2021年广东中考数学复习练习课件：§5.2 与圆有关的计算

A.π+1 B.π+2
C.π-1
答案 D 连接AC,OD,
D.π-2
则AC=4,所以正方形ABCD的边长为2 2 ,所以正方形ABCD的面积为8.由题意可知,☉O的面积为4π.根据 图形的对称性,知S阴影=S扇形OAD-S△OAD=π-2,故选D.
思路分析 把阴影部分的面积转化成一个扇形的面积减去一个三角形的面积进行解答. 方法规律 求阴影部分的面积,特别是不规则几何图形的面积时,常通过平移、旋转、割补等方法,把不 规则图形面积转化为规则图形面积的和或差来求解.
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案 A ∵在正六边形ABCDEF中,∠BCD= 故选A.
=120°,BC=CD,∴∠CBD=
1
×2(180°-120°)=30°,
思路分析 根据正六边形的内角和求得∠BCD的度数,然后根据等腰三角形的性质即可得到结果.
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2.(2019四川成都,9,3分)如图,正五边形ABCDE内接于☉O,P为
1 4
π(2
5 )2=5π,
∴S阴影=20-5π. (7分)
=520,
思路分析 (1)在网格中,求端点在格点上的线段的长度,常用的方法是构造直角三角形,利用勾股定理求 出线段的长度;(2)求不规则图形的面积常用的方法是割补法,本题需用△ABC的面积减去扇形EAF的面 积,利用勾股定理的逆定理求得圆心角,由过切点的半径垂直切线,可知AD⊥BC,由△ABC是等腰直角三 角形,可知半径AD等于BC长的一半,进而求得扇形EAF的面积.
∴AB=OA=1 m.
∵∠BAC=120°,
∴弧BOC的长为120π AB = 2π (m).
180 3
设圆锥的底面圆的半径为r m,根据扇形围成圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可得2πr= 2π ,∴r= 1 .
3
3
思路分析 连接OA,OB,首先证明△AOB是等边三角形,进而求得AB的长,然后利用弧长公式可以计算弧 BOC的长,最后根据扇形围成圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长求出底面圆的半径.
∴BC=4 5 . (3分) (2)连接AD,由(1)知AB2+AC2=BC2,AB=AC, ∴△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°. (4分)
∵以点A为圆心的
︵
EF
与BC相切于点D,
∴AD⊥BC,
∴AD= 1 BC=2 5 . (5分)
2
∴S△ABC=
1 2
BC·AD=
1 2
×4
5×2
又S扇形EAF=
的三个顶点均在格点上,以点A为圆心的 EF 与BC相切于点D,分别交AB、AC于点E、F.
(1)求△ABC三边的长;
(2)求图中由线段EB、BC、CF及
︵
FE
所围成的阴影部分的面积.
解析 (1)由题图可知AB2=22+62=40,
∴AB=2 10 . (1分) AC2=22+62=40,
∴AC=2 10 . (2分) BC2=42+82=80,
∴AM=BM,2
2
∴△ABM是等腰三角形且底角等于36°.
∵∠BOD=∠BOC+∠COD=72°+72°=144°,
∴∠BAD= 1 ∠BOD=72°,
2
∴∠BNA=180°-∠BAD-∠ABE=72°, ∴AB=NB,即△ABN为等腰三角形.
(2)证明:∵∠ABM=∠ABE,∠AEB= 1 ∠AOB=36°=∠BAM,
AB AN x y
两边同除以x2,得
y x
2
=1-
y x
,设
y x
=t,
则t2+t-1=0,解得t= 5-1 或 -1- 5 (舍),
2
2
∴ BM = BN = y = 5-1 .
BN BE x 2
(3)∵∠MAN=36°,根据对称性可知:∠MAH=∠NAH= 1 ∠MAN=18°,而AO⊥BE, M=N ,5-1
︵
EF
的长=
60π
3 2
=
π
.
180 2
解题关键 本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质和弧长计算公式,熟练掌握等腰三角形的性质 和弧长公式是解题的关键.
5.(2018云南,22,9分)如图,已知AB是☉O的直径,C是☉O上的点,点D在AB的延长线上,∠BCD=∠BAC. (1)求证:CD是☉O的切线; (2)若∠D=30°,BD=2,求图中阴影部分的面积.
过点O作OE⊥AC,垂足为点E,
在Rt△OEA中,OE= 1 OA=1,AE= AO2-OE2 = 22-12 = 3,
2
∴AC=2 3 .
∴S阴影=S扇形AOC-S△AOC= 120 π 22 - 1 ×2
360 2
= 4 π- 3 .
3
3 ×1
考点二 圆内接正多边形 1.(2019贵州贵阳,6,3分)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,连接BD,则∠CBD的度数是 ( )
答案
A
设半圆的半径为R,则S侧=
1 2
πR2=
1 2
×π×82=32π.
设圆锥的底面圆半径为r,则2πr= 1 ×2πR,
2
∴r=
1 2
R=
1 2
×8=4,
∴S底=πr2=π×42=16π.
∴S全=S侧+S底=32π+16π=48π.故选A.
3.(2017甘肃兰州,12,4分)如图,正方形ABCD内接于半径为2的☉O,则图中阴影部分的面积为 ( )
∴△BAM∽△BEA,
2
∴ BM = AB ,而AB=BN,
AB BE
∴ BM = BN ,设BM=y,AB=x,则AM=AN=y,AE=BN=x,
BN BE
∵∠AMN=∠MAB+∠MBA=72°=∠BAN,∠ANM=∠ANB, ∴△AMN∽△BAN,
∴ AM = MN ,即 y = x-y ,则y2=x2-xy,
(2)求证: BM = BN ,且其比值k= 5-1 ;
BN BE
2
(3)由对称性知AO⊥BE,由(1)(2)可知 MN 也是一个黄金分割数,据此求sin 18°的值.
BM
解析 (1)连接圆心O与正五边形除A外的各顶点, 在正五边形中,∠AOE=360°÷5=72°,
∴∠ABE= 1 ∠AOE=36°,同理∠BAC= 1 ×72°=36°,
︵
DE
上的一点(点P不与点D重合),则∠CPD
的度数为 ( )
A.30° B.36° C.60° D.72°
答案 B 连接CO,DO, ∵五边形ABCDE为正五边形, ∴∠COD= 1 ×360°=72°,
5
∴∠CPD= 1 ∠COD=36°, 故选B. 2
3.(2018辽宁沈阳,10,2分)如图,正方形ABCD内接于☉O,AB=2
B组 2016—2020年全国中考题组
考点一 弧长、扇形面积的计算
1.(2020云南,13,4分)如图,正方形ABCD的边长为4,以点A为圆心,AD为半径画圆弧DE得到扇形DAE(阴影 部分,点E在对角线AC上).若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面圆的半径是 ()
A. 2
2
B.1 C. 2
∴sin 18°=sin∠MAH=
MH
AM=
1 MN
2AM=
MN
2BM=
考点 弧长、扇形面积的计算
1.(2020广东,16,4分)如图,从一块半径为1 m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC,如果将剪
下来的扇形围成一个圆锥,则该圆锥的底面圆的半径为
m.
答案 解析
1
3
连接OA,OB,根据已知得∠BAO=
1 2
∠BAC=
1 2
×120°=60°.
又∵OA=OB,∴△AOB是等边三角形,
4.(2020吉林,14,3分)如图,在四边形ABCD中,AB=CB,AD=CD,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫
做“筝形”.筝形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,以点B为圆心,BO长为半径画弧,分别交AB,BC于点E,
︵
F.若∠ABD=∠ACD=30°,AD=1,则 EF的长为
(结果保留π).
OP
连接OB,则∠AOB=120°,∴l
︵=
AB
120 π 12
=8π.
180
3.在Rt△AOP中,tan∠
思路分析 连接AO,BO,利用直角三角形的边、角关系求出大圆的半径OA和∠AOP的度数,然后利用圆 的性质求出∠AOB,进而求出弧长.
解题关键
求出大圆的半径及劣弧
︵
AB
所对圆心角的度数.
4.(2018广东,15,4分)如图,矩形ABCD中,BC=4,CD=2,以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,连接BD,则阴
解析 (1)证明:连接OC. ∵AB是☉O的直径,C是☉O上的点, ∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°. ∵OA=OC,∴∠ACO=∠BAC. 又∵∠BCD=∠BAC, ∴∠ACO=∠BCD. ∴∠BCD+∠OCB=90°, ∴∠OCD=90°,∴OC⊥CD. 又∵OC是☉O的半径,∴CD是☉O的切线. (2)∵∠D=30°,∠OCD=90°, ∴∠BOC=60°,OD=2OC, ∴∠AOC=120°,∠BAC=30°. 设☉O的半径为x,则OB=OC=x, ∴x+2=2x,解得x=2.
2
,则
︵
AB
的长是
(
)
A.π B. 3 π C.2π D. 1 π
2
2
答案 A 连接AC、BD交于点O', ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°, ∴AC、BD是直径, ∴点O'与点O重合, ∴∠AOB=90°,AO=BO,
又∵AB=2 2 ,∴AO=2,
∴ ︵ 的长为 90π 2 =π.
研究,发现多处出现著名的黄金分割比 5-1≈0.618.如图,圆内接正五边形ABCDE,圆心为O,OA与BE交
2
于点H,AC,AD与BE分别交于点M、N.根据圆与正五边形的对称性,只对部分图形进行研究.(其他可同理 得出) (1)求证:△ABM是等腰三角形且底角等于36°,并直接说出△BAN的形状;
2求不规则图形的面积常用的方法是割补法本题需用abc的面积减去扇形eaf的面积利用勾股定理的逆定理求得圆心角由过切点的半径垂直切线可知adbc由abc是等腰直角三角形可知半径ad等于bc长的一半进而求得扇形eaf的面积
中考数学
（广东专用）
§5.2 与圆有关的计算
A组 2016—2020年广东中考题组
影部分的面积为
.(结果保留π)
答案 π
解析
连接OE.阴影部分的面积=S△BCD-(S正方形OECD-S扇形OED)=
1 2
×2×4-
2
2-
1 4
π
22=π.
一题多解
如图,连接OE,交BD于点H,则S△BEH=S△OHD,所以阴影部分的面积=S扇形OED=
1 4
π×22=π.
5.(2019广东,22,7分)在如图所示的网格中,每个小正方形的边长为1,每个小正方形的顶点叫格点,△ABC ︵
2.(2019广州,15,3分)如图放置的一个圆锥,它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形,则该圆锥侧面
展开扇形的弧长为
.(结果保留π)
答案 2 2 π
解析 ∵主视图是直角边长为2的等腰直角三角形, ∴此等腰直角三角形的斜边长为 22 22 =2 2 ,
∴此圆锥的底面圆的直径为2 2 , ∴圆锥的底面圆的周长为2 2 π. ∵圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长, ∴该圆锥侧面展开扇形的弧长为2 2 π. 解题关键 本题考查了圆锥,三视图,勾股定理等相关知识,其解题关键是熟知圆锥侧面展开扇形的弧长 等于圆锥底面圆的周长.
3.(2016广州,15,3分)如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,点P为切点,AB=12 3,
OP=6,则劣弧
︵
AB
的长为
(结果保留π).
答案 8π
解析
连接AO,由于弦AB为小圆的切线,点P为切点,故OP⊥AB,AP=BP=
1
2 AB=6
AOP= AP = 3 ,OA= AP2 OP2 =12,∴∠AOP=60°.
答案 π
2
解析 ∵AB=CB,AD=CD,BD=BD, ∴∠CAD=∠ACD,△ABD≌△CBD, ∴∠ABD=∠CBD,∴AC⊥BD. ∵∠ABD=∠ACD=30°,AD=1,
∴OD= 1 AD= 1 ,OA=
2
2
3 OD=
3,
2
∴OB=
3
OA=
3 2
.
∵∠ABD=30°,∴∠EBF=60°,
∴
1
D. 2
答案 D 在正方形ABCD中,AD=4,∠DAE=45°,∴S扇形DAE= 453π604=2 2π.设以扇形DAE为侧面展开图的圆 锥底面圆的半径为r,则4πr=2π,∴r= 1 .故选D.
2
2.(2019云南,11,4分)一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆,则该圆锥的全面积是 ( ) A.48π B.45π C.36π D.32π
AB
180
思路分析 由正方形的性质可得,∠AOB=90°,又AO=BO,由勾股定理可得圆的半径,将所得到的结果代 入弧长公式即可.
方法总结 求弧长一般需要两个条件,一个是圆心角度数,一个是圆半径.常用连接半径的方法,构造等腰 三角形,或加上弦心距,构造直角三角形求解.
4.(2020内蒙古呼和浩特,23,10分)某同学在学习了正多边形和圆之后,对正五边形的边及相关线段进行