Burgers方程特征混合有限元方法分析

Burgers方程特征混合有限元方法分析
许超;周家全;唐启立
【摘要】对非线性Burgers方程的一个低阶混合特征有限元求解问题进行研究,用双线性元逼近原问题的解,用零阶Raviart-Thomas(RT)元逼近中间变量,借助双线性元及零阶RT元的性质,分别导出了精确解的H1模和中间变量的L2模的最优误差估计,数值模拟进一步验证了理论分析的正确性.%A new characteristics mixed finite element scheme is proposed for the Burgers equations,in which the bilinear element and the lowest order Raviart-Thomas(RT) element are used to approximate the exact solution and the intermediate variable.With the help of the known high accuracy results of the bilinear element and zeros order RT element,the optimal error estimate results of exact solution in H1 norm and the intermediate variable in L2 norm are deduced.Finally,a numerical experiment is provided to verify the theoretical analysis.
【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2017(053)006
【总页数】5页(P6-9,21)
【关键词】Burgers方程;特征混合有限元;误差估计
【作者】许超;周家全;唐启立
【作者单位】洛阳理工学院数理部,河南洛阳471023;洛阳理工学院数理部,河南洛阳471023;河南科技大学数学与统计学院,河南洛阳471023
【正文语种】中文
【中图分类】O242.21
考虑如下Burgers方程：
这里X=(x,y),Ω⊂R2为有界凸区域,其边界∂Ω分段光滑,向量值函数
u=(u1,u2),γ>0为流体的粘性系数,T>0为常数.
Burgers方程是一类非常重要的非线性发展方程,有着深刻的物理背景,在湍流、传热、传质、大气和水资源污染等方面都有广泛的应用.关于问题(1)数值解法的研究已有很多，如文献[1-2]讨论了有限元方法,文献[3-4]进一步讨论了求解该问题的混合有限元方法，文献[5]使用两网格方法求解该问题,并得到了关于混合元对的最优误差估计结果，文献[6-8]分别研究了该问题的特征混合元方法、特征非协调元方法以及特征最小二乘有限元方法的求解问题.
最近，文献[9]研究了对流占优扩散方程的一类特征混合元方法，并得到了相应的最优误差估计结果.文中将特征混合有限元方法应用于求解非线性Burgers方程,用双线性元逼近精确解u,用零阶RT元逼近中间变量p,利用高精度结果得到了关于u 的H1模和p的零模的最优误差估计，最后通过数值模拟验证理论分析的正确性. 以下记Wm,p(Ω)为标准的Sobolev空间,且Wm,2(Ω)=Hm(Ω),Hm(Ω)上的范数和半范数分别为m和m. 当m=0时,记H0(Ω)=L2(Ω),L2(Ω)上的范数为0.
设[a,b]⊂[0,T],Y为Sobolev空间,f(X,t)是Ω×[a,b]上的连续函数,定义Lp(a,b;Y)和Lp(a,b;Y)如下：
当p=∞时,范数为本质上界.
为简便起见,设Ω是R2中的一个有界凸多边形区域,其边界∂Ω平行于x轴和y 轴,Jh是Ω的一个矩形剖分簇,即满足正则假设或拟一致假设.记h为Jh中的单元最大直径,单元K的4个顶点和4条边分别记为ai和li(i=1,2,3,4).
有限元空间Vh和Mh定义如下：
这里Qij=span{xrys:0≤r≤i,0≤s≤j}.设
为相应的插值算子,且满足
这里κ为对应边li的单位切向量.
为了进行误差分析,给出下列高精度结果.
引理1[10] 对∀u∈(H3(Ω))2,有
这里及下文中出现的C均为与h无关的正常数,且在不同地方取值可以不同.
为了便于进行误差分析,文中假定方程(1)的解足够光滑,且满足：
(A)初值存在惟一,具有以下光滑性：
且存在正常数K1,使得L∞(L∞)≤K1.
(B)存在正常数K2使得+≤K2.
令ψ(u)=,用τ=τ(u)表示+u·u的特征方向, 则ψ(u)=+u·.
方程(1)可表示为如下等价形式:
引入u的通量p=-u,则问题(3)可以写成如下的一阶系统:
相应于问题(4)的变分形式为:求(u,p)∈×(L2(Ω))2×2,使得
将[0,T]进行N等分,记时间步长为Δt=T/N,tn=nΔt(n=0,1,…,N),Tn=(tn-1,tn).在tn时刻,特征方向导数采用向后差分逼近方式.记则有
这里
问题(5)的特征混合有限元离散格式为:求使得
其中为u0(X)的有限元插值.
由文献[11]知空间对以及(Vh,Wh)分别满足连续和离散的LBB条件,进而根据偏微分方程理论可知问题(5)和(6)的解存在唯一.
下面给出关于u的H1模和p的零模的误差估计结果.
定理1 设u和uh分别是问题(1)和(6)的解,且则有
证明令
则由(5)式和(6)式可以推出
记∂tθn=,在(8)式的第一式和第二式中分别取vh=∂tθn,wh=γ∂tθ n并相加可得首先根据∂tθn的定义有
其次利用Cauchy-Schwarz不等式以及Young不等式,A1可以估计为
利用引理1和逆不等式有
下面对A3进行估计,利用Cauchy不等式与Young不等式可以推出
由文献[12,13]可知
从而
类似可以得到
利用文献[6]中的方法,A5可估计为
将(11)～(15)式代入(9)式,注意到右端项||∂tθn可以吸收到左边,然后两边同时乘以2Δt可以推出
上式两端从1到n进行累加,并注意到θ 0=0可得
再由Gronwall引理可得
进一步可以推出
下面对通量p进行估计.在问题(8)的第二式中取wh=ζ n可以得到
由插值误差估计结果可以推出
将(19)～(21)式代入(18)式容易得到
借助于三角不等式、结论(17)和(22)可以推得(7)式成立，定理得证. 】
为验证理论分析的正确性,考虑如下算例：
其中Ω=[0,1]×[0,1],f是一个给定的向量函数,取参数γ=1,方程的解为
采用正方形网格剖分,相应的计算结果见表1.
由表1可以看出，误差1和0的收敛阶均为O(h)，和理论结果一致,这进一步验证
了理论分析的正确性.
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