高二数学 上学期直线的方程例题六 试题

卜人入州八九几市潮王学校高二数学上学期直
线的方程例题〔六〕
［例1］假设直线l 1的斜率为k 1，倾斜角为α1，直线l 2的斜率为k 2，倾斜角为α2，且k 1＋ｋ2＝0、ｋ1·ｋ2≠0，求证：α1＋α2＝π.
选题意图：考察斜率的概念及倾斜角的范围.
证明：∵k 1=tan α1，ｋ2＝tan α2，ｋ1＋ｋ2＝0，
∴tan α1＋tan α2＝0，tan α1=tan 〔π－α2〕，
∵0≤α1＜π，0≤α2＜π，
∴α1＝π－α2，即α1＋α2＝π.
说明：假设k 1与k 2同时为0时，那么α1＝α2＝0，α1＋α2并不等于π.在证明的过程中，α1，α2的范围写成0＜α1＜π，0＜α2＜π也可.
［例2］直线l 过点(1，2)和第一、二、四象限，假设直线l 的横截距与纵截距之和为6，求直线l 的方程.
选题意图：考察直线方程的截距式或者点斜式及分类讨论的思想.
解：设直线l 的横截距为a ,由题意可得纵截距为6－a .
∴直线l 的方程为a
y a x -+6=1, ∵点(1，2)在直线l 上， ∴a
a -+621=1,a 2－5a +6=0, 解得a 1=2,a 2＝3，当a =2时，直线的方程为
42y x +=1， a =3时，直线的方程为3
3y x +=1,直线经过第一、二、四象限. 综上所述，所求直线方程为
2x +y －4=0和x+y －3=0.
说明：此题也可由直线l 过点(1，2)和一、二、四象限得出a ＞0且6－a ＞0，即0＜a ＜6，
从而得a 1=2和a 2=3都合题意，所以所求直线方程为142=+y x 或者3
3y x +=1. ［例3］过点P (2，1)作直线l 分别交x ，y 正半轴于A ，B 两点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程.
选题意图：考察综合运用直线方程解决问题的才能.
解：设直线l 的方程为
1=+b
y a x (a ＞0,b ＞0). ∵P 〔2，1〕在直线l 上， ∴b
a 12+＝1. 于是
b a 12⋅≤(2
12b a +)2＝41. 当且仅当2
112==b a 时上式等号成立. 即a =4,b =2时，b
a 12⋅最大. ∴Ｓ△A ＯB 的最小值为2
1ab ＝4. 此时直线l 的方程为2
4y x +＝1. ∴当△AOB 的面积最小时，
直线l 的方程为24y x +＝1.。