人教版九年级数学上册《正多边形和圆》导学案

正多边形和圆
教学目标：
1、使学生了解在任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆；正多边形都是轴对称图形，有偶数条边的正多边形又是中心对称图形；边数相同的正多边形都相似．
2、使学生理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念．
3、通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；
4、通过正多边形有关概念的教学，培养学生的阅读理解能力．
教学重点：
正多边形的性质；正多边形的有关概念．
教学难点：
对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解．
教学过程：
一、新课引入：
上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分(n≥3)圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．那么给定正多边形能否得到圆呢？为解决此问题本堂课继续研究正多边形和圆．
正多边形是一种特殊的多边形，它有一些类似于圆的性质．例如，圆有独特的对称性，它不仅是轴对称图形、中心对称图形，而且它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，绕圆心旋转任意一个角度都能和原来的图形重合．正多边形也是轴对称图形，正n边形就有n条对称轴，当n为偶数时，它又是中心对称图形，而且绕中
的联系．根据“任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆”这个定理和圆的有关概念，得到了“正n边形的半径和边心矩把正n边形分成2n个全等的直角三角形”这个定理，从而使正多边形的有关计算转变为解直角三角形问题．
二、新课讲解：
复习提问：1．作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？[安排记起来的学生回答]．2．作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？[请回忆起来的学生回答]．
请两名中上学生到黑板前一人画不等边三角形的外接圆与内切圆，另一人画正三角形的外接圆与内切圆，其余学生在练习本上画上述两种三角形的外接圆与内切圆．
教师引导：通过作图不难发现，不等边三角形都既有一个外接圆，又都有一个内切圆．大家观察黑板上两种三角形的外接圆与内切圆，结合你画的图，你发现正三角形的外接圆与内切有什么特殊之处？(学生思考、回答：正三角形的外接圆与内切圆是同心圆．)
教师引导：正方形是不是既有一个外接圆又有一个内切圆，并且两圆同心呢？[学生讨论]在学生讨论的基础上，教师依次提问如下问题：
1．正方形外接圆的圆心在哪？(安排中上生回答：正方形对角线的交点．)
2．根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？(安排中上生回答)
3．正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？(安排中上生回答)．
引导：通过大家画图实践与理论探讨发现正方形既有一个外接圆又有一个内切圆并且两圆同心．大家再看看矩形、菱形是否具有这条性质？(学生在练习本上画、前后左右讨论得出矩形只有外接圆，菱形只有内切圆结论)
引导：我们发现正三角形既有外接圆又有内切圆且两圆同心，发现正方形也是如此，我们猜想正多形是否都具备这个性质呢？
挂出预先画好一个正五边形ABCDE的小黑板．
讲解：如果正五边形ABCDE有外接圆，则A、B、C、D、E五点应都在同一个圆上，且它们到圆心的距离相等．大家知道不在同一直线上的三点确定一个圆，不妨过正五边形ABCDE的顶点A、B、C作⊙O，连结OA、OB、OC、OD、OE．OA=OB=OC；证OD=OA、OE=OA即可．
板书：过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作⊙O连结OA、OB、OC、OD．
分析、启发、提问：1．证点D在⊙O上就是证OD=OA，你打算证哪两个三角形全等？(安排中下生回答)．2．要证△AOB≌△COD已具备了哪些全等条件？(安排中下生回答)．3．要证△AOB≌COD还缺少什么条件？(安排中下生回答)．4．谁能证∠3=∠4？(安排中上生完成)
板书：
△OAB≌△ODC
ABCDE有一个外接圆⊙O．
讲授：照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形不都应当有一个外接⊙O吗？
分析、启发、提问：既然正五边形有一个外接⊙O，那么正五边形的五条边也就应是⊙O的五条等弦．根据弦等、弦心距相等，可知点O到五边的距离相等．那么正五边形有无内切圆呢？圆心是谁？半径是谁？(按中等生回答)．同样，正n边形也应有一个内切⊙O，且两圆同心．哪位同学能叙述一下正多边形的这个性质定理？(安排中上生回答)
板书：定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．
引导，正n边形既有一个外接圆又有一个内切圆，而且两圆同心就给正多边形带来了一系列的有关概念，请阅读教材P.158下数第2自然段．学生看书，教师板书：1．正多边形中心；2．正多边形半径；3．正多边形的边心距；4．正多边形的中心角．
幻灯显示练习题，教师提问：
1．O是正△ABC的中心，它是正△ABC的______圆与______圆的圆心；
2．OB叫正△ABC的______它是正△ABC的______圆的半径；
3．OD叫作正△ABC的______，它是正△ABC的______圆的半径．
4．正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．
5．正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．
6．⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的弦心距OF叫正五边形ABCDE的______，它是正五边形ABCDE的圆的半径．
7．∠AOB叫做正五边形ABCDE的______角，它的度数是______．
8．图中正六边形ABCDEF的中心角是______，它的度数是______．
9．你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有什么数量关系？为什么？
10．正三角形的一个外角度数是______；正方形的一个外角度数是______；正五边形的一个外角度数是______；正六边形的一个外角度数是______；正n边形的一个外角度数是______．
11．正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．
教师引导：下面我们研究正多边形都具有哪些性质？
教师提问：根据正多边形的定义，你想到它应具有什么性质？(安排中下生回答)
板书：正多边形性质：1．各边都相等；2．各角都相等．
教师提问：1．什么叫轴对称图形？(安排记起来的学生回答)．2．正三角形是不是轴对称图形？(让中下生答)．3．它有几条对称轴？(中等生回答)．4．正方形是不是轴对称图形？(中下生回答)．5．它有几条对称轴？(中等生回答)
幻灯演示：观察图中正五边形、正六边形是不是轴对称图形？如果是，它们又各应有几条对称轴？(学生思考、讨论)
引导：以此类推，对正n边形又该有什么结论？(让中下生回答)
板书：性质3．正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．
教师提问：1．什么叫中心对称图形？(让记起来的学生回答)．2．正三角形是不是中心对称图形？正方形呢？正五边形呢？正六边形呢？3．什么样的正多边形是中心对称图形？(安排中等学生回答)．
板书：续性质3 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心．
教师提问：1．所有的等边三角形都相似吗？为什么？(安排中上生回答)．2．所有的正方形都相似吗？为什么？(安排中等生回答)．3．所有的边数相同的正多边形都相似吗？为什么？(由中下生回答)．
板书：性质4．边数相同的正多边形相似．
(教师讲解)：大家都记得相似多边形的周长比等于相似比．面积的比等于相似比平方，不难证明，相似正多边形的边心距、半径的比都等于相似比．
板书：续性质4，它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
性质5：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．
三、课堂小结：
本堂课主要学习了正多边形的两部分有关内容：1．概念；2．性质．
教师提问：1．你学习了正多边形的哪些有关概念？2．正多边形有哪些性质？。