数学必修5教学课件第一章 数列1.3.1.1

(1)数列x,x2,x3,x4,…是等比数列. ( ) (2)在数列{an}中,若a7>0且公比q<0,则a2 017>0. ( ) (3)常数列一定是等比数列. ( ) (4)等比数列中可以存在为0的项. ( ) (5)不存在既是等差数列又是等比数列的数列. ( )
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×
§3 等比数列
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3.1 等ຫໍສະໝຸດ Baidu数列
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第1课时 等比数列的定义和通项公式
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1.1 数列的概念
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学习目标
思维脉络
1.理解等比数列的定义. 2.能应用等比数列的定义判断或证明
一个数列是否为等比数列.
3.掌握等比数列的通项公式,并能应用 其解决有关的问题.
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知识拓展等比数列通项公式的其他推导方法
方法一(不完全归纳法):由等比数列的定义可
知,a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3,… 由此猜测an=a1qn-1. 当n=1时,上面的等式两边均为a1,所以等式也成立. 这就是说,当n∈N+时,an=a1qn-1总成立. 注意以上过程不是证明,我们以后可用数学归纳法来完成证明.
将以上各式相乘,即得 an=a1qn-1. 方法三(迭代法):
∵{an}是等比数列, ∴an=an-1q=an-2q2=an-3q3=…=a2qn-2=a1qn-1.
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
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探究一
探究二
探究三
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探究二 等比数列通项公式的应用
【例2】在等比数列{an}中, (1)若a4=27,q=-3,求a7; (2)若a2=18,a4=8,求a1和q; (3)若a5-a1=15,a4-a2=6,求a3. 分析:由已知条件列出关于a1,q的方程(或方程组),或有关量的方 程(或方程组).
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方法二(累乘法):
∵{an}是等比数列, ∴���������������������-���1=q,������������������������--12=q,������������������������--23=q,…,������������21=q.
所以当 n=1 时,S1=13(a1-1), 即 a1=13(a1-1),得 a1=-12, 当 n=2 时,S2=a1+a2=13(a2-1),所以 a2=14.
②当 n=1 时,a1=-12;
当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=13(an-1)-13(an-1-1), 即 2an=-an-1,所以���������������������-���1=-12. 所以{an}是首项为-12,公比为-12的等比数列.
an=a1·qn-1(a1≠0,q≠0)来进行判断. 3.一般地,当数列{an}满足Sn=pan+q(p≠1,q≠0)时,{an}为等比数列.
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变式训练1 (1)下列数列为等比数列的个数为( )
①5,5,5,5,5 ②0,1,4,16,64 ③1,-1,1,-1,1
,
���1���3,…
C.S-1,(S-1)2,(S-1)3,…
D.1,-2,-4,-8,… 答案:B
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2.等比数列的通项公式 设等比数列的首项为a1,公比为q,an为它的通项, 则an=a1qn-1(a1≠0,q≠0). 【做一做2】已知{an}为等比数列,a1=12,a2=24,则a3=( ) A.36 B.48 C.60 D.72 答案:B
Sn,得到an与an-1的关系式,再用定义证明.
证明:因为Sn=3an+1,所以当n≥2时有Sn-1=3an-1+1,
两式相减得an=3an-3an-1, 即 2an=3an-1,所以���������������������-���1 = 32(n≥2).
因此{an}是公比为32的等比数列.
又当 n=1 时,S1=3a1+1,
④1,12
,
1 4
,
1 8
,
1 16
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)已知数列{an}的前n项和为 Sn,Sn=13(an-1)(n∈N+). ①求a1,a2;
②求证:数列{an}是等比数列.
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(1)答案:C
(2)解:①因为 Sn=13(an-1)(n∈N+),
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1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于 同一个常数,那么这个数列就叫作等比数列,这个常数就叫作等比 数列的公比,通常用字母q表示(q≠0). 【做一做1】下列数列为等比数列的是( )
A.2,22,222,…
B.1������
,
1 ������2
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解:(1)方法一:由 a4=a1q3,
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探究一 等比数列的判定与证明
【例1】 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=3an+1(n∈N+),求
证:{an}为等比数列,并求出其通项公式.
分析:条件中提供了Sn与an的关系式,可先根据an=Sn-Sn-1(n≥2)消去
即 a1=3a1+1,所以 a1=-12,
于是{an}的通项公式是 an=-12 ·
3 2
������ -1
.
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定反义思,证感明悟������������������1+������.1证(n明∈一N个+)是数一列个{a与n}是n无等关比的数非列零,主常要数根. 据等比数列的 2.判断一个数列{an}是否为等比数列,还可通过通项公式的形式