18-x）2=x2，解得
x=13，即DC=13km.
{分值}4
{章节:[1-17-1]勾股定理}
{考点:平面直角坐标系}
{考点:点的坐标的应用}
{考点:两点之间距离}
{考点:点到直线的距离}
{考点:垂直平分线的性质}
{考点:勾股定理}
{类别:高度原创}
{难度:5-高难度}
{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共7小题，合计67分．
{题目}20．（2019年河北）有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，–，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．
（1）计算：1+2–6–9；
（2）若1÷2×6□9＝–6，请推算□的符号；
（3）若“1□2□6–9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．
{解析}本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算顺序是正确解题的前提.
（1）只含有加减运算，按照从左往右的顺序计算即可；（2）先从左往右计算，再推算□的符号；（3）当原式为“1-2×6-9”时，结果为-10，计算所得数最小.
{答案}解：（1）原式=3-15=-12；
（2）∵1÷2×6=3，∴3□9=-6,∴□内是-号. （3）-20.
{分值}8
{章节:[1-1-4-2]有理数的除法} {考点:有理数的加减混合运算}
{考点:有理数加减乘除乘方混合运算} {难度:2-简单} {类别:高度原创}
{题目}21．（2019年河北）已知：整式A ＝(n 2–1)2+(2n)2，整式B>0． 尝试 化简整式A
发现 A ＝B 2．求整式B ．
联想 由上可知，B 2＝(n 2–1)2+(2n)2，当n>1时，n 2–1，2n ，B 为直角三角形的三边长，如图10．填写
下表中B 的值：
{解析}本题考查了整式的运算、开平方等知识．尝试：先乘方，再合并同类项；发现：先分解因式，
再开方；联想：当2n=8时，n=4,此时B= n 2+1=42+1=17；当n 2
-1=35时，n=6，此时B= 62+1=36+1=37.
{答案}解： 解：尝试 A ＝n 4－2n 2+1+4n 2=n 4+2n 2
+1. 发现 ∵A=n 4+2n 2+1=（n 2+1）2. 又A=B 2，B ＞0，∴B= n 2+1.
联想 勾股数I 17；勾股数II=37. {分值}9
{章节:[1-16-1]二次根式} {考点:算术平方根} {考点:整式加减} {考点:完全平方公式} {考点:代数式求值} {难度:3-中等难度} {类别:高度原创}
{题目}22．（2019年河北）某球室有三种品牌的4个乒乓球，价格是7，8，9（单位：元）三种，从中随机拿出一个球，已知P （一次拿到8元球）＝
12
． （1）求这4个球价格的众数；
（2）若甲组已拿走一个7元球训练，乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练．
①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由；
图10
B
n 2–12n
②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图11）求乙组两次都拿到8元球的概率．
{解析}本题考查了众数、中位数及概率的计算.（1）先由“P（一次拿到8元球）＝1
2
”求得价格为
8元的球的个数，再求众数；（2）①先分别求出原来4个球价格和剩余3个球价格的中位数，再进行比较；②先填表表示所有可能的结果，再求概率.
{答案}解：解：（1）∵P（一次拿到8元球）＝1
2
，∴8元球的个数为4×
1
2
=2.
∴众数是8.
（2）①相同.
∵所剩3个球价格是8,8,9,∴中位数是8.
∵原4个球价格是7,8,8,9，∴中位数是8,∴相同.
∴P（乙组两次都拿到8元球）=4 9 .
{分值}9
{章节:[1-25-2]用列举法求概率}
{考点:中位数}
{考点:众数}
{考点:两步事件放回}
{考点:概率的意义}
{类别:高度原创}
{难度:3-中等难度}
{题目}23．（2019年河北）如图12，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．
（1）求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）设AP ＝x ，请用含x 的式子表示PD ，并求PD 的最大值；
（3）当AB ⊥AC 时，∠AIC 的取值范围为m°<∠AEC<n°，分别直接．．
写出m ，n 的值．
{解析}本题考查了全等三角形的判定、线段的最值、三角形内心的性质等知识．（1）根据“SAS ”证明△ABC ≌△ADE ，从而得到∠BAC=∠DAE ，问题得证；（2）因为PD=AD-AP=6-x ，所以当x 最小时PD 最大，根据“垂线段最短”可知当AP ⊥BC 时x 最小；（3）根据三角形内心的性质可知∠AIC=90°+12
∠APC.∵点P 不与点B 重合，∴∠APC ＞30°，∴∠AIC ＞105°，即m=105； ∵ 点P 不与点C 重合，∴∠APC ＜120°，∴∠AIC ＜150°，即n=150.
{答案}解： 解：（1）证明：∵AB=AD ，∠B=∠D ，BC=DE ，∴△ABC ≌△ADE.
∴∠BAC=∠DAE ，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ，∴∠BAD=∠CAE.
（2）PD=6-x.
如图，当AD ⊥BC 时x 最小，PD 最大.
∵∠B=30°，AB=6，∴x=
12AB=12
×6=3， ∴PD 的最大值为3.
（3）m=105,n=150.
{分值}9
{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}
{考点:一次函数的性质}
{考点:垂线段的定义}
{考点:全等三角形的判定SAS}
{考点:三角形的内切圆与内心}
{考点:含30度角的直角三角形}
{类别:高度原创}
{难度:4-较高难度}
{题目}24．（2019年河北）长为300m 的春游队伍，以v （m/s ）的速度向东行进．如图13-1和13-2，当队伍排尾行进到位置O 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲
图12
备用图
的往返速度均为2v （m/s ），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O 开始行进的时间为t （s ），排头与O 的距离为S 头（m ）．
（1）当v ＝2时，解答：
①求S 头与t 的函数关系式（不写t 的取值范围）；
②当甲赶到排头位置时，求S 头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O 的距离为S 甲（m ），求S 甲与t 的函数关系式（不写t 的取值范围）；
（2）设甲这次往返队伍的总时间为T （s ），求T 与v 的函数关系式（不写v 的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．
{解析}本题是一道函数应用题，综合考查了一次函数和反比例函数．（1）①根据“S 头=队伍长度+排头走的路程”列函数关系式即可.②当甲从排尾赶到排头过程时，甲走的路程=S 头，据此列方程求得t=150，进而求得S 头=600；在甲从排头返回到排尾过程中，甲的行驶时间为t-150，根据“S 甲=600-甲走的路程”列函数关系式即可.（2）利用（1）问的方法可求得甲从排尾赶到排头的用时t 1=400v ，而甲从排头赶到排尾的用时t 2=3001002v v v
=+,故T= t 1+t 2=400v ，问题得解. {答案}解： 解：（1）①排头走的路程为2t ，则S 头=2t+300；
②甲从排尾赶到排头时，有4t=2t+300，解得t=150.
此时，S 头=2×150+300=600.
甲从排头返回的时间为t-150,则S 甲=600-4（t-150）=-4t+1200.
（2）设甲从排尾赶到排头用时为t 1，则2vt 1=vt 1+300，∴t 1=
400v . 同样甲返回到排尾用时为t 2=
100v .∴T= t 1+t 2=400v . 队伍行进的路程是Tv=400v
·v=400(km). {分值}10
{章节:[1-26-2]实际问题与反比例函数}
{考点:一次函数与行程问题}
{考点:生活中的反比例函数的应用}
{类别:高度原创}
{难度:5-高难度}
{题目}25．（2019年河北）如图14-1和14-2， ABCD 中，AB ＝3，BC ＝15，tan ∠DAB ＝43．点P 为AB 延长线上一点．过点A 作⊙O 切CP 于点P ．设BP ＝x ．
（1）如图14-1，x 为何值时，圆心O 落在AP 上？
若此时⊙O 交AD 于点E ，直接指出PE 与BC 的位置关系；
图13-2图13-1尾
头甲
（2）当x ＝4时，如图14-2，⊙O 与AC 交于点Q ，求∠CAP 的度数，并通过计算比较弦AP 与劣弧»PQ
长度的大小； （3）当⊙O 与线段AD 只有一个公共点时，直接．．写出x 的取值范围． {解析}本题是一道与圆有关的压轴题，综合考查了平行四边形的性质、锐角三角函数、切线的性质
等知识．（1）在△BPC 中，由⊙O 切CP 于点P 可得∠BPC=90°，由AD ∥BC 可得tan ∠CBP= tan ∠DAB=43
，又有BC=15，解这个直角三角形即可；由AP 是⊙O 的直径可得PE ⊥AD ，又有AD ∥BC ，故PE ⊥BC.（2）作CK ⊥AB 于点K ，利用（1）中的方法可求得CK 和BK 的长，进而得到AK=CK ，故∠CAP=45°；连接OP,作OH ⊥AP 于点H ，易证Rt △HOP ∽Rt △KPC ，利用相似三角形的性质可求得半径OP 的长；连接OQ ，根据圆周角定理可求得∠POQ 的度数，进而根据弧长公式求得»PQ l 即可；
（3）当⊙O 切AD 于点A 时，⊙O 与线段AD 恰好只有一个公共点，求出此时x 的值即可. {答案}解： （1）⊙O 切CP 于点P ，∴OP ⊥PC ，即∠CPB=90°.
由□ABCD 得AD ∥BC ，∴∠CBP=∠DAB.∴tan ∠CBP= tan ∠DAB =
43. 在Rt △CBP 中，43
PC BP =,设PC=4k ，BP=3k ，则BC=5k. ∵BC=15，∴5k=15,解得k=3.∴PC=4×3=12，BP=3×3=9，∴x=9.
垂直.
（2）如图2，连接OP,OQ.作CK ⊥AB 于点K ，OH ⊥AP 于点H.同（1）法得CK=12.
∵AK=AB+BK=12，∴CK=AK.∴∠CAP=∠ACK=45°.
∵AP=7，∴HP=1722
AP =. 又∵PK=5，∴PC=13.
∵∠HOP=90°-∠OPH=∠CPK ，∴Rt △HOP ∽Rt △KPC.
图14-1
图14-2
备用图
∴OP PH PC CK =,即7
21312
OP =，解得OP=9124. ∵∠POQ=2∠PAQ=90°，∴»9148
PQ l π=. ∵9148
π＜7，∴»PQ l ＜AP,即AP ＞»PQ l . （3）x ≥18.
{分值}10
{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}
{考点:相似三角形的判定（两边夹角）}
{考点:相似三角形的性质}
{考点:平行四边形边的性质}
{考点:勾股定理}
{考点:等腰直角三角形}
{考点:切线的性质}
{考点:弧长的计算}
{类别:高度原创}
{类别:发现探究}
{难度:5-高难度}
{题目}26．（2019年河北）如图15，若b 是正数，直线l ：y ＝b 与y 轴交于点A ；直线a ：y ＝x –b 与y 轴交于点B ；抛物线L ：y ＝–x 2+bx 的顶点为C ，且L 与x 轴右交点为D ．
（1）若AB ＝8，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标；
（2）当点C 在l 下方时，求点C 与l 距离的最大值；
（3）设x 0≠0，点（x 0，y 1），（x 0，y 2），（x 0，y 3）分别在l ，a 和L 上，且y 3是y 1，y 2的平均数，求点（x 0，0）与点D 间距离；
（4）在L 和a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b ＝2019和2019.5时“美点”的个数．
{解析}本题是一道与函数图像有关的压轴题，综合考查一次函数和二次函数的图像.（1）先求得点
A 和点
B 的坐标，再由AB=8可求得b 的值；由L 的函数关系式求得它的对称轴，再将其代入直线a 的函数关系式即可.（2）点
C 与l 的距离等于b 减去点C 的纵坐标.（3）先由y 3=122
y y +求得x 0，再由L 的函数关系式求得点D 的坐标，进而得到点（x 0,0）与点D 的距离.（4）先求出当L 与a 相交时x 的取值范围，再求出此范围内L 上的“美点”个数与a 上的“美点”个数.
{答案}解：（1）当x=0时，y=x-b=-b,∴点B （0，b ）.
∵AB=8，A （b,0）.
∴b-（-b ）=8，解得b=4.
∴L 为y=-x 2+4x,∴L 的对称轴为x=2.
图15
当x=2时，y=x-4=-2.
∴L 的对称轴于a 的交点为（2，-2）.
（2）∵y=-(x-2b )2+24b ，∴L 的顶点C 为（2
b ，24b ）. ∵点C 在l 下方，∴C 与l 的距离为b-24b =-14
(b-2)2+1≤1. ∴点C 与l 距离的最大值为1.
（3）由题意得y 3=
122y y ，即y 1+y 2=2y 3,得b+x 0-b=2（-x 02+bx 0）, 解得x 0=0或x 0=b-12
. 当x 0≠0，∴x 0= b-12
. 对于L ，当y=0时，0=-x 2+bx,即0=-x （x-b ）， 解得x 1=0,x 2=b.∵b ＞0,∴右交点D 为（b,0）. ∴点（x 0，0）与点D 的距离为b-（b-12）=12
. （4）4040,1010.
{分值}12
{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质} {考点:算术平均数}
{考点:一次函数的图象}
{考点:含参系数的二次函数问题}
{考点:解一元二次方程－因式分解法}
{类别:高度原创}
{类别:发现探究}
{类别:新定义}
{难度:5-高难度}。