归纳猜想型测试题及答案

合集下载

专题复习_中考数学归纳与猜想(含答案)-

①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34④4×45＝4－45……专题复习归纳与猜想归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。

其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。

一、知识网络图二、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。

其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。

相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。

由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。

★ 范例精讲【归纳与猜想】例1观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。

解：⑴5×56＝5－56⑵11+-=+⨯n nn n n n 。

例2〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，将结果填在下表中，并解答所提出的问题：⑴如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？ ⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？ ⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ；⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；⑵A n ＝3n ＋1；⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次； ⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解， ∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；⑸a n ＝12n ；⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜1，a 1＋a 2＋a3＝12＋14＋18＝78＜1，……从而猜想到：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。

中考选择填空之猜想归纳训练1-25

选择、填空之猜想归纳训练（一）考点一：猜想数式规律例1 有一组多项式：a+b2，a2﹣b4，a3+b6，a4﹣b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为．考点二：猜想图形规律例2 下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（）例3 已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有（）考点三：猜想坐标变化例4如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2012的坐标为．例5 如图，有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2012的坐标为．中考真题演练一、选择题1．一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图，则断去部分的小菱形的个数可能是（）A．3 B 4 C．5D．62．如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是（）A．54 B．110 C．19 D．1093．如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子，其各步依次移动1，2，3，…，n个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第1号角移动到第3号角，第三步从第3号角移动到第6号角，…．若这枚棋子不停地移动下去，则这枚棋子永远不能到达的角的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．34．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…若m3分裂后，其中有一个奇数是2013，则m的值是（）A．43 B．44 C．45 D．465．已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1=0，a2=﹣|a1+1|，a3=﹣|a2+2|，a4=﹣|a3+3|，…，依次类推，则a2012的值为（）A．﹣1005 B．﹣1006 C．﹣1007 D．﹣2012二．填空题1．根据排列规律，在横线上填上合适的代数式：x，3x2，5x3，，9x5，…．2．观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k个数是．3．观察下列图形的排列规律（其中▲、■、★分别表示三角形、正方形、五角星）．若第一个图形是三角形，则第18个图形是．（填图形的名称）▲■★■▲★▲■★■▲★▲…4．图中各圆的三个数之间都有相同的规律，据此规律，第n个圆中，m= 用含n的代数式表示）．5．按如图的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是．6．如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是．7．填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是．8．观察下列一组图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有个★．9．如图，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（2）个图有6个相同的小正方形，第（3）个图有12个相同的小正方形，第（4）个图有20个相同的小正方形，…，按此规律，那么第（n）个图有个相同的小正方形．10．如图中每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：1+3+5+7+…+（2n﹣1）=（用n表示，n是正整数）11．有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片，从中取一些纸片按如图所示的顺序拼接起来（排在第一位的是四边形），可以组成一个大的平行四边形或一个大的梯形．若所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，则组成的大平行四边形或梯形的周长是；若所取的四边形与三角形纸片数的和是n，则组成的大平行四边形或梯形的周长是．12．如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动．①第一次到达G点时移动了cm；②当微型机器人移动了2012cm时，它停在点．13如图图案是按一定规律排列的，照此规律，在第1至第2012个图案中“♣”，共个．14．如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数．例如，（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．请认真观察此图，写出（a+b）4的展开式，（a+b）4=．15．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）第5个图形有_____个黑色棋子;（2）第____个图形有2013颗黑色棋子归纳猜想型问题（一）考点一：猜想数式规律例1 解：∵第1个多项式为：a1+b2×1，第2个多项式为：a2﹣b2×2，第3个多项式为：a3+b2×3，第4个多项式为：a4﹣b2×4，…∴第n个多项式为：a n+（﹣1）n+1b2n，∴第10个多项式为：a10﹣b20．故答案为：a10﹣b20．考点二：猜想图形规律例2解：第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有：2+（3×2）=8个五角星，第③个图形一共有8+（5×2）=18个五角星，…第n个图形一共有：1×2+3×2+5×2+7×2+…+2（2n﹣1）=2[1+3+5+…+（2n﹣1）]，=[1+（2n﹣1）]×n=2n2，则第（6）个图形一共有：2×62=72个五角星；故选D．例解：第1个图形，有4个直角三角形，第2个图形，有4个直角三角形，第3个图形，有8个直角三角形，第4个图形，有8个直角三角形，…，依次类推，当n为奇数时，三角形的个数是2（n+1），当n为偶数时，三角形的个数是2n个，所以，第2012个图形中直角三角形的个数是2×2012=4024．故选B．考点三：猜想坐标变化例4解：∵2012是4的倍数，∴A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，∴A2012在x轴上方，横坐标为2，∵A4、A8、A12的纵坐标分别为2，4，6，∴A12的纵坐标为2012×=1006．故答案为（2，1006）．例5 解：∵正方形OABC边长为1，∴OB=，∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，∴OB1=2，∴B1点坐标为（0，2），同理可知OB2=2，B2点坐标为（﹣2，2），同理可知OB3=4，B3点坐标为（﹣4，0），B4点坐标为（﹣4，﹣4），B5点坐标为（0，﹣8），B6（8，﹣8），B7（16，0）B8（16，16），B9（0，16），由规律可以发现，每经过9次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，∵2012÷9=223…5，∴B2012的纵横坐标符号与点B4的相同，纵横坐标都是负值，∴B2012的坐标为（﹣21006，﹣21006）．故答案为（﹣21006，﹣21006）．中考真题演练一、选择题1．解：如图所示，断去部分的小菱形的个数为5，故选C．2．解：第①个图形中有1个平行四边形；第②个图形中有1+4=5个平行四边形；第③个图形中有1+4+6=11个平行四边形；第④个图形中有1+4+6+8=19个平行四边形；…第n个图形中有1+2（2+3+4+…+n）个平行四边形；第⑩个图形中有1+2（2+3+4+5+6+7+8+9+10）=109个平行四边形；故选D．3．解：因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k=k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k=1，2，3，4，5，6，7时，k（k+1）﹣7p=1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤10，设k=7+t（t=1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p=7m+t（t+1），由此可知，停棋的情形与k=t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即：这枚棋子永远不能到达的角的个数是3．故选D．4．解：∵23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…∴m3分裂后的第一个数是m（m﹣1）+1，共有m个奇数，∵45×（45﹣1）+1=1981，46×（46﹣1）+1=2071，∴第2013个奇数是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数，∴m=45．故选C．5．解：a1=0，a2=﹣|a1+1|=﹣|0+1|=﹣1，a3=﹣|a2+2|=﹣|﹣1+2|=﹣1，a4=﹣|a3+3|=﹣|﹣1+3|=﹣2，a5=﹣|a4+4|=﹣|﹣2+4|=﹣2，…，所以，n是奇数时，a n=﹣，n是偶数时，a n=﹣，a2012=﹣=﹣1006．故选B．二．填空题1．解：由题意得，系数的变化规律为：1、3、5、7、9…；x的次数的变化规律为：1、2、3、4…；故可得中间的空需要填：7x4．故答案为：7x4．2．解：因为分子的规律是2k，分母的规律是2k+1，所以第k个数就应该是：，故答案为：．3．解：每6个图形一个循环，第18个图形经过了3个循环，且是第3个循环中的最后1个，即第18个图形是五角星．故答案为：五角星．4．解：∵2×4=8，5×7=35，8×10=80，…∴2，5，8…第n个数为：2+3（n﹣1），4，7，10，…第n个数为：4+3（n﹣1），∴第n个圆中，m=[2+3（n﹣1）]×[4+3（n﹣1）]=（3n+1）（3n﹣1）=9n2﹣1．5．解：第1个图案只有1块黑色地砖，第2个图案有黑色与白色地砖共32=9，其中黑色的有5块，第3个图案有黑色与白色地砖共52=25，其中黑色的有13块，…第n个图案有黑色与白色地砖共（2n﹣1）2，其中黑色的有[（2n﹣1）2+1]，当n=14时，黑色地砖的块数有[（2×14﹣1）2+1]=×730=365．故答案为：365．6．解：由图可知：第一个图案有阴影小三角形2个．第二图案有阴影小三角形2+4=6个．第三个图案有阴影小三角形2+8=10个，那么第n个就有阴影小三角形2+4（n﹣1）=4n﹣2个，故答案为：4n﹣2（或2+4（n﹣1））7．解：根据下面一行数字变化规律为：1×4=4，4×9=36，9×16=144，16×25=400，25×36=a=900，故答案为：900．8．解：观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3=4，第2个图形五角星的个数是：1+3×2=7，第3个图形五角星的个数是：1+3×3=10，第4个图形五角星的个数是：1+3×4=13，…依此类推，第n个图形五角星的个数是：1+3×n=3n+1．故答案为：3n+1．9．解：第（1）个图有2个相同的小正方形，2=1×2，第（2）个图有6个相同的小正方形，6=2×3，第（3）个图有12个相同的小正方形，12=3×4，第（4）个图有20个相同的小正方形，20=4×5，…，按此规律，第（n）个图有n（n+1）个相同的小正方形．故答案为：n（n+1）．10．解：利用每个小方格的面积为1，可以得出：1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，…1+3+5+7+…+（2n﹣1）=n2．故答案为：n2．11．解：从图形可推断：纸张张数为5，图片周长为8+2+4+2+4=3×5+5=20；当n为奇数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为：8+2+4+…+2+4=3n+5；当n为偶数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为：8+2+…+4+2=3n+4．综上，组成的大平行四边形或梯形的周长为3n+5或3n+4．故答案为：20，3n+5或3n+4．12．解：①由图可知，从A开始，第一次移动到G点，共经过AB、BC、CD、DE、EF、FC、CG七条边，所以共移动了7cm；②∵机器人移动一圈是8cm，2012÷8=251…4，∴移动2012cm，是第251圈后再走4cm正好到达E点．故答案为：7，E．13解：根据题意可知梅花是1，2，3，4即4个一循环．所以2012÷4=503．所以共有503个♣．故选答案为503．14．解：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．故答案为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．15．解：（1）第一个图需棋子6，第二个图需棋子9，第三个图需棋子12，第四个图需棋子15，第五个图需棋子18，…第n个图需棋子3（n+1）枚．答：第5个图形有18颗黑色棋子．（2）设第n个图形有2013颗黑色棋子，根据（1）得3（n+1）=2013 解得n=670，所以第670个图形有2013颗黑色棋子．。

7.6 归纳-猜想-论证(含答案)

【课堂例题】例1.计算并归纳出下列求和的一般公式，并证明.114=⨯ 111447+=⨯⨯ 1111447710++=⨯⨯⨯ 111114477101013+++=⨯⨯⨯⨯11111447710(32)(31)n n ++++=⨯⨯⨯-+例2.尝试推导正整数立方和公式3333123?n ++++=例3.在平面上画n 条直线，任何两条都相交，任意3条直线不共点，则这n 条直线将平面分成多少部分？【基础训练】1.观察下列数字：12343456745678910……猜想第n 行的各数之和n S =________________. 2= . 3任取一个正整数，反复进行下述两种运算：(1)若是奇数，就将该数乘3再加上1；(2)若是偶数，就将该数除以2.你能据此作出什么猜想？.4.已知数列{}n a 满足11a =，且*11429,n n n n a a a a n N ++-+=∈，通过计算若干项n a 后，可以猜想通项公式n a = .5.已知数列1111,,,,,,122334(1)n n ⨯⨯⨯+ 前n 项和为n S . (1)计算123,,S S S 的值； (2)推测计算n S 的公式并证明.6.在数列{}n a 中，*1121,2,2,(1)n n n a a a n n N n n -+==+≥∈+. (1)求234,,a a a ；(2)猜想数列{}n a 的通项公式()n a f n =，并用数学归纳法证明你的猜想.7.已知数列{}n a 满足：*2,n n S n a n N =-∈（*0,n a n N ≠∈）(1)求1234,,,a a a a .(2)猜想{}n a 的通项公式()n a f n =，并用数学归纳法加以证明.【巩固提高】8.是否存在常数,,a b c 使等式:222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c ⋅-+⋅-++⋅-=++对于一切正整数n 都成立？证明你的结论.提示:先利用1,2,3n =求出一组,,a b c ，再…….9.是否存在大于1的正整数m 使得()(27)39n f n n =+⋅+对于任意正整数n 都能被m 整除？若存在，求出m 的最大值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.(选做)10.下面两题，任选1题完成：(1)如图，在圆内画2条相交弦，彼此分割成4条线段；画3条弦，彼此最多分割成9条线段；画4条弦，彼此最多分割成16条弦，那么①在圆内画5条弦，它们彼此最多分割成多少条线段？②在圆内画n 条弦，两两相交，彼此最多分割成多少条线段？用数学归纳法证明你的猜想.(2)证明：平面上的n 个圆，最多把平面分成22n n -+个区域.【温故知新】 11.已知函数()f x ，若(4)2f =，且对于任意*12,n n N ∈都有1212()()()f n n f n f n =+成立，猜想()f x 的表达式可以是 .【课堂例题答案】例1.1234,,,,47101331n n + 证：①当1n =时，等式显然成立；②假设当n k =时，等式成立，即11111447710(32)(31)31k k k k ++++=⨯⨯⨯-++ 当1n k =+时，111111447710(32)(31)(31)(34)1(34)1(31)(1)131(31)(34)(31)(34)(31)(34)34k k k k k k k k k k k k k k k k k k +++++⨯⨯⨯-++++++++=+===++++++++等式也成立；根据①②，对于任意*n N ∈，等式都成立. 证毕例2.猜想：2233332(1)123(12)4n n n n +++++=+++= 证：①当1n =时，等式显然成立；②假设当n k =时，等式成立，即223333(1)1234k k k +++++= 当1n k =+时， 2222333333(1)(1)(44)123(1)(1)44k k k k k k k k ++++++++++=++= 22(1)(2)4k k ++= 等式也成立；根据①②，对于任意*n N ∈，等式都成立. 证毕例3.记n 条直线把平面分成n a 个部分.猜想：1(12)n a n =++++证：①当1n =时，结论显然成立；②假设当n k =时，结论成立，即 1(12)k a k =++++当1n k =+时，第1k +条直线与前面k 条直线都相交，有k 个交点，这k 个交点将这条直线分成1k +段，每段都将原有平面部分分成两个部分，因此1(1)1(12)11[12(1)]k k a a k k k k k +=++=++++++=++++++结论也成立；根据①②，对于任意*n N ∈，结论都成立. 证毕【习题答案】1.2(21)n -2.333n个 3.最终变为1(或者最终在1，2，4之间循环，这个就是著名的Collatz 猜想，尚未被证明)4.*65,21n n N n -∈- 5.(1)123123,,234S S S === (2)猜想:1n n S n =+. 证：①当1n =时，结论显然成立；②假设当n k =时，结论成立，即1k k S k =+ 当1n k =+时， 2111211(1)(2)1(1)(2)(1)(2)2k k k k k k S S k k k k k k k k ++++=+=+==++++++++ 结论也成立；根据①②，对于任意*n N ∈，结论都成立. 证毕 6.(1)234812315913,6,12334455a a a ==-==-==- (2)猜想：2*132,1n n a n N n -=⋅-∈+ 证：①当1n =时，结论显然成立；②假设当n k =时，结论成立，即21321k k a k -=⋅-+ 当1n k =+时，2111131322(32)(1)(2)1(1)(2)323(24)1323232(1)(2)1(1)(2)2k k k k k k k k a a k k k k k k k k k k k k k k -+---++=+=⋅-++++++++-+=⋅+-=⋅+=⋅-++++++ 结论也成立；根据①②，对于任意*n N ∈，结论都成立. 证毕 7.(1)123437151,,,248a a a a ==== (2)猜想：*112,2n n a n N -=-∈ 证：①当1n =时，结论显然成立；②假设当n k =时，结论成立，即*112,2k k a n N -=-∈ 当1n k =+时，1112(1)2(1)k k k k a k S k S a +++=+-=+--，则112111(1)(1)1(2)222222k k k k k S k a a k k +--=+-=+-=+-=- 结论也成立；根据①②，对于任意*n N ∈，结论都成立. 证毕 8.存在11,,044a b c ==-= 提示：代入1,2,3n =得： 0164381918a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得：11,,044a b c ==-=，下面证明对于一切*n N ∈成立. 证：①当1n =时，等式显然成立；②假设当n k =时，等式成立，即22222242111(1)2(2)()44k k k k k k k ⋅-+⋅-++⋅-=- 当1n k =+时，222222221[(1)1]2[(1)2][(1)](1)[(1)(1)]k k k k k k k k ⋅+-+⋅+-++⋅+-++⋅+-+ 2222221(121)2(221)(21)0k k k k k k k k =⋅-+++⋅-++++⋅-+++222222[1(1)2(2)()][1(21)2(21)(21)]k k k k k k k k k =⋅-+⋅-++⋅-+⋅++⋅+++⋅+ 4222111(1)(21)(21)(12)(1)4442k k k k k k k k k ++=-++⋅+++=-+ 22(1)(1)(1)(2)[(1)2(21)](32)444k k k k k k k k k k k k ++++=-++=++= 242(1)[(1)1][(1)1](1)(1)444k k k k k ++-++++==- 等式也成立；根据①②，对于任意*n N ∈，等式都成立. 证毕9.max 36m =提示：(1)36,(2)108,(3)360f f f ===，因此猜测max 36m =证：①当1n =时，结论显然成立；②假设当n k =时，结论成立，即 ()(27)39k f k k =+⋅+能被36整除；当1n k =+时，1111(1)[2(1)7]39(27)39233[(27)39]63183()18(31)k k k k k k f k k k k f k +++-+=++⋅+=+⋅++⋅=+⋅++⋅-=+-显然131k --是偶数，因此118(31)k --也能被36整除，所以(1)f k +能被36整除；结论成立；根据①②，对于任意*n N ∈，结论都成立. 证毕10.(1)①如图,彼此最多分割成25条线段；②猜想：分割成2n 线段.证：①当2n =时，结论显然成立；②假设当(2)n k k =≥时，结论成立，即 k 条弦两两相交，彼此最多分割成2k 条弦当1n k =+时，第1k +条弦与原来k 条弦最多有k 个交点，因此第1k +条弦最多被分割成1k +段，每一个交点又把原来的弦的某一段分割成两部分，因此总共比原来多了1k k ++条线段. 即1k +条弦两两相交，彼此最多分割成221(1)k k k k +++=+条弦结论也成立；根据①②，对于任意*,2n N n ∈≥，结论都成立. 证毕(2)①当1n =时，结论显然成立；②假设当n k =时，结论成立，即平面上的k 个圆，最多把平面分成22k k -+个区域；当1n k =+时，第1k +个圆与原来的每一个圆都交于2点，因此第1k +个圆上最多有2k 个交点，第1k +个圆最多被分成2k 段，每一段都把原来平面区域分成两部分，因此平面上的1k +个圆，最多把平面分成2222(1)(1)2k k k k k -++=+-++个区域，结论也成立；根据①②，对于任意*n N ∈，结论都成立. 证毕11.2()log f x x =。

2024年中考数学复习猜想归纳题经典考题讲练

猜想归纳题经典考题讲练解题要点剖析归纳猜想题是指给出一定条件(可以是有规律的算式、图形或图表)，通过学生认真阅读、仔细观察、综合分析、顺势归纳和大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题.解答归纳猜想题，要善于从问题中提供的数字或图形信息出发，通过计算、验证、类比、比较、测量、绘图等方式寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律.这一过程体现了总结归纳的数学思想，是人们认识新生事物的一般过程，也是人们探索发现新知的重要手段，有利于培养创造性思维能力.正是由于这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性，所以备受命题专家的青睐，成为中考的热点.经典考题解析例1 观察图1-1中的“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为( ).A. 23B. 75C. 77D. 139分析因为每个“品”字形的上边的数为连续的奇数1，3，5，7，9，11(有 6个数)，左下边的数为2¹,2²,2³,….所以，b=2⁶=64.因为每个“品”字形的上边的数与左下边的数的和正好等于右下边的数，所以,a=11+64=75.解答选 B.小结寻找一列数中呈现的规律，可以先观察其中一个数和前一个数(或前几个数)之间的关系，本例中，如观察上边的数，不难发现后一个数与前一个数的差是2；然后根据发现的规律，写出能体现这一规律的相关式子，本例中上边的数依次为1，3，5，7，9，11，可改写为1,1+2,1+2×2,1+2×3,1+2×4,1+2×5,考虑到这些数与第n个数中n的关系,不难得出第n个数为1+2×(n-1)=2n-1.在探寻数的规律时，有时还需要将数进行适当的拆分(体现和差关系)或分解(体现积商关系)，如本例中每个“品”字形的右下边的数为上边的数与左下边数的和.例2某广场用同一种如图1-2(a)所示的地砖拼图案，第1次拼成形如图(b)所示的图案，第2次拼成形如图(c)所示的图案，第3次拼成形如图(d)所示的图案，第4次拼成形如图(e)所示的图案……按照这样的规律进行下去，第 n次拼成的图案共有地砖块.分析首先求出图1-2(b)(c)(d)(e)图案中的地砖的数量，探究规律后即可解决问题.第1次拼成形如图1-2(b)所示的图案共有4块地砖,4=2×(1×2);第2次拼成形如图1-2(c)所示的图案共有 12块地砖,12=2×(2×3);第3次拼成形如图1-2(d)所示的图案共有 24块地砖,24=2×(3×4);第4次拼成形如图1-2(e)所示的图案共有 40块地砖,40=2×(4×5);………按照这样的规律进行下去，第 n次拼成的图案中地砖数为2×n(n+1)=2n²+2n,故答案为2n²+2n.解答2n²+2n.小结本题考查规律探究，解题的关键是从特殊情况出发，了解特殊情况下[图1-2(b)一(e)]地砖数量与图序数(第几次拼的图)间的关系，从而发现问题的数值特征，根据数值特征去猜想第n次情况下的结论.例3 观察下列运算过程，并计算.计算：1+2+22+⋯+210.解设S=1+2+22+⋯+210.①①×2得:2 2S=2+22+23+⋯+211.②②—①得: S=2¹¹−1.所以，1+2+22+⋯+210=211−1.。

归纳猜想专练答案

１一、应用题1. 解：（1）AE BF QE QF =∥，.（2）QE QF =.证明：延长FQ 交AE 于点D .12AE BF ∴∠=∠∥，.34AQ BQ ∠=∠=，，AQD BQF QD QF ∴∴=△≌△，.AE CP QE ⊥∴，为斜边FD 中线，QE QF ∴=.（3）（2）中结论仍然成立.理由：延长EQ 、FB 交于点D ，1AE BF D ∴∠=∠∥，.23AQ BQ ∠=∠=，，AQE BQD QE QD ∴∴=△≌△，.BF CP FQ ⊥∴，为斜边DE 中线.QE QF ∴=.2.解：（1）证明：过点E分别作BC、AB的垂线，垂足分别为M、N，过点F分别作BC、AC的垂线，垂足分别为G、H.BE、CF分别为∠ABC、∠ACB的角平分线，EN=EM，FH=FG，PP2//EN，PP3//FH，点P为线段EF的中点，PP2=12EN=12EM,PP3=12FH=12FG.PP1//FG//EM,FPPE=1 ,PP1=FG+EM1+1=FG+EM2=12FG+12EM=PP2+PP3.(2)PP1=PP2+PP3.证明：过点E分别作BC、AB的垂线，垂足分别为M、N，过点F分别作BC、AC的垂线，垂足分别为G、H. 令FG=a,EM=b,FPPE=mn,PP1//FG//EM,PP1=bm+anm+n；EM=EN,PP2EN=FPFE=FPFP+PE=mm+n,PP2=mm+n·EN=mm+n·EM=bmm+n；同理可得：PP3=nm+n·FH=nm+n·FG=anm+n；bmm+n+anm+n=bm+anm+n,PP1=PP2+PP3.三、猜想、探究题4. 证明：如图1，连接FE 、FC．点F在线段EC的垂直平分线上，12FE FC∴=∠=∠，．ABD△和CBD△关于直线BD对称，43AB CB BF BF∴=∠=∠=，，．2ABF CBF BAF FA FC∴∴∠=∠=△≌△，，.FE FA∴=,1BAF∠=∠．56∴∠=∠．1180180BEF BAF BEF∠+∠=∴∠+∠=°，°．又561805634AFE∠+∠+∠=∴∠+∠=∠+∠°，．54∴∠=∠, 即EAF ABD∠=∠．（2）72FM FN=．证明：如图2，由（1）可知EAF ABD∠=∠．又AFB GFA∠=∠，AFG BFA∴△∽△．AGF BAF∴∠=∠．又1122MBF BAF MBF AGF∠=∠∴∠=∠，．又AGF MBG BMG∠=∠+∠２３MBG BMG ∴∠=∠．BG MG ∴=．AB AD ADB ABD EAF =∴∠=∠=∠，．又FGA AGD AGF DGA ∠=∠∴，△∽△．GF AG AF AG GD AD ∴==． 2233GF AG AF AD AG GD =∴==，．设2GF a =，3AB a =，92GD a ∴=． 52FD a ∴=． CBD ABD ABD ADB ∠=∠∠=∠，CBD ADB ∴∠=∠．BE AD ∴∥．BG EG GD AG∴=． 23EG AG BG GD ∴==．设2EG k =，3BG MG k ∴==．过点F 作FQ ED ∥交AE 于Q ，2445552GQ GF a GQ QE QE FD a ∴===∴=，． 4899GQ EG k ∴==．108353999QE k MQ k k k ∴==+=，． 72MF MQ FQ ED FN QE ∴==∥，．72FM FN ∴=．5. 解：图2结论：2AF BF OE -=，图3结论：2.BF AFOE -= 对于图2证明：过点B 作BG OE ⊥交OE 延长线于点G ，则四边形EGBF 是矩形，∴.BF GE EF GB ==，∵四边形ABCD 是正方形，∴.OA OB AC BD ⊥=，４∵BG OG OE MN ⊥⊥，，∴12901390+=+=∠∠°，∠∠°，∴2390OEA OGB ===∠∠，∠∠°.又∵正方形ABCD ， ∴1122OA OB AC BD ===， ∴AOE OBG △≌△，（1分）∴AE OG OE GB ==，，∴.OE EF =∴2AF BF AE FE BF OE EG OE GE OE -=+-=++-=，∴2.AF BF OE -= 若选如图3，其证明方法同上.（还有其他方法：如利用中位线、相似、全等等证明方法，如果正确，可参照给分）6. 解：（1）不成立.（1分）猜想：12FN MF BE -=.（1分）理由如下：连接AD . M 、N 分别是DE 、AE 的中点, 12MN AD ∴=.(1分) 又,,.AC BC ACB BCE DC CE =∠=∠=ACD BCE ∴△≌△（1分）AD BE ∴=.（1分）MN FN MF =-,12FN MF BE ∴-=.（1分）（2）图3结论：12MF FN BE -=.（５。

史上最全归纳推理题型总结

归纳推理一、数阵1.把正整数按如图排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，每次恰有9个数在三角形内，则这9个数的和可以是.A．2015 B．1220 C. 2111 D．2264答案：B.2.已知下表，则a81的位置是.A.第13行第2个数B.第14行第3个数C.第13行第3个数D.第17行第2个数答案：C.3.如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．答案：11914.将全体正偶数排成一个三角形的数阵：根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左到右的第3个数是. 答案：n²－n＋65.有一个奇数组成的数阵排列如下图所示，则第30行从左到右第3个数是。

答案：1051。

6.观察下列数阵：设(i，j)为第i行第j列，按此规律归纳猜想2016所在位置为( )A.(45，80)B. (45，79)C. (46，80)D. (46，79)答案：A.7.把正整数按一定规则排成如图所示的三角形数表，设a ij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，如a42＝8。

若a ij＝2011，则i与j的和为。

答案：1088.给出以下数阵，按各数排列规律，则n的值为。

A.66B.256C.257D.326答案：C.9.小时候我们就用手指练习过数数,一个小朋友按图中的规则练习数数,数到2009时应对应的指头是( )A.大拇指B.食指C.中指D.无名指答案：A.二、图案类1.从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性（）A． B. C. D.分析：观察图形知，四个图形中的三条线段与圆共有3个交点．解：观察图形知：第一、二、三、四个图形中，都是由圆和三条线段组成，且这三条线段与圆共有3个交点．观察选项，只有B选项符合题意．2.如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（）A. B. C. D.答案：A3.根据下列各图中三角形的个数，推断第20个图中三角形的个数是( )A．231 B．200 C．210 D．190答案：A4.观察图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆点，第n个图案中圆点的个数是a n，按此规律推断出所有圆点总和S n与n的关系式为( )A．S n＝2n²－2n B．S n＝2n²C．S n＝4n²－3n D．S n＝2n²＋2n答案：B5.按如图的规律所拼成的一图案共有1024个大小相同的小正三角形”△”或”▽”，则该图案共有A . 16层B . 32层C . 64层D .128层答案：B.6.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 .A .6n －2B .8n －2C .6n ＋2D .8n ＋2 答案：C.7.图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（）A ．25B ．66C ．91D ．120 答案：C.8.按照图1——图3的规律，第10个图中圆点的个数为( )个．A ．40B ．36C ．44D ．52答案：A9.如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n （n ＞1，n ∈N *）个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4 ＋9a 4a 5＋…＋9a 2016a 2017＝。

【精品资料】归纳猜想型题

归纳猜想型专题第1题：将正六边形纸片按下列要求分割（每次分割，纸片均不得有剩余）：第一次分割：将正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形；第二次分割：将第一次分割后所得的正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中的一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形．按上述分割方法进行下去……（1）请你在下图中画出第一次分割的示意图；（2）若原正六边形的面积为a ，请你通过操作和观察，将第1次，第2次，第3次分割后所得的正六边形的面积填入下表：（3）观察所填表格，并结合操作，请你猜想：分割后所得的正六边形的面积与分割次数有何关系？（S 用含a 和n 的代数式表示，不需要写出推理过程）．答案：解：（1）如图：（3）4nS =．第2题. ：观察下列等式：22(12)4114+-⨯=+ 22(22)4224+-⨯=+ 22(32)4334+-⨯=+…则第n 个等式可以表示为．答案：22(2)44n n n +-=+第3题.：观察下面图形，按规律在两个箭头所指的“田”字格内分别画上适当图形．第5题：按一定规律排列的一列数依次为：1111112310152635，，，，，……，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是．答案：150第4题.：如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…．已知正方形ABCD的面积1S为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为23nS S S，，，（n为正整数），那么第8个正方形的面积8S=．答案：128)第7题：如图，是用火柴棒摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边上摆2006根火柴棒时，共需要摆根火柴棒．答案：6039063第5题：观察由等腰梯形组成的下图和所给表中数据的规律后回答问题：当等腰梯形个数为2006时，图形的周长为（）Ａ．2007Ｂ．8026Ｃ．6017Ｄ．6020答案：Ｄ第9题. ：如图，已知1(10)A，，2(11)A，，3(11)A-，，4(11)A--，，5(21)A-，，，则点2007A的坐标为______________．答案：(502502)-，2 21 1第6题. 用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片张；（2）第n 个图案中有白色纸片张．答案：（1）13；（2）31n +．第15题：如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n 个几何体中只有两个面．．．涂色的小立方体共有．答案：84n -或4(21)n -第7题.：用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第n 个图形需____________根火柴棒．答案：()66n +第8题.：如图，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律是．答案：2(1)(1)22n n n n n -++=或212(1)12n n n +++-++++=…… 第9题：2006年世界杯足球赛在德国举行，本次比赛共32支球队平均分成8个小组首先进行小组赛，每小组内举行单循环比赛（每个球队都与本小组的其它队比赛一场），选出两个球队进入16强．本次足球赛的小组赛共进行场比赛．答案：48第10题.：1883年，康托尔构造的这个分形，称做康托尔集．从数轴上单位长度线段开始，康托尔取走其中间三分之一而达到第一阶段；然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间三分之一而达到第二阶段．无限地重复这一过程，余下的无穷点集就称做康托尔集．上图是康托尔集的最初几个阶段，当达到第八个阶段第1个第2个第3个 … （第一个图形）（第二个图形）（第三个图形）时，余下的所有线段的长度之和为．答案：823⎛⎫⎪⎝⎭（或0.039）第11题.：观察下列顺序排列的等式：1234111111113243546a a a a =-=-=-=-，，，，…．试猜想第n 个等式（n 为正整数）：n a = ．答案：112n n -+ 第12题：将正六边形纸片按下列要求分割（每次分割，纸片均不得有剩余）：第一次分割：将正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形；第二次分割：将第一次分割后所得的正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中的一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形．按上述分割方法进行下去……（1）请你在下图中画出第一次分割的示意图；（2）若原正六边形的面积为a ，请你通过操作和观察，将第1次，第2次，第3次分割后所得的正六边形的（3）观察所填表格，并结合操作，请你猜想：分割后所得的正六边形的面积与分割次数有何关系？（S 用含a 和n 的代数式表示，不需要写出推理过程）．答案：解：（1）如图：（3）4n a S =．第13题. ：下列是三种化合物的结构式及分子式，则按其规律第4个化合物的分子式为．答案：410C H第14题.：用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖__________块，第n 个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n 的代数式表示）．答案：10，31n +第15题. ：如右图，已知ABC △的周长为1，连结ABC △三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，，依此类推，则第10个三角形的周长为（）Ａ．19Ｂ．110Ｃ．912⎛⎫ ⎪⎝⎭Ｄ．1012⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：Ｃ第16题. ：仔细观察著名的裴波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，则它的第12个数应该是．答案：144第17题. ：用黑白两种颜色的正六边形地板砖按图所示的规律，拼成若干地板图案，则第10个图案中白色的地板砖有__________块．答案：42第18题.：观察算式：211=；21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++==；……用代数式表示这个规律（n 为正整数）：13579(21)n ++++++-= ．答案：2n第19题.：探索规律：根据下图中箭头指向的规律，从2004到2005再到2006，箭头的方向是（）答案：Ａ第20题. ：碳氢化合物的化学式为：4CH ，26C H ，38C H ，410C H ，…，观察其化学式的变化规律，则第（1）（2）（3）A BC第1个第2个第3个1 2 3 0 4 7 8 5 6 9 10 …… A ． B ． C ． D ．n个碳氢化合物的化学式为．答案：22C Hn n+第21题.：用同样大小的正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色．下面的图案中，第n个图案中正方形的个数是___________________．答案：()341n+-或41n-或()()()1412n n n++---或()()121n n n+++-知识点：归纳猜想型专题试题类型：填空题试题难度：0.0 考查目标：基础知识录入时间：2006-8-8当输入数据是时，输出的数是（）Ａ．861Ｂ．865Ｃ．867Ｄ．869答案：Ｂ知识点：归纳猜想型专题试题类型：选择题试题难度：0.0 考查目标：基础知识录入时间：2006-8-8第23题. ：请你认真观察和分析图中数字变化的规律，由此得到图中所缺的数字应为（）Ａ．32 Ｂ．29Ｃ．25 Ｄ．23答案：Ｂ第24题. ：用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片张；（2）第n个图案中有白色纸片张．答案：（1）13；（2）31n+第25题. ：科学家发现：植物的花瓣，萼片，果实的数目以及其它方面的特征，都非常吻合一个奇待的数列——著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，仔细观察以上数列，则它的第11个数应该是．答案：89第26题. （2006湘潭课改）1n=2n=3n=第1个第2个第3个………上面是用棋子摆成的“Ｈ”字．（1）摆成第一个“Ｈ”字需要个棋子，第二个“Ｈ”字需要棋子个；（2）按这样的规律摆下去，摆成第10个“Ｈ”字需要多少个棋子？第n 个呢？答案：解：（1）7，12（2）第10个时，棋子个数为510252⨯+=（个）第n 个时，棋子个数为()52n +个第27题. ：观察下列等式：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，……．通过观察，用你所发现的规律确定20062的个位数字是．答案：4第28题.：老师在黑板上写出三个算式：225382-=⨯，229784-=⨯，22153827-=⨯，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：22115812-=⨯，22157822-=⨯，…… （1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；（2）用文字写出反映上述算式的规律；（3）证明这个规律的正确性．答案：解：（1）写出两个正确的算式．（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数．（3）证明：设m n ，为整数，两个奇数可表示为21m +和21n +，则22(21)(21)4()(1)m n m n m n +-+=-++．当m n ，同是奇数或偶数时，m n -一定为偶数，所以4()m n -一定是8的倍数．当m n ，一奇一偶时，则1m n ++一定为偶数，所以4(1)m n ++一定是8的倍数．所以，任意两奇数的平方差是8的倍数．第29题. ：数字解密：第一个数是321=+，第二个数是532=+，第三个数是954=+，第四个数是1798=+，……，观察并猜想第六个数是．答案：65第30题. ：观察下列各式：21321⨯=- 22431⨯=- 23541⨯=- 24651⨯=-…………请你根据发现的规律，写出第n 个等式：．答案：2(2)(1)1n n n +=+-第31题.：按下列规律排列的一列数对：(21)，，(54)，，(87)，，，则第5个数对中的两个数之和是．答案：27第32题.：下列图形中是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．答案：C第33题.：如图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼” ，则搭n 条“金鱼”需要火柴根．答案：62n +第34题.：如图，用三个边长为a 的等边三角形拼成如图（1）所示的等腰梯形，现将这个等腰梯形截成四个全等的等腰梯形（图中的1，2，3，4部分）．然后将其中的一个等腰梯形按照上述方法再截成四个全等的等腰梯形．如此重复下去……．求第n 次截得的一个等腰梯形的周长和面积．答案：解：周长：05C a =，152C a =，2252C a =，3352C a =，，52n n C a =面积：204S =，2124S =，2234S =，2344S =，，214n n S += 第35题. ：如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第n 个图案中白色瓷砖块数为_________．1条 2条 3条图（1） 1 2 3 4 第1个图案第2个图案第3个图案答案：32n + 第36题. ：如图，将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向连续翻转2006次，点P 依次落在点12P P ，，342006P P P ，，，…的位置，则2006P 的横坐标2006x = ．答案：2006第37题.根据提供的数据得出第n 排有个座位．答案：416n +第53题. ：如图，按英语字母表A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，的顺序有规律排列而成的鱼状图案中，字母“G ”出现的个数为_______．答案：13 第38题.：树木生长过程中，新枝生长及树枝数目变化规律如图所示，据此生长规律，可推知第八年有树枝_________枝．答案：34第39题.：如图，依次连结第一个．．．正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连结第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去．若第一个．．．正方形边长为１，则第．n 个．正方形的面积是_________________．答案：112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭第40题.：在很小的时候，我们就用手指练习过数数．一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2006时对应的指头是（填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）．答案：无名指第41题：用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：根据规律填空：①第4个图案中有白色地面砖块；②第n 个图案中有白色地面砖块．xA B B C C CDDDB C C DD DD……第1个第2个第3个……答案：①18，②42n +．第42题. ：已知：2222233+=⨯，2333388+=⨯，244441515+=⨯，…，若299a ab b+=⨯（a b ，为正整数），则ab = ．答案：720第43题. （2006 深圳课改）人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上1级台阶或2级台阶，小聪发现当台阶数分别为1级、2级、3级、4级、5级、6级、7级……逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为1，2，3，5，8，13，21……这就是著名的斐波那契数列．那么小聪上这9级台阶共有种不同方法．答案：55第44题. ：有规律排列的一列数：2，4，6，8，10，12，… 它的每一项可用式子2n （n 是正整数）来表示．有规律排列的一列数：12345678----，，，，，，，，… （1）它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？（2）它的第100个数是多少？（3）2006是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？答案：解：（1）它的每一项可用式子1(1)n n +-（n 是正整数）来表示．（2）它的第100个数是100-．（3）2006不是这列数中的数，因为这列数中的偶数全是负数．（或正数全是奇数．）注：它的每一项也可表示为(1)n n --（n 是正整数）．表示如下照样给分：当n 为奇数时，表示为n ．当n 为偶数时，表示为n -．第45题. ：找规律．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第n 幅图中共有个．答案：21n -第46题. ：观察一列有规律的数：12，16，112，120，它的第n 个数是___________．答案：1(1)n n +1 2 3 n … …。

中考数学二轮复习真题演练：归纳猜想型问题

二轮复习真题演练归纳猜想型问题一、选择题1．（2013•南平）给定一列按规律排列的数：1234,,,251017，…，则这列数的第6个数是（）A．637B．635C．531D．7391．A2．（2013•重庆）下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第（1）个图形的面积为2cm2，第（2）个图形的面积为8cm2，第（3）个图形的面积为18cm2，…，则第（10）个图形的面积为（）A．196cm2B．200cm2C．216cm2D．256cm22．B3．（2013•呼和浩特）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需（）根火柴．A．156 B．157 C．158 D．1593．B4．（2013•重庆）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1棵棋子，第②个图形一共有6棵棋子，第③个图形一共有16棵棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（）A．51 B．70 C．76 D．814．C5．（2013•济南）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A．（1，4）B．（5，0）C．（6，4）D．（8，3）5．D6．（2013•济宁）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（）A．54cm2B．58cm2C．516cm2D．532cm26．B二．填空题7．（2013•沈阳）有一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212…请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为7．82+92+722=7328．（2013•曲靖）一组“穿心箭”按如下规律排列，照此规律，画出2013支“穿心箭”是8．9．（2013•三明）观察下列各数，它们是按一定规律排列的，则第n个数是．1371531,,,,2481632，…9．21 2nn10．（2013•莱芜）已知123456789101112…997998999是由连续整数1至999排列组成的一个数，在该数中从左往右数第2013位上的数字为． 10．7 11．（2013•红河州）下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，如图所示，按此规律排列下去，第20个图形中有个实心圆．11．4212．（2013•衡阳）观察下列按顺序排列的等式：a 1＝1−12，a 2＝1124-，a 3＝1135-，a 4＝1146-，…，试猜想第n 个等式（n 为正整数）：a n = ． 12．112n n -+13．（2013•遂宁）为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第（n ）图，需用火柴棒的根数为．13．6n+2 14．（2013•深圳）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；…按这样的规律下去，第6幅图中有个正方形14．9115．（2013•南宁）有这样一组数据a 1，a 2，a 3，…a n ，满足以下规律：a 1＝12，a 2＝111a -，a 3＝211a -，…，a n ＝111n a --（n≥2且n 为正整数），则a 2013的值为（结果用数字表示）． 15．-116．（2013•大庆）已知111(1)1323=-⨯ ，1111()35235=-⨯，1111()57257=-⨯，…依据上述规律，计算113+⨯135⨯+157+⨯…11113+⨯的结果为（写成一个分数的形式）。

高中数学数学归纳法检测试题(有答案)

高中数学数学归纳法检测试题（有答案）高中数学数学归纳法检测试题（有答案）数学归纳法及其应用举例一、选择题(共49题，题分合计245分)1.用数学归纳法证明:1+ + +…+ 1)时,由n=k(k1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+12.球面上有n个大圆,其中任何三个都不相交于同一点,设球面被这n个大圆所分成的部分为f(n),则下列猜想:①f(n)=n,②f(n)=f(n-1)+2n,③f(n)=n2-n+2中,正确的是A.①与②B.①与③C.②与③D.只有③3.某个命题与自然数m有关,若m=k(kN)时该命题成立,那么可以推得m=k+1时该命题成立,现已知当m=5时,该命题不成立,那么可推得A.当m=6时该命题不成立B.当m=6时该命题成立C.当m=4时该命题不成立D.当m=4时该命题成立4.设f(n)= (nN),那么f(n+1)-f(n)等于A. B. C. + D. -5.用数学归纳法证明1+a+a2+…+ = (nN,a1)中,在验证n=1时,左式应为A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a312.用数字归纳法证明1+2+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,在验证n=1成立时,左边所得的代数式是A.1B.1+3C.1+2+3D.1+2+3+413.用数学归纳法证明当n是非负数时,34n+2+52n+1能被14整除的第二步中,为了使用归纳假设应将34k+6+52k+3变形为A.34k+281+52k+125B.34k+1243+52k125C.25(34k+2+52k+1)+5634k+2D.34k+49+52k+2514.用数学归纳法证明+ + +……+ = (nN)时,从n=k到n=k+1,等式左边需增添的项是A. B. C. D.15.利用数学归纳法证明不等式 ,(n2,nN)的过程中,由n=k 变到n=k+1时,左边增加了A.1项B.k项C.2k-1项D.2k项16.用数学归纳法证明5n-2n能被3整除的第二步中，n=k＋1时，为了使用假设，应将5k+1-2k+1变形为A.(5k-2k)＋45k-2kB.5(5k-2k)＋32kC.(5-2)(5k-2k)D.2(5k-2k)-35k17.平面内原有k条直线,它们的交点个数记为f(k),则增加一条直线后,它们的交点个数最多为A.f(k)+1B.f(k)+kC.f(k)+k+1D.kf(k)18.已知一个命题P(k),k=2n(nN),若n=1,2,…,1000时,P(k)成立,且当n=1000+1时它也成立,下列判断中,正确的是A.P(k)对k=2019成立 B.P(k)对每一个自然数k成立C.P(k)对每一个正偶数k成立D.P(k)对某些偶数可能不成立19.用数学归纳法证明: ,从k到k+1需在不等式两边加上A. B. C. D.20.设 ,则f(2k)变形到f(2k+1)需增添项数为A.2k+1项B.2k项C.2项D.1项21.欲用数学归纳法证明：对于足够大的自然数n，总有2n ＞n3,n0为验证的第一个值，则A.n0=1B.n0为大于1小于10的某个整数C.n0D.n0=222.某同学回答用数字归纳法证明 n+1(nN)的过程如下：证明：(1)当n=1时,显然命题是正确的;(2)假设n=k时有 k+1那么当n=k+1时, =(k+1)+1,所以当n=k+1时命题是正确的,由(1)、(2)可知对于(nN),命题都是正确的.以上证法是错误的,错误在于A.当n=1时,验证过程不具体B.归纳假设的写法不正确C.从k到k+1的推理不严密D.从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设23.平面上有k(k3)条直线,其中有k-1条直线互相平行,剩下一条与它们不平行,则这k条直线将平面分成区域的个数为A.k个B.k+2个C.2k个D.2k+2个24.已知凸k边形的对角线条数为f(k)(k3)，则凸k＋1边形的对角线条数为A.f(k)＋kB.f(k)＋k＋1C.f(k)＋k-1D.f(k)＋k-225.平面内原有k条直线，它们将平面分成f(k)个区域，则增加第k＋1条直线后，这k＋1条直线将平面分成的区域最多会增加A.k个B.k＋1个C.f(k)个D.f(k)＋1个26.同一平面内有n个圆,其中每两个圆都有两个不同交点,并且三个圆不过同一点,则这n个圆把平面分成A.2n部分B.n2部分C.2n－2部分D.n2－n＋2部分27.平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，这n个圆把平面分成f(n)个部分，则满足上述条件的n＋1个圆把平面分成的部分f(n＋1)与f(n)的关系是A.f(n＋1)=f(n)＋nB.f(n＋1)=f(n)＋2nC.f(n＋1)=f(n)＋n＋1D.f(n＋1)=f(n)＋n＋228.用数学归纳法证明不等式成立时，应取的第一个值为A.1B.3C.4D.529.若，则等于A. B.C. D.30.设凸n边形的内角和为f (n)，则f (n+1) - f (n) 等于A. B. C. D.31.用数学归纳法证明不等式成立,则n的第一个值应取A.7B.8C.9D.1032. 等于A. B. C. D.33.已知ab是不相等的正数,若 ,则b的取值范围是A.02B.02C.bD.b234.利用数学归纳法证明对任意偶数n,an-bn能被a+b整除时,其第二步论证,应该是A.假设n=k时命题成立,再证n=k+1时命题也成立B.假设n=2k时命题成立,再证n=2k+1时命题也成立C.假设n=k时命题成立,再证n=k+2时命题也成立D.假设n=2k时命题成立,再证n=2(k+1)时命题也成立35.用数学归纳法证明42n-1+3n+1(nN)能被13整除的第二步中,当n=k+1时为了使用假设,对42k+1+3k+2变形正确的是A.16(42k-1+3k+1)-133k+1B.442k+93kC.(42k-1+3k+1)+1542k-1+23k+1D.3(42k-1+3k+1)-1342k-136.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1)(nN)时,从两边同乘以一个代数式,它是A.2k+2B.(2k+1)(2k+2)C.D.37.用数学归纳法证明某命题时,左式为+cos+cos3+…+cos(2n-1)(kZ,nN),在验证n=1时,左边所得的代数式为A. B. +cos C. +cos+cos 3 D. +cos+cos 3+cos 538.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1)时,第二步n=k+1时的左边应是n=k时的左边乘以A.(k+1+k+1)B.(k+1+k)(k+1+k+1)C.D.39.设Sk= + + +……+ ,则Sk+1为A. B.C. D.40.用数字归纳法证明某命题时,左式为1- +…+ ,从n=k到n=k+1,应将左边加上A. B. C. D.41.用数学归纳法证明当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除时,第二步应是A.假设n=k(kN)时命题成立,推得n=k+1时命题成立B.假设n=2k+1(kN)时命题成立,推得n=2k+3时命题成立C.假设k=2k-1(kN)时命题成立,推得n=2k+1时命题成立D.假设nk(k1,kN)时命题成立,推得n=k+2时命题成立42.设p(k):1+ (k N),则p(k+1)为A.B.C.D.上述均不正确43.k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱有对角面的个数为A.2f(k)B.k－1＋f(k)C.f(k)＋kD.f(k)＋244.已知，则等于A. B.C. D.45.用数学归纳法证明，在验证n=1等式成立时，左边计算所得的项是A. B. C. D.46.用数学归纳法证明某不等式，其中证时不等式成立的关键一步是：，括号中应填的式子是A. B. C. D.47.对于不等式，某人的证明过程如下：当时，不等式成立。

中考复习：归纳猜想型试题专项练习

“归纳猜想型试题”专项训练一、精心选一选1．科学家发现：植物的花瓣、萼片、果实的数目以及其他方面的特征，都非常吻合一个奇特的数列——著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，仔细观察以上数列，则它的第11个数应该是( )A ．87B ．88C ．89D ．90 2．如图是三种化合物的结构式及分子式，第n 个化合物的分子式为（）A ．1+n n H CB ．2+n n HC C ．12+n n H CD ．22+n n H C 3．观察下列算式：331=，932=，33=27，43=81，53=243，63=729，73=2187，656138=，…通过观察，用你所发现的规律确定20003的个位数字是（）A ．1B ．3C ．9D ．7 4．如图，一块试验田的形状是三角形（设其为△ABC ），管理员从BC 边上的一点D 出发，沿DC →CA →AB →BD 的方向走了一圈回到D 处，则管理员从出发到回到原处在途中身体（）A ．转过090 B ．转过0180 C ．转过0270 D ．转过0360 5．如图，正方形ABCD 中，点E 是CD 边上一点，连接AE 交对角线BD 于点F ，连接CF ，则图中有全等三角形（）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 6．观察图中的图形，则第n 个图形中三角形的个数是（）4CH 62H C 83H C 第2题图第4题图ABCD A DB CFE第5题图A ．22+nB ．n 4C ．44-nD ．44+n 7．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a ，b ，c ，…，z 依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s 对应密文c按上述规定，将明文“maths ”译成密文后是（） A ．wkdrc B ．wkhtc C ．eqdjc D ．eqhjc二、细心填一填8．数字解密：若第一个数是3=2+1，第二个数是5=3+2，第三个数是9=5+4；第四个数是17=9+8，…，观察并猜想第五个数是．9．有一列数1234251017--，，，，…，那么第7个数是． 10．因为030cos =23，0210cos =23-，所以0210cos =)30180cos(00+=030cos - =23-；因为045cos =22，0225cos =23-，所以0225cos =)45180cos(00+=045cos -=22-；…．由此可知0240cos 的值等于． 11．若n 为正整数，观察下列各式：)311(21311-=⨯，)5131(21531-=⨯，)7151(21751-=⨯，…，根据观察计算：311⨯+531⨯+751⨯+…+)12)(12(1+-n n = ． 12．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用1A ，2A ，3A ，4A ，…表示，则顶点55A 的坐标为．13．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=090，当点D 在线段BC 上时（与点B 不第6题图重合），以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ，则线段CF ，BD 之间的位置关系为，数量关系为．14．已知正数a 和b ，有下列命题：（1）若2=+b a ，则1≤ab ；（2）若3=+b a ，则23≤ab ；（3）若6=+b a ，则3≤ab ．根据以上三个命题所提供的规律猜想：若9=+b a ，则≤ab ，并就此规律写出一般表达式．三、专心解一解15．如图，（1），（2），…，（m ）是边长均大于2的三角形、四边形、…、凸n 边形．分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧、…、n 条弧．（1）图（1）中3条弧的弧长的和为；图（2）4条弧的弧长的和为．（2）求图（m ）中n 条弧的弧长的和．（用n 表示）16．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。

中考数学专题一归纳猜想型问题培优试题

专题一归纳猜测型问题姓名：班别： [典例导析]类型一：从数列中找规律例1：下表中的数字是按一定规律填写上的，表中a 值应为，b 值应为。

1 2 3 5 8 13 a… 2 3581321b…[点拨] [解答][变式]观察规律，211=，2231=+，23531=++，247531=+++，……那么________2017531=++++类型二：从图中找规律例2：以下图是由同样大小的矩形按一定规律组成，其中2)1(2cm S =，2)2(8cm S =，2)3(18cm S =，以此类推，_______)10(=S〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕 [点拨] [解答][变式] 如图，以下各图形中三个数之间均具有一样规律，依此规律，图形中M 与m 、n的关系是。

类型三从整阵中找规律例3：将连续的正整数按图所示的规律排列，那么位于第7行第7列的数是第一列第二列第三列第四列第五列第六列第七列第1行 1 3 6 10 15 21 28第2行 2 5 9 14 20 27第3行 4 8 13 19 26第4行7 12 18 25第5行11 17 24第6行16 23第7行22[点拨][解答][变式] 如图三角形数阵按从小到大，左小右大排列，假如将表中的数按从小到大的顺序排列，那么第50个数是。

[点拨] 先确定第50个数所在的位置，再确定每行。

类型四：观察、归纳和猜测例4：一个楼梯一共有10级台阶，规定每步可以迈一级或者两级台阶，最多可迈三级台阶，从地面到最上面一级台阶，一一共可以有多少种不同迈法。

[点拨] 复杂的问题简单化，从简单入手进展归纳与猜测。

[解答]：[变式]：如图，在一个三角形点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2、4、6…2n…，请探究前n行的点数和所满足的规律。

假设前n行点数和为930，那么n= 。

培优训练1、计算434=1+，821+，……归纳计35=+，24432=31=33=+，1011+，281算结果中个位数字的规律，猜测132016+有个位为。

观察、归纳、猜想(找规律)答案

数学竞赛培训资料：观察、归纳、猜想（找规律）在解一些复杂或抽象问题时，可以通过观察或从简单、特殊情形入手，在观察的基础上寻找规律，并通过归纳、猜想得出一般结论，这是数学解题中经常用到的思想方法，称为观察、归纳、猜想。

例1、（1）有一组数：1，5，11，19，29，x ，55，……，则x = 41 。

（2）有一列数组：（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），……，则第100组数中三个数之和是 1010100 。

（3）已知一列数按以下规律排列：a 1＝1，a 2＝2＋3，a 3＝4＋5＋6，a 4＝7＋8＋9＋10， a 5＝11＋12＋13＋14＋15，… ，求a 200 ．19901＋19902＋……＋20100＝4000100数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…的排列规律是：前两个数是1，从第3个数开始，每一个数都是它前面两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列.在斐波那契数列的前2004个数中共有______个偶数.668例2、观察以下两列数（其中有些数是相同的，如11，23等）： A ：3，7，11，15，19，23，27，31，…… B ：2，5，8，11，14，17，20，23，…… 问：（1）它们中第20个相同的数是什么？239（2）如果它们分别有200个数，那么它们中有几个数是相同的？50例3、观察以下数列： ,51,14,23,32,41,13,22,31,12,21,1 问：（1）在数列中第100个数是什么？（2）98在数列中是第几个数？（1）96 ；（2）128例4、把奇数象下面那样按2、3、2、3、……的个数分解：（1，3），（5，7，9），（11，13），（15，17，19），……（1）要使数列1，3，5，7，……的前n项的和最先超过1000，问第n项位于第几群第几位？（2）第19群和第20群，每群的数字之和分别是多少？（1）13群第2个；（2）（91,93）＝184,（95,97,99）＝291例5、有一列数：21，34，65，78，109，1112，1413，……，把它的每个数码隔开，组成第二列数：2，1，3，4，6，5，7，8，1，0，9，1，1，1，2，……（1）第一列数中，第45个数是几？第一个六位数是多少？排在第几个？9089,102101,51 （2）第二列数中，第1998个数处在第一列数中的第几个数的什么数位上？是多少？351,1例6、给出一个“三角形”的数表如下：此表构成的规则是：第一行是0，1，2，…，999，以后下一行的数是上一行相邻两数的和。

七年级-归纳与猜想_答案

归纳与猜想例1 6 提示：5的对面是2，4的对面是3，1的对面是6．例2 121-n 提示：1S ＝1，2S ＝21，3S ＝22141=，4S ＝32181=，进而推出n S ＝121-n ．例3 （1）OE（2）射线OA 上数字的排列规律：6n －5（n 为自然数，下同）；射线OB 上数字的排列规律：6n －4；射线OC 上数字的排列规律：6n －3；射线OD 上数字的排列规律：6n －2；射线OE 上数字的排列规律：6n －1；射线OF 上数字的排列规律：6n ．（3）在6条射线的数字规律中，只有6n －3＝2007有整数解，解围n ＝335，故“2007”在射线OC 上．例4 （1）可分组为（11），（21，12），（31，22，13），（41，32，23，14），（51，42，33，24，15）…，可知各组数的个数依次为1，2，3，…．当F （m ）＝20012时，m ＝（1＋2＋…＋2001）＋2＝2003003，这2003003个数的积为20030011．例5 （1）第3次操作后所得到的9个数为：2，611，27，617，5，3，4，37，3．它们的和为2＋611＋27＋617＋5＋3＋4＋37＋3＝255．（2）由条件知0S ＝5，则1+k S ＝k S ＋120+-k S S k ＝()153+-+k S k k ＝k S k k ⋅++13－15+k ．（3）因3S ＝255．故4S ＝346S －45＝40；5S ＝457S －55＝55，6S ＝568S －65＝2145．【能力训练】1．10101002．142 提示：若有n 个黑色六边形，则白色六边形个数为4n ＋2．故＝35时，4n ＋2＝4×35＝142个．3．1917- 4．B 5．76 黑色梯形的规律明显：每个梯形的高都为2，上底分别对OA 上的1，5，9，…，下底分别对应OA 上的3，7，11，…．而上、下底的长度恰好和它在OA 上对应的数值是一样的．以上底为例，1＝1，5＝1＋4×1，9＝1＋4×2，…，故第10个梯形的上底对应OA 上的数为1＋4×9＝37，下底的长正好为39，于是10S ＝()223937⨯+＝76． 6．A 7．D 提示：2013÷4＝503……1，故在第504个正方形右下角．8．（1）第1列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在的行数的平方．第10行起，左起第13列，应该是第13列的第10个数，即()2113-＋10＝144＋10＝154．（2）数127满足关系式127＝211＋6＝()2112-＋6，即127在左起第12列，上起第6行的位置． 9．观察已经写出的数，发现每三个连续数中恰好有一个偶数，在前100项中，第100项是奇数，前99项中有399＝33个偶数． 10．设至少要画k 条直线．k 条直线最多将圆分成1＋1＋2＋3＋4＋…＋k 块，当k ＝9时，1＋1＋2＋3＋…＋9＝46，当k ＝10时，1＋1＋2＋3＋…＋10＝56，故至少要画10条直线，可以将圆纸片分成不小于50块．。

归纳、猜想、证明答案

1、xxxxn x x x x22221,41,31,21++++2、()()12121+-n n3、1+n n4、()1121111132222++<+++++n n n5、2211;815,47,23--n n6、21432112815,47,23,1--=====n n a a a a a 猜想下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上述可知，显然成立（2）假设n=k （k ∈N ）时，命题成立，即2112--=k ka，那么()()()221111111111122122212212,1-++-++++++-=⇒+-=+=-+=+-∴-+=+=+=k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a S S k k k k n 时∴φ4 ν=κ+1时，命题成立由（1）（2）知，对n ∈N ，命题成立7、解：猜想()()N n n a a a a aa n n ∈≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++22121111证明：n=1，1111≥⋅aa 显然，n=2，()42221121122121=+≥++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++a a a a a a a a 也成立，假设k a a ki i ki i 2111≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∙∑∑==，则当n=k+1时，()12212111111111111111111111212111111111+∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=++=++≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+∙++⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅==++===+=+==+=+=+=+=k k k a a a a a a a a a a a a a aa k k i ki k i i k ki ik i i k i i k k i i k k i i k i k k i i k k i i k i ik i i故n=k+1时，不等式也成立8、当n=1时，()12+n >3n当n=2时，()12+n =3n当n=3时，()12+n <3n9、()()N n n n n q ∈≥=,2下面用数学归纳法证明：当N n n ∈≥,2时，等式()11321-=++++-a aa a a n n n 成立1︒当n=2时，()()121212121=⨯=-=aa q ，结论成立2︒假设当n=k （k=2）时结论成立，则()()()()()()()1111111111111321-+=⎪⎭⎫⎝⎛-+++=++-+=-+=+-=++++++-a a a a a a a a aa a k k k k k k k k k k k k k kk k即当n=k+1时结论成立由1︒、2︒可知，对于大于1的自然数n ，存在()n n q =，使等式()()1121-=+++-a aa a n n n q 恒成立10、n+111、（1）n2（2）()12221++-n n n n（3）()()()N k k n n k n n ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+22122112、证明：设()522≥>k k k，则当n=k+1时，()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛>⋅>-+=--+++=⋅>⋅=-+-++2212122211112222222221k k k k k k k k k k k综上所述，n=1或n=5时，()2f>1122+-nn ；n=2或4时，()2f=1122+-nn；n=3时，()2f<1122+-nn.13、a a a a a a sin 3cos sin 2cos 32==猜想a na a n sin cos =以下用数学归纳法证明：1︒当n=1时，a aa sin cos 1=，猜想正确 2︒假设当n=k 时猜想正确，即a ka a k sin cos =，则()[]()a a k a a ka a ka ka a akaa k a a a kk sin 1cos sin sin sin cos cos sin cos sin cos 11sin cos 1+=-=-=-+-=+∴φ4 ν=κ+1时，猜想也正确据1︒、2︒可知，对任意的n ∈N ，猜想都正确14、（1）⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛3,3,2,221b a b a P P （2）猜想⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1,1n b n aP n ，下面用数学归纳法证之： n=1时，已得；假设n=k 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛++1,1k b k a P k ，通过（0，b ），⎪⎭⎫⎝⎛+0,1k a 的直线方程为()111=++y bx ak ，与x a b y =联立得⎪⎭⎫ ⎝⎛+++2,21k b k a P k ，也即当n=k+1时，猜想也真.15、(n-2)π16、()321-n n17、22+-n n18、n 219、()12221++-n n n n20、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+k n n k n n 2,212,2121、证明：⇒=+=+++==++=++=⇒=⇒=++0111,0111110133654363232332S S zzzS S zzzz S zzz z z 猜想3=Sn。