湖北省武汉市部分重点中学2020-2021学年高二下学期期中联考数学试题

湖北省武汉市部分重点中学2020-2021学年高二下学期期中
联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有（ ）种．
A ．5
10A
B ．5
10C C ．105 D ．510
2．已知
n
的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则
n =（ ） A ．4 B ．5 C ．6
D ．7
3．两位男生和两位女生排成一排照相，则两位女生不相邻的排法种数是（ ） A ．24
B ．12
C ．8
D ．4
4．曲线()y f x =在1x =处的切线如图所示，则(1)(1)'-=f f （ ）
A ．0
B ．1-
C ．1
D ．1
2
-
5．对于一组具有线性相关关系的样本数据(),(1,2,,)i i x y i n =，其样本中心为()
,x y ，回归方程为y bx a =+，则相应于样本点(),i i x y 的残差为（ ） A ．i y y - B ．i y y -
C ．()
i i y bx a -+
D ．()
i i bx a y +-
6．甲乙两位游客慕名来到江城武汉旅游，准备分别从黄鹤楼、东湖、昙华林和欢乐谷4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A ：甲和乙至少一人选择黄鹤楼，事件B ：甲和乙选择的景点不同，则条件概率()P B A =（ ）
A ．
716 B ．78
C ．37
D ．67
7．多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．若选项中有i （其中2,3,4i =）个选项符合题目要求，随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量i ξ（其中2,3,4i =），则有（ ）
A ．()()()24323E E E ξξξ+<
B ．()()()24323E E E ξξξ+>
C ．()()()24323E E E ξξξ+<
D ．()()()24323
E E E ξξξ+>
8．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD （边长为2个单位）的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为(1,2,,6)i i =⋅⋅⋅，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的所有不同走法共有
A ．22种
B ．24种
C ．25种
D ．27种
二、多选题
9．为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.已知该药物在人体血管中药物浓度c 随时间t 的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t 变化的关系如图所示.则下列结论正确的是（ ）
A ．在1t 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
B ．在2t 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
C ．在[]23,t t 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
D ．在
[]12,t t 和[]2
3
,t t 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同.
10．给出下列说法，其中正确的有（ ）
A ．若X 是离散型随机变量，则()()2323E X E X +=+，()()2349D X D X +=+；
B ．如果随机变量X 服从两点分布，且成功概率为p ，则()E X p =；
C ．在回归分析中，相关指数2R 为0.98的模型比2R 为0.80的模型拟合的效果要好﹔
D ．对于独立性检验，随机变量2K 的观测值k 值越小，判定“两个分类变量有关系”犯错误的概率越大.
11．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，“初等函数”是由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个解析式表示，如函
数()()0x
f x x x =>，我们可以作变形：ln ln ()x
x x x x t f x x e e e ====（其中ln t x x =），所
以()f x 可看作是由函数t y e =和ln t x x =复合而成的，即()()0x
f x x x =>为初等函数.那
么，对于初等函数()1()0x
h x x x =>，下列说法正确的是（ ）
A ．有极小值
B ．有最小值
C ．有极大值
D ．有最大值
12．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值可能是（ ） A ．14
B ．
712
C ．
512 D ．34
三、填空题 13．曲线sin x
y x
=
在点M(π，0)处的切线方程为________． 14．在54(12)(13)x x -⋅+的展开式中，按x 的升幂排列的第3项为___________. 15．在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X ，则()E X =__________.
四、双空题
16．为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据，绘制成散点图，发现用模型kx y ce =拟合比较合适.令ln z y =，得到 1.3z x a =+，经计算发现x ，
z 满足下表，则k =__________，c =__________.
五、解答题
17．某制造企业坚持把质量作为建设企业的生命线，现从生产的一种产品中随机抽取500件，测量产品的质量指标值，得到如下频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，求样本平均数x 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）由频率分布直方图可以认为，该产品的质量指标值X 近似服从正态分布()2
,N μσ
，
其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，并把质量指标值在212.2及以上的产品称为优等品，试估算该产品为优等品的概率.
12.2≈，若()
2
~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，
()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=.
18．电子邮件是一种用电子手段提供信息交换的通信方式，是互联网应用最广的服务.我们在使用电子邮件时发现一个有趣的现象：中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人邮箱名称里含有数字的比较少.为了研究邮箱名称里含有数字是否与国籍有关，随机调取40个邮箱名称，其中中国人的20个，外国人的20个，在20个中国人的邮箱名称中有15个含数字，在20个外国人的邮箱名称中有5个含数字. （1）根据以上数据填写22⨯列联表；
（2）能否有99%的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”？
（3）用样本估计总体，将频率视为概率.在中国人邮箱名称里和外国人邮箱名称里各随机调取6个邮箱名称，记“6个中国人邮箱名称里恰有3个含数字”的概率为1p ，“6个外国人邮箱名称里恰有3个含数字”的概率为2p ，试比较1p 与2p 的大小.
参考公式和数据：()
()()()()2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++为样本容量）.
19．设函数()cos x f x ae x =+，其中a R ∈. （1）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；
（2）若()f x 在区间[0,]π内有两个不同的零点，求a 的取值范围.
20．在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度．．．．．．.而系统能正常工作的概率称为设备的可靠度．．．．．．.为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）.已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”即一台正常设备，两台备用设备的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为()01r r <<，它们之间相互不影响. （1）当0.9r =时，求计算机网络断掉的概率； （2）要使系统的可靠度不低于0.992，求r 的最小值；
（3）已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失.为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种解决方案：
方案一：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更新设备硬件总费用为8万元；
方案二：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护总费用为5万元.
请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策. 21．已知函数2()2ln f x x x =-+与()a
g x x x
=+有相同的极值点. （1）求实数a 的值；
（2）若121,,3x x e ⎡⎤
∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式
()()1211
f x
g x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围. 22．某生物研究所存有一批规格相同的瓶装溶液，部分瓶装溶液中含有细菌R ，现取出()*,2n n N n ∈≥瓶该规格溶液做实验，其中m 瓶含有细菌R ，实验需要把含有细菌R 的
溶液检验出来，有如下两种方案：
方案一：逐瓶检验，则需检验n 次；
方案二：混合检验，将n 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R ，则n 瓶溶液全部不含有细菌R ；若检验结果含有细菌R ，就要对这n 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为1n +.
（1）假设5n =，2m =，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率；
（2）现对n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为()01P P ≤≤.若采用方案一，需检验的总次数为ξ，若采用方案二，需检验的总次数为η. ①若ξ与η的期望相等，试用n 表示P ；
②若1
41P e -=-，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望，求n 的最大值.
参考数据：ln 20.69≈，ln3 1.10≈，ln5 1.61≈，ln 7 1.95≈.
参考答案
1．D
【分析】
以乘客为研究对象，每位乘客下车的方法有5种，结合分步计数原理可得答案.
【详解】
公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，每位乘客下车的方法有5种，乘客下车的可能方式有510种，
故选：D．
2．C
【分析】
利用赋值法确定展开式中各项系数的和以及二项式系数的和，利用比值为64，列出关于n的方程，解方程.
【详解】
二项式
n
的各项系数的和为()
134
n n
+=，
二项式
n
的各项二项式系数的和为2n，
因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，
所以4
264
2
n
n
n
==，6
n=.
故选：C.
3．B
【分析】
先排男生，再把女生安排在男生产生的空位上，不相邻问题插空法.
【详解】
先排两位男生，两位男生排好后有3个空位，再放入两位女生，则两位女生不相邻的排法种
数22
2312
A A=种. 故选：B. 4．C
【分析】
由图示求出直线方程，然后求出1(1)=2f -，1
(1)=2
f '，即可求解.
【详解】
由直线经过()0-1，
，()2,0，可求出直线方程为：220x y --= ∵()y f x =在1x =处的切线 ∴21(1)=
22x f -=-，1
(1)=2
f ' ∴11(1)(1)122f f ⎛⎫
'-=--= ⎪⎝⎭
故选：C 【点睛】
用导数求切线方程常见类型：
(1)在00(,)P x y 出的切线：00(,)P x y 为切点，直接写出切线方程：000()()y y f x x x '-=-； (2)过00(,)P x y 出的切线：00(,)P x y 不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标 ()11,x y ，
再写出切线方程：111()()y y f x x x '-=-. 5．C 【分析】
根据残差的定义可得选项. 【详解】
因为残差是实际观察值与估计值（拟合值）之间的差，所以相应于样本点(),i i x y 的残差为
()
i i y bx a -+， 故选：C. 6．D 【分析】
首先根据题意分别算出事件A 和AB 的情况数，再利用条件概率公式计算即可. 【详解】
由题知：事件A ：甲和乙至少一人选择黄鹤楼共有：1
1
2317C C ⋅+=种情况，
事件AB ：甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择黄鹤楼，共有11
236C C ⋅=种情况，
()6
=7
P B A .
故选：D. 7．B 【分析】
分别求出2i =、3i =、4i =时()i E ξ，再一一判断即可； 【详解】
解：当2i =时，2ξ的可能情况为0,3,5
选择的情况共有：1234
444415C C C C +++=种；
()21515P ξ==
，()22315P ξ==，()2121201151515
P ξ==--= 所以()2211211
35015151515
E ξ=⨯
+⨯+⨯= 当3i =时，3ξ的可能情况为0,3,5
选择的情况共有：1234
444415C C C C +++=种；
()31515P ξ==，()23336
3151515
C P ξ==+=，()316801151515P ξ==--=
所以()361823
35015151515
E ξ=⨯+⨯+⨯=
当4i =时，4ξ的可能情况为3,5
选择的情况共有：1234
444415C C C C +++=种；
()41515P ξ==
，()4114311515
P ξ==-=， 所以()411447
53151515
E ξ=⨯
+⨯= 对于AB ：()()241147105
22151515
E E ξξ+=
+⨯=，()32369331515E ξ=⨯=，所以
()()()24323E E E ξξξ+>，故A 错误，B 正确；
对于CD ： ()()2411476922151515E E ξξ+=⨯
+=，()32369
331515
E ξ=⨯=，所以()()()24323E E E ξξξ+=，故CD 错误；
故选：B 8．D
【详解】
分析：抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的表示三次骰子的点数之和是8,16，列举出在点数中三个数字能够使得和为8,16的125;134;116;224;233;466;556，共有7种组合，利用分类计数原理能得到结果.
详解：由题意知正方形ABCD （边长为2个单位）的周长是8，
抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的表示三次骰子的点数之和是8,16， 列举出在点数中三个数字能够使得和为8,16的有125;134;116;224;233;466;556， 共有7种组合，
前2种组合125;134，每种情况可以排列出3
36A =种结果，
共有3
322612A =⨯=种结果；
116;224;233;466;556各有3种结果，共有5315⨯=种结果，
根据分类计数原理知共有121527+=种结果，故选D.
点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率. 9．AC 【分析】
由关系图提供的数据结合平均变化率的定义进行判断． 【详解】
在1t 时刻，两曲线交于同一点，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A 正确； 在2t 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度相同，但两曲线在此时的切线斜率不相同，因此瞬时变化率不相同，B 错误；
在23,t t 两个时刻，甲、乙两人血管中药物浓度相同，因此在[]23,t t 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，C 正确； 在
[]12,t t 和[]2
3
,t t 两个时间段内，时间差不多，但甲血管中药物浓度差前者小于后者，药物
浓度的平均变化率不相同，D 错．
10．BCD 【分析】
利用期望与方差公式判断A ；两点分布的期望公式判断B ；回归分析的性质判断C ；独立检验的性质判断D ． 【详解】
解：若X 是离散型随机变量，则(23)2()3E X E X +=+，(23)4()D X D X +=，所以A 不正确；
随机变量X 服从两点分布，且成功概率为p ，则()E X p =，满足两点分布的期望公式的求法，所以B 正确；
在回归分析中，相关指数2R 为0.98的模型比2R 为0.80的模型拟合的效果要好，所以C 正确；
对于独立性检验，随机变量2K 的观测值k 值越小， 则“两变量有关系”的把握程度越小，
则判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故D 正确． 故选：BCD ． 11．CD 【分析】
根据题意可知1
11ln ln ()x
x x x
x
h x x e e
===，再求出导函数()h x '，利用导函数的正负即可判断出结果．
【详解】
解：根据题意可知11
1
ln ln ()x
x x x x h x x e e ===，
1
ln 11ln ln 2221
ln 1()(ln )()(1ln )x x
x x x
x
x e
h x e
x e x x
x x x
''∴=⋅=⋅-
+=-， 令()0h x '=得：x e =，
∴当0x e <<时，()0h x '>，此时函数()h x 单调递增；当x e >时，()0h x '<，此时函数()
h x 单调递减，
所以()h x 在x e =处取得极大值即最大值，即()()1max
e
h x h e e ==，无极小值，
故选：CD 12．AC
根据题意，分别求出()()()123P X P X P X ===，，，再根据离散型随机变量期望公式进行求解，求出10,2p ⎛∈⎫
⎪⎝⎭
，选出符合的选项即可.
【详解】
由题可知()1P X p ==，()()21P X p p ==-， ()()()()2
3
2
3111P X p p p p ==-+-=-，
则()()()()()()2
1232131 1.75E X P X P X P X p p p p =====+-+->+2+3 解得5122p p ><或，由()0,1p ∈可得10,2p ⎛∈⎫
⎪⎝⎭
，
故选：AC 【点睛】
本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于中档题. 13．1
()y x ππ
=--
【分析】 由题意可得2
cos sin 'x x x
y x ⋅-=，据此可得切线的斜率，结合切点坐标即可确定切线方程.
【详解】
由函数的解析式可得：2
cos sin 'x x x
y x ⋅-=
，
所求切线的斜率为：2
cos sin 1
'x k y ππππππ
=-==
=-， 由于切点坐标为(),0π，故切线方程为：()1
y x ππ
=--.
【点睛】
导数运算及切线的理解应注意的问题
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.
【分析】
易知，展开式中有常数项、一次项，二次项，⋯⋯，故按x 的升幂排列，第三项为含2x 项，结合展开式的通项可求解． 【详解】
解：易知，展开式中有常数项、一次项、二次项等，故所求的项为2x 项．
整个式子中2x 项可由5(12)x -，4(13)x +的展开式的常数项与二次项、一次项与一次项相乘
得到，其中5(12)x -展开式的通项为()152r r r T C x +=-，4(13)x +展开式的通项为()143k
k
k T C x +=；
故所求为：02211220
2545
454(3)(2)(3)(2)26C C x C x C x C x C x ⨯+-⨯+-⨯=-． 故答案为：226x -．
15．8
5
【分析】
求出X 的可能值，求出概率，然后求解期望即可． 【详解】
解：随机变量X 的所有可能为0，1，2，3，4，
4
64101
(0)14
C P X C ===，13464108(1)21C C P X C ===，22464103(2)7C C P X C ===，
31464104(3)35
C C P X C ===，4
44101
(4)210C P X C ===，
故1
834181
2
3
4
14
21
()7
35
2105
E X ， 故答案为：8
5
．
16．1.3 0.2e - 【分析】
先由表中数据求出x ，z ，再根据回归直线方程恒过样本中心点，求出a 的值，然后结合指数和对数运算法则，即可得解． 【详解】
解：由表知，1(23456)45
x =⨯++++=，1(1.5 4.5 5.5 6.57)55
z =⨯++++=，
由 1.3z x a =+恒过点()
,x z ，知5 1.34a =⨯+，解得0.2a =-，
1.30.2z x ∴=-，即 1.30.2lny x =-，
1.30.20.2 1.3x x y e e e --∴==⋅，
1.3k ∴=，0.2c e -=．
故答案为：1.3，0.2e -． 17．（1）200；150；（2）0.1587. 【分析】
（1）根据频率分布直方图值平均数和方差公式计算可得；
（2）由（1）可知200μ=，12.2σ=，再根据正态曲线的性质求出所对应的概率； 【详解】
（1）由频率分布直方图得样本平均值为：
1700.021800.091900.222000.33x =⨯+⨯+⨯+⨯2100.242200.082300.02200+⨯+⨯+⨯=，
样本方差为：
2222(170200)0.02(180200)0.09(190200)0.22
s =-⨯+-⨯+-⨯2222(200200)0.33(210200)0.24(220200)0.08(230200)0.02150+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.
（2）∵由已知得200μ=，12.2σ=，
所以20012.2212.2μσ+=+=，由()0.6826P X μσμσ-<<+=得， ()()11
(212.2)()1(10.6826)0.158722
P X P X P X μσμσμσ≥=≥+=
--<<+=-=. 故该产品为优等品的概率为0.1587.
18．（1）表格见解析；（2）有；（3）12p p =. 【分析】
（1）根据题意，填写列联表即可；
（2）由表中的数据计算2K ，对照临界值表即可得到答案；
（3）由列联表得到，中国人与外国人邮箱名称里含有数字的概率，设“6个中国人邮箱名称里恰有3个含数字”的人数为随机变量ξ，
“6个外国人邮箱名称里恰有3个含数字”的人数为随机变量η，即可得到3~6,4ξB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1~6,4ηB ⎛⎫
⎪⎝⎭
，再根据二项分布的概率公式计算可得．
【详解】
解：（1）填写22⨯列联表如下：
（2）()()()()()2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++240(151555)10 6.63520202020
⨯-⨯==>⨯⨯⨯.
根据临界值表可知，有99%的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”. （3）用样本估计总体，将频率视为概率，根据（1）中22⨯列联表. 中国人邮箱名称里含数字的概率为
153
204=，外国人邮箱名称里含数字的概率为51
204
. 设“6个中国人邮箱名称里含数字”的人数为随机变量ξ，“6个外国人邮箱名称里含数字”的人数为随机变量η，根据题意得：3~6,4ξB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1~6,4ηB ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
则3
63
333316
6
333114444p C C -⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭，3
63
33
33266
111314444p C C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
.
所以12p p =.
19．（1）证明见解析；（2）34
2e π
π--⎡⎫
⎪⎢⎪⎣
⎭
. 【分析】
（1）由()sin 0x f x e x '=->得()f x 在(0,)+∞上为增函数，则()(0)2f x f >=从而得证. （2）即cos x
x
a e
=-
在区间[0,]π内有两个不同的实数根,设cos (),x x h x e =-求出()h x 的导数，研究出()h x 的单调性，从而可得答案. 【详解】
（1）()sin x
f x e x '=-，
由0x >，得1,sin [1,1]x e x >∈-，
则()sin 0x f x e x '=->，即()f x 在(0,)+∞上为增函数.
故()(0)2f x f >=，即()2f x >. （2）由()cos 0x f x ae x =+=，得cos x
x
a e =-. 设函数cos (),[0,]x
x
h x x e π=-
∈， 则sin cos ()x
x x h x e '
+=
. 令()0h x '=，得34
x π=. 则30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，3()0,,4h x x ππ'
⎛⎤>∈ ⎥⎝⎦
时，()0h x '<，
所以()h x 在30,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调逼增，在3,4ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调减.
又因为343(0)1,(),4
h h e h π
π
π
π--⎛⎫
=-==
⎪⎝⎭，
所以当34
a e π
π--⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭
时，方程cos x x
a e =-在区间[0,]π内有两个不同解，
即所求实数a 的取值范围为34
2e π
π--⎡⎫
⎪⎢⎪⎣⎭
. 【点睛】
本题考查利用导数证明不等式和利用导数研究零点问题，考查等价转化的能力，属于中档题. 20．（1）0.001；（2）0.8；（3）应选择方案二. 【分析】
（1）计算机网络断掉，即三台设备都不能正常工作，根据独立重复事件的概率公式可得答案；.
（2）要使系统的可靠度不低于0.992，则(1)1(1)1(0)P X P X P X ≥=-<=-=，建立不等式解之可得r 的最小值；
（3）设方案一、方案二的总损失分别为1Y 、2Y .由（1）求得方案一的总损失的数学期望，由（2）求得方案二的总损失的数学期望，比较可得决策方案. 【详解】
（1）计算机网络断掉，即三台设备都不能正常工作，其概率为003
30.9(10.9)0.001C ⨯-=.
（2）要使系统的可靠度不低于0.992，
则3(1)1(1)1(0)1(1)0.992P X P X P X r ≥=-<=-==≥--，
解得0.8r ≥，故r 的最小值为0.8.
（3）设方案一、方案二的总损失分别为1Y 、2Y .
采用方案一，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度达到0.9， 由（1）可知计算机网络断掉的概率为0.001，不断掉的概率为0.999， 因此()180.001508.05E Y =+⨯=（万元）；
采用方案二，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度达到0.8， 由（2）可知计算机网络断掉的概率为0.008， 因此()250.00850 5.4E Y =+⨯=（万元）.
因此，从期望损失最小的角度，决策部门应选择方案二. 21．（1）1a =；（2）()34,2ln 31,3⎛⎤-∞-++∞ ⎥
⎝⎦
.
【分析】
（1）利用导数得出函数()f x 的极值点0x ，再令00()g x '=即可得出a 的值，再进行验证即可； （2）首先求出()f x 与()g x 在1,3e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最值，再对1k -分正负讨论，把要证明的不等式变
形等价转化，即可求出参数的取值范围． 【详解】
（1）因为2()2ln f x x x =-+ 所以22(1)(1)()2(0)x x f x x x x x
-+'=-+
=->， 由()00f x x >⎧⎨>'⎩得01x <<，由()0
0f x x <⎧⎨>'⎩
得1x >.
所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞单调递减，从而()f x 的极大值为()11f =-. 又()a g x x x =+
，所以2()1a
g x x
=-'，依题意，1x =是函数()g x 的极值点，所以()110g a '=-=，
解得1a =，所以()()22221111()1x x x g x x x x -+-'=-==，则当1x >或1x <-时()0g x '>，当
01x <<或10x -<<时()0g x '<，所以()g x 在()1,+∞和(),1-∞-上单调递增，在()1,0-和()
0,1上单调递减；
所以函数在1x =处取得极小值，
即当1a =时，函数()g x 取到极小值，符合题意，故a =1.
（2）由（1）知()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，在[]1,3上单调递减，又()13f f e ⎛⎫
< ⎪⎝⎭，
所以11,3x e ⎡⎤
∀∈⎢⎥⎣⎦
，()1max (1)1f x f ==-，()1min (3)92ln3f x f ==-+，
由（1）知1()g x x x =+，易知()g x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,3上单调递增，且()13g g e ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
.
所以21,3x e ⎡⎤
∀∈⎢⎥⎣⎦
，()2max 10(3)3g x g ==，()2min (1)2g x g ==，
由题意，①当10k ->即1k >时，()()12max 1k f x g x -≥-⎡⎤⎣⎦， 而()()()()1212max min max (1)(1)3f x g x f x g x f g -=-=-=-⎡⎤⎣⎦， 故13k -≥-，又因为1k >，所以1k >.
②当10k -<即1k <时，()()12min 1k f x g x -≤-⎡⎤⎣⎦， 而()()()()1212min max min 37
(3)(3)2ln 33
f x
g x f x g x f g -=-=-=-+⎡⎤⎣⎦， 故3712ln 33k -≤-
+，又因为1k <，所以34
2ln 33
k ≤-+. 综上，所求实数k 的取值范围为()34,2ln 31,3⎛⎤
-∞-++∞ ⎥
⎝⎦
.
22．（1）310；（2）①()1
*11,2n
P n N n n ⎛⎫=-∈≥ ⎪⎝⎭；②8. 【分析】
（1）恰好经过3次检验就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 可分为两个互斥事件：一个是第三次含有细菌R 且前两次有一次含有细菌R ，另一个是前三次中都不含细菌R ，由互斥事件概率公式可得；
（2）①首先确定()E n ξ=，η的所有可能取值为1，1n +，求出η的概率得期望，由两个期望相等可得P ；
②由①可得()E η，由题意可得41n n n e π->+-⋅，整理得到1ln 4n n >，引入函数1()ln 4
f x x x =-，
由导数求得其单调性，确定零点存在的范围得n 的最大值． 【详解】
（1）设“恰好经过3次检验就能确定哪两瓶溶液含有细菌R ”为事件A ， “第三次含有细菌R 且前两次有一次含有细菌R ”为事件B ， “前三次中都不含细菌R ”为事件C ，
则A B C =，且B 、C 互斥，∴1113223333
55113
()()()51010
A A A A P A P
B P
C A A =+=+=+=， 所以恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率为3
10
. （2）①由已知得()E n ξ=，η的所有可能取值为1，1n +. ∴(1)(1)n P P η==-，(1)1(1)n P n P η=+=--，
∴()1(1)(1)1(1)1(1)n n n
E P n P n n P η⎡⎤=⋅-++⋅--=+--⎣⎦
， 若()()E E ξη=，则1(1)n n n n P =+--，
所以()1*
11,2n
P n N n n ⎛⎫=-∈≥ ⎪⎝⎭
.
②∵1
41P e -=-，∴4()1E n n e π
η-=+-⋅，由题意知()()E E ξη>，
∴41n n n e π->+-⋅，整理得到1
ln 4
n n >，
设函数1()ln (2,)4h x x x x x R =-≥∈，则114'()44x
h x x x
-=-=，
∴当24x ≤<时，'()0h x >，即()h x 在[)2,4上单调递增， 当4x >时，'()0h x <，即()h x 在()4,+∞上单调递减， 又(8)ln823ln 2230.6920h =-=-=⨯->，999
(9)ln 92ln 32 1.100444
h =-=-=⨯-<， 所以满足题设条件的n 的最大值为8.。