概率论与数理统计完整课件-第三章多维随机变量及其分布

密度函数的关系:在 f ( x, y) 的连续点处，有
2 F ( x, y) f ( x, y) xy
例: 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度
kx 0 x y 1 f ( x, y) . 0 其他
求:(1)常数 k;
解 (1)由

(2)
( (,) X YG ) P ( 证 P ( x x , yy ) ) i j
x x , y y i j
P ( xx , y y ) p i j i j
( x , y ) G i j ( x , y ) G i j
例：令随机变量 X 表示在 1,2,3,4 中等可能地取 一个值,令随机变量 Y 表示在 1~X 中等可能地取 一个值.求 （X， Y） 的联合分布律及 P( X 3, Y 2) .
1 2 2 x 1, y 1 f ( x, y) x y , 0 其它
求 ( X , Y ) 的联合分布函数.
(x ,y ) f ( uvd , )u d v 解 由 F
x y
当 x 1 或 y 1 时, f (x, y) 0 则
F(x, y) 0
y x
当x>1,y>1时,
1 1 1 F ( x ,) y f ( u ,) v d u d v d u d v ( 1) ( 1 ) 2 2 u v x y 1 1
1 1 ( 1 ) ( 1 ) x 1 , y 1 y F (x ,y ) x 0 其 它
§2 二维连续性随机变量
§2.1二维随机变量的联合分布函数
定义: 设(X,Y) 为二维随机变量,对任意实数 x,y,二 元函数
F ( x, y) P( X x, Y y)
称为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数.
如果把 (x,y) 看成是平面上随机点的坐标 , 则联合分布函数
F ( x, y) 在点(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在平面上的
y x ( 2 u v ) 2 e dudv ,x 0 ,y 0 0 0 0 , ,其他
P { Y X } P {( X , Y ) G }
p(x, y)dxdy
G
2 x y ( 1 e )( 1 e ), x 0 ,y 0 0 0 , ,其他
( x ,y ) F ( x ,y ) 即 F 1 2
同理可证,对任意的 有
y1 y 2
F (, xy ) F (, xy ) 1 2
性质 2
0 F ( x, y) 1 ,且
F ( x, ) F (, y) F (, ) 0, F (, ) 1 ,
P( X Y 1) .
f (x, y)dxdy 1
1 1 0 x
得 1 dx kxdy k 所以 k=6
6
(2)
1 P ( X Y 1 ) 6 x d x d y 6 x d x d y 4 x y1 0 x
1 2
1 x
例: 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度
§1.2二维离散型随机变量联合分布律的性质
性质1
0 pij 1
P ( X x , Y y ) 1 ,所以 0 pij 1 证 因为 0 i j
性质2


i 1 j 1
p ij 1

证
p P ( Xx , Yy ) P () 1
xy
所以(X,Y)的联合分布函数
• 例:设二维随机向量(X,Y)具有概率密度
( 2 x y ) 2 e , x 0 ,y 0 p ( x ,y ) 0 , 其他
• •
(1)求分布函数F(x,y);(2)求概率P{Y≤X}. 解:(1)
•(2)将(X,Y)看着平面上随 机点的坐标.G是xoy平面上 y x F ( x ,y ) p ( u ,v ) dudv 直线y=x下方的部分.
性质 4 对于任意的 x1 x2 , y1 y2 ,有
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y2 ) F ( x1, y1 ) 0 .
§2.3 二维连续型随机变量
定义 : 设 ( X , Y ) 的联合分布函数为 F ( x, y) . 如果存在 非负函数 f ( x, y) ,对任意实数 x, y ,有
概率论与数理统计完整课件共10章内容章节齐全内容全面丰富主要内容包括随机事件及其概率大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布等能够满足高校教学的需要特别适合大学教师作为教学参考电子教案参考使用
第三章 多维随机变量及其分布
在实际问题中 , 一个随机试验往往用几个随机变 量整体地讨论其结果 . 如射击时考虑子弹在靶标 上的位置 , 我们用定义在同一个样本空间 Ω 上的 两个随机变量 X 和 Y 分别表示子弹在靶标上的横 坐标与纵坐标 , 则子弹在靶标上的位置可用二维 随机变量或二维随机向量（X，Y）表示.
y (x1,y2) Ⅲ (x1,y1) Ⅰ (x2,y2)
o Ⅱ
Ⅳ
(x2,y1)
x
§2.2二维随机变量联合分布函数的性质
性质1 F(x,y)分别关于x和y单调不减. 证 对任意的 x1 x 2
X x , Y y )( X x , Y y ) 1 2 因为 (
所以 P ( X x , Y yP ) ( X x , Y y ) 1 2
一般地,设随机试验 E 的样本空间为 {} , X X ( ) 和 Y Y () 分别是定义在同一个样本空间 Ω 上的随 机变量,我们称向量（X，Y）为二维随机变量或二 维随机向量.类似地可定义三维随机变量以及任意 有限维随机变量.我们把二维及二维以上的随机变 量称为多维随机变量.本章主要讨论二维随机变量, 其结果只要形式上加以处理,可以推广到三维或三 维以上的随机变量.
i 1 j 1 i j i 1 j 1 i j

性质 3
联合分布律完全反映了（X，Y）的概率
P (( X , Y ) G )
性质:设 j
即随机点（X，Y）落在区域 G 上的概率是（X， Y）在 G 上取值所对应的概率之和.
§2.4 常用的二维连续型随机变量
(1)设 G 为平面上的有限区域,如果 ( X , Y ) 的概率密度
1 ( x, y) G f ( x, y) A(G) , 0 ( x, y) G
其中 A(G)是区域 G 的面积,称 ( X , Y ) 服从区域 G 上 的均匀分布.
其中 F ( x, ) lim F ( x, y) ,其余意义相同.事实上,
y
F ( x, ) P( X x, Y ) P( ) 0 ,
F (, ) P( X , Y ) P() 1 .
性质3 F(x,y)分别关于x和y右连续.
解 (X,Y)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1), 则(X,Y)的联合分布律为
X 0 1
Y
0 6/20 6/20
1 6/20 2/20
32 6 P ( X 0 , Y 0 ) 54 2 0
3 2 6 P ( X 0 , Y 1 ) 5 4 2 0
(2)如果 ( X , Y ) 的概率密度
f ( x, y ) 1 2 1 2 1 2 exp{ x 1 2 1 [( ) 2(1 2 ) 1
2 (
x 1 y 2 y 2 2 )( )( ) ]}, x, y ,
1
性质 2 归一性: f ( x, y)dxdy 1 .


性质 3
f ( x, y) 完全反映了二维连续型随机变量
( X , Y ) 的概率性质:设
G
G 为平面上的任意区域,则 .
P (( X , Y ) G ) f ( x, y )dxdy
性质 4
二维连续型随机变量 ( X , Y ) 的分布函数与
e 2
y

( 2 x y ) dxdy
1 3
• 关于二维随机向量的讨论,可以推广到 n(n>2)维随机向量的情况. • 设(X1, X2,…, Xn)为n维随机向量,对于任意n 个实数x1, x2,…, xn,n元函数 F(x1, x2,…, xn)=P{X1≤x1,X2 ≤x2,…, Xn ≤xn} 称为n维随机向量(X1, X2,…, Xn)的分布函数或 随机变量X1, X2,…, Xn的联合分布函数.它具有 类似于二维随机向量的分布函数的性质.
矩形区域 G {( X , Y ) | X x, Y y} 的概率.
• 设二维离散型随机变量X和Y具有分布律 P{X= xi,Y= yj}=pij ,(i,j=1,2,...)，则二维 离散型随机变量(X,Y)的联合分布函数为
F ( x , y ) P ( Xx , Yy ) p i j
F ( x, y)
x y

f (u, v)dudv ,
则称 ( X , Y ) 为二维连续型随机变量, 度函数.
f ( x, y) 称为 ( X , Y )
的概率密度或称为 X 和 Y 的联合概率密度或联合密
( X , Y ) 的联合密度函数 f ( x, y) 具有性质:
性质 1 非负性: f ( x, y) 0 .
2
2
其中 1, 2 , 1 数 为
0 , 2 0 , 1 为常数 1 , 称 ( X , Y ) 服从参
2 1 , 2 ,12 , 2 ,
的 二 维 正 态 分 布 , 记 为
y2
yj
X
x1 x2
p11
p21
p12 p22
p1 j
p2 j
xi
pi1
pi 2
pij
例: 袋中有 2 个黑球 3 个白球,从袋中随机取两次, 每次取一个球,取后不放回.令
1 第一次取到黑球 1 第二次取到黑球 X , Y , 0 第一次取到白球 0 第二次取到白球
求(X,Y)的联合分布律.
xx y y i j
其中和式是对一切满足xi≤x,yj≤y的来求 和的.
随机点 (X,Y) 落在矩形区域 { (x , y ) |x 1 的概率
X x y Y 2 y} 2 ,1
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y2 ) F ( x1, y1 ) .
解 P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i}=(1/4)(1/i) (i≥j),于是(X,Y)的分布律为
Y 1 2 3 4 X 1 1/4 0 0 0 2 1/8 1/8 0 0 3 1/12 1/12 1/12 0 4 1/16 1/16 1/16 1/16
1 11 1 1 2 0 PX ( 3 ,Y 2 ) 4 881 21 2 3
§1 二维离散型随机变量
§1.1 二维离散型随机变量及联合分布律
定义：如果二维随机变量（X，Y）的可能取值是有 限组或可列无限组 ( xi , y j ), i, j 1, 2, ,则称（X，Y）为二 维离散型随机变量,将（X，Y）取每组值的概率
P( X xi , Y y j ) pij , i, j 1, 2,
称为二维离散型随机变量（X，Y）的联合分布律.
记号 ( X xi , Y y j ) 表示随机事件 ( X x ) 与 (Y y j ) 的
i
积事件,即
( X xi , Y y j ) ( X xi ) (Y y j )
二维离散型随机向量(X,Y)的分布律表
Y
y1