函数的单调性-高一数学课件(苏教版2019必修第一册)

(1) 此函数的增减性如何?
(2)当 x≤0 时,如果取 x1<x2≤0, f(x1) 与 f(x2)哪个大? (2) 当x>0 呢?
(1) 当 x≤0 时, 图象左高右低.
自变量 x 增大时, 函数值 f(x) 减小.
x1<x2≤0 时, f(x1)>f(x2).
函数 f(x)=x2 在(-∞, 0]上是减函数.
(-,-1), (-1,0), (0,1), (1,+)
y
o
1
23Biblioteka 4x题型建构
例6. 设 f(x) 是定义在区间 [-6, 11] 上的函数, 如果 f(x) 在区间 [-6, 2] 上递减, 在区间 [-2, 11] 上递增, 画出 f(x) 的一个大致的图象, 从
图象上可以发现 f(-2) 是函数 f(x) 的一个 最小值 .
解: (1) 图象开口向上, 顶点 ( , - ).
函数在 (-∞, 0]上是增函数,
5
函数在 (-, ] 上是减函数,
2
5
在 [ 2 , + y ) 上是增函数.
2
4
在 [0, +∞)上是减函数.
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
3
2
1
-1
o
-1
-5
4
1
2
3
4
x
·
·
-3 -2 -1 o
·x
1 2 3
提升建构
∴ f(x1) - f(x2)>0,
∴ f(x1) - f(x2)<0,
即f(x1) > f(x2),
即 f(x1) < f(x2),
∴函数在(-∞, 0)上是减函数.
∴函数在(0, +∞)上也是减函数.
体系建构
例3. 探究一次函数 y=mx+b (xR) 的单调性, 并证明你的结论.
解: 当m<0时, 函数 y=mx+b 在R上是减函数.
(2) 它在定义域 I 上的单调性是怎样的? 证明你的结论.
1 1
x2 - x1
,
证明: f ( x1 ) - f ( x2 ) = x - x =
x1 x2
1
2
在区间(-∞, 0)上任取 x1<x2<0,
在区间(0, +∞)上任取 x1>x2>0,
则 x1x2>0, x2-x1>0,
则x1x2>0, x2-x1<0,
变1.已知函数f(x)=x2-2ax的单调递增区间是 [3, +∞),则 a=
3.
变2.已知函数f(x)=x2-2ax在区间 [3, +∞)上单调递增,则 a的范围是a≤3 .
y
o
1
2
3
4
x
合作探究
例5. 探究函数 y=x+
1

的单调性, 并证明你的结论.
1
1
1 1
分析： f ( x1 ) - f ( x2 ) = x1 + - ( x2 + ) = ( x1 - x2 ) + ( - )
x1
x2
x1 x2
设x1 < x2
x2 - x1
( x1 - x2 )( x1 x2 - 1)
= ( x1 - x2 ) + (
)=
x1 x2
x1 x2
x1 - x2 < 0
( x1 - x2 )( x1 x2 - 1)
问1：当 x1，x2 （0，
+ ）时，
能判断正负吗？
x1 x2
( x1 - x2 )( x1 x2 - 1)
上是减函数.
函数在某个区间是增函数或减函数的性质叫函数的单调性,
这个区间叫函数的单调区间.
巩固概念
例1. 如图是定义在区间[-5, 5]上的函数 y=f(x), 根据图象说出函数的
单调区间, 以及在每一单调区间上, 它是增函数还是减函数?
解: 函数的单调区 间有 [-5, -2), [-2, 1).
> 0，增
1、一次函数y = + b的单调性
< 0，减
2、二次函数y =
2
3、反比例函数y =
> 0, 先减后增
+ b + c的单调性
< 0, 先增后减

的单调性

> 0, (−∞, 0)减，(0, +∞)减
< 0, (−∞, 0)增，(0, +∞)增
变式训练
1
解: 画出函数 y = x 的图象如图:
y
2
(1) 函数的定义域 I = {x|x<0, 或 x>0}.
1
(2) 函数在定义域 I 内的区间
(-∞, 0)上是减函数, 在区间(0, +∞)上也是减函数.
-2 -1 o
-1
-2
1
y=
x
1
2
x
巩固概念
1
例2 画出反比例函数 y = x 的图象.
(1) 这个函数的定义域 I 是什么?
(2) 当 x≥0 时, 图象左低右高.
自变量 x 增大时, 函数值 f(x) 也增大.
x1>x2≥0 时,
f(x1)>f(x2).
函数 f(x)=x2 在 [0, +∞)上是增函数.
y
f(x1) f(x1)
f(x2)
x1 x2 o
f(x2)
x2 x1
x
概念建构
一般地, 设函数 f(x) 的定义域为 I:
[1, 3), [3, 5].
其中 [-5, -2), [1, 3) 是单调减区间,
[-2, 1), [3, 5] 是单调增区间.
y
3
2
1
-5-4 -3-2-1 o 1 2 3 4 5 x
-1
-2
巩固概念
例2 画出反比例函数 y = 1 的图象.
x
(1) 这个函数的定义域 I 是什么?
(2) 它在定义域 I 上的单调性是怎样的? 证明你的结论.
y
解: 函数在 [-6, -2] 上递减,
在 [-2, 11] 上递增,
-6 -2o
11 x
概念建构
一般地, 设函数 y=f(x) 的定义域为 I, 如果存在
实数 M 满足:
(1) 对于任意的 xI, 都有 f(x)≤M;
(2) 存在 x0I, 使得 f(x0)=M.
那么, 我们称 M 是函数 y=f(x) 的最大值.
问2：当 x1，x2 （0，
1）时，
能判断正负吗？
x1 x2
( x1 - x2 )( x1 x2 - 1)
>0
x1 x2
f ( x1 ) > f ( x2 )
1
f ( x) = x + 在（0，
1）单调递减
x
合作探究
例5. 探究函数 y=x+
1

的单调性, 并证明你的结论.
1
1
1 1
分析： f ( x1 ) - f ( x2 ) = x1 + - ( x2 + ) = ( x1 - x2 ) + ( - )
5.3函数的单调性
学习目标
1、单调性的定义
2、常见函数的单调性
3、单调性的作用
复习引入
活动1. 已知函数 f(x)=x , 函数 g(x)=1-x ，画出这个函数的图象, 观察
y
图象，函数值与自变量的大小变化有什么关系?
y=x
(1)
x -3 -2 -1 0
1
2
3
y -3 -2 -1 0
1
2
3
x 增大, 函数值也增大，图象是左低右高倾斜的.
这个函数是定义域上的增函数.
(2)
x -3 -2 -1 0
1
2
y
0
-1 -2
4
3
2
1
3
x 增大, 函数值减小. 图象是左高右低倾斜的.
这个函数是定义域上的减函数.
3
2
1
-3 -2 -1 o
-1
-2
-3
y
y=1-x
3
2
1
-3 -2 -1 o
-1
-2
1 2 3
x
1 2 3
x
复习引入
活动2. 如图是函数 f(x)=x2 的图象,
x -1
当x=2最小时, 函数值最大,
当x=6最大时, 函数值最小.
2.5
2
1.5
1
0.5
O
1
2
3
4
5
6
x
题型建构
例8. 已知函数 y=f(x) 在 R 上是减函数, 求满足不等式 f(x-2)<f(3x+2)
的 x 的取值范围.
解: 因为 f(x) 在 R 上是减函数.
∴由 f(x-2)<f(3x+2) 得 x-2>3x+2,
如果对于定义域 I 内某个区间 D上的任意两个自变量的值 x1,
x2, 当 x1<x2 时, 都有 f(x1) < f(x2), 那么就说函数 f(x) 在区间 D
上是增函数.
如果对于定义域 I 内某个区间 D上的任意两个自变量的值 x1,
x2, 当 x1<x2 时, 都有 f(x1) > f(x2), 那么就说函数 f(x) 在区间 D
解得 x<-2.
即 x 的取值范围是 (-∞, -2).
体系建构
比较大小
单调性的功能
求最值与值域
解不等式
谢谢
如果存在实数 M 满足:
(1) 对于任意的 xI, 都有 f(x)≥M;
(2) 存在 x0I, 使得 f(x0)=M.
那么, 我们称 M 是函数 y=f(x) 的最小值.
题型建构
2
例7. 求函数 y =
在区间 [2, 6] 上的最大值和最小值.
x -1
y
分析: 由函数图象可知,
2
y=
是[2, 6]上的减函数,
>0
x1 x2
f ( x1 ) > f ( x2 )
1
f ( x) = x + 在（0，
1）单调递减
x
1
问3：f ( x) = x + 定义域就可以分为那几个单调区间呢？
x
(-,-1), (-1,0), (0,1), (1,+)
合作探究
例5. 探究函数 y=x+
1

的单调性, 并证明你的结论.
x1
x2
x1 x2
x2 - x1
( x1 - x2 )( x1 x2 - 1)
= ( x1 - x2 ) + (
)=
x1 x2
x1 x2
设x1 < x2 x1 - x2 < 0
( x1 - x2 )( x1 x2 - 1)
问2：当 x1，x2 （0，
1）时，
能判断正负吗？
x1 x2
( x1 - x2 )( x1 x2 - 1)
当 m>0 时, 函数 y = mx+b 在 R 上是增函数.
方法建构
例4. 画出下列函数的图象, 并根据图象说出 y=f(x)的单调区间, 以及在
各单调区间上, 函数 y=f(x) 是增函数还是减函数.
(1) y=x2-5x+5;
(2) y=9-x2.
(2)图象开口向下,顶点 (0, 9).
5
5