湖北省荆州中学高二数学上学期第二次月考试题 理

荆州中学高二年级第二次质量检测数学卷（理科）
第I 卷
一、选择题（本大题共12题，每题5分，共计60分） 1．下列叙述错误．．
的是（ ） A ．若事件A 发生的概率为()P A ，则()01P A ≤≤
B ．系统抽样是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等.
C ．线性回归直线ˆˆˆy
bx a =+必过点(,)x y ； D ．对于任意两个事件A 和B ，都有()()()P A B P A P B =+U
2. 甲、乙两同学用茎叶图记录高三前5次数学测试的成绩，如图所示.他们在分析对比成绩变化时，发现乙同学成绩的一个数字看不清楚了，若已知乙的平均成绩低于甲的平均成绩，则看不清楚的数字为（ ）
A ．0
B ．3
C ． 6
D ．9 3．用样本估计总体，下列说法正确的个数是( )
①样本的概率与实验次数有关； ②样本容量越大，估计就越精确； ③样本的标准差可以近似地反映总体的平均水平； ④数据的方差越大，说明数据越不稳定． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
4. 某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为( ) A ．
9
16
B ．9 32
C ．7 16
D ．23 32 5. 三棱锥S ­ABC 及其三视图中的正视图和 侧视图如图所示, 则棱S B 的长为（ ）
A . 42
B . 19
C . 20
D . 43
6. 某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为（ ）
A ．1080
B ．480
C ．1560
D ．300
7. 若直线kx y =与圆1)2(2
2
=+-y x 的两个交点关于直线02=++b y x 对称，则b k ,的值分别为（ ）
第5题图
A ．21-
=k ，4=b B ．21-=k ，4-=b C ． 2
1=k ，4=b D ．21=k ， 4-=b
8．在(1－x 3
)(1＋x )10
的展开式中x 5
的系数是( )
A ．－297
B ．－252
C ．297
D ．207
9．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取ξ次球，则(12)P ξ=等于（ ）
A. 10
102
1235()()88C ⋅⋅
B. 9
9211353
()()888C ⋅⋅⋅
C. 9
921153()()88
C ⋅⋅
D. 9
921135()()88
C ⋅⋅
10．若执行如图所示的程序框图后，输出的结果是29-，则判断框中的整数k 的值是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
11．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，21==AA AB ，MN 分别是1BB 和11C B 的中点，则直线AM 与CN 所成角的余弦值等于（ ）
A.
53 B.252 C.5
2
D.25
12．函数()2
13
x f x m x -=-+有零点，则实数m 的取值范围是( )
A ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
B ．20,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．20,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
D ．20,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4题，每题5分，共计20分）
13．要从已编号360~1的360件产品中随机抽取30件进行检验，用系统抽样的方法抽出样本.若在抽出的样本中有一个编号为105，则在抽出的样本中最小的编号为__________； 14.航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分别左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为_____；（用具体数字作答）
15．若55432
543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则12345a a a a a ++++= ；（用
否
是
1n = 1
S =?
n k <23
S S =-1
n n =+开始
结束
输出S
具体数字作答）
16. 甲乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为__________；
三．解答题（本大题共5小题，满分70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

）
17．（本小题满分10分）已知
2
2
3
(3)n
x x
的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为
32.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项.
18．（本小题满分12分）一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;
(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.
19. （本小题满分12分）某市政府为了确定一个较为合理的居民用电标准，必须先了解全市居民日常用电量的分布情况．现采用抽样调查的方式，获得了n位居民在2012年的月均用电量（单位：度）数据，样本统计结果如下图表：
分组频数频率
[0， 10）0.05
[10，20）0.10
[20，30）30
[30，40）0.25
[40，50）0.15
[50，60] 15
合计n 1
（1）求月均用电量的中位数与平均数估计值；
（2）如果用分层抽样的方法从这n位居民中抽取8位居民，再从这8位居民中选2位居民，那么至少有1位居民月均用电量在30至40度的概率是多少？
（3）用样本估计总体，把频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用电量在30至40度的居民数X的分布列.
20. （本小题满分12分）已知三棱柱ABC－A′B′C′中，平面BCC′B′⊥底面ABC，BB′⊥
AC ，底面ABC 是边长为2的等边三角形，AA ′＝3，E 、F 分别在棱AA ′，CC ′上，且AE ＝C ′F
＝2.
(1) 求证：BB ′⊥底面ABC ；
(2)在棱A ′B ′上是否存在一点M ，使得C ′M ∥平面BEF ，若存在，
求/
/MB
M A 值，若不存在，说明理由； （3）求棱锥'A -BEF 的体积
21. （本小题满分12分） 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为
1
7
，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.用ξ表示取球终止时所需要的取球次数.
（1）求袋中原有白球的个数； （2）求随机变量ξ的概率分布； （3）求甲取到白球的概率.
22．（本大题满分12分）
已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y=34x-2
1
被圆M 所截的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方． （1）求圆M 的方程；
（2）设A （0，t ），B （0，t+6）（-5≤t ≤-2），若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值．
A
/A
E
F
/B
B
/C
荆州中学高二年级第二次质量检测数学卷
参考答案
1-12 DABBA CDDBC AD
13. 9 ；14. 32 ；15. 31 ；16. 0.75
17.解：令1x =得，展开式中各项系数和为2(13)2.n
n
+=
又展开式中二项式系数和为2n ，
2232, 5.2
n
n n ∴== …………… 2分 （1）5n =Q ，展开式共6项，
∴二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴233
226335
()(3)90T C x x x ==，
22232
23
33
45
()(3)270.T C x x x == …………… 6分
(2)设展开式中第1k +项的系数最大，
则由2
1045233
15
5
()
(3)3k k k
k k
k k T C x x C x
+-+==，
得115511
55
33,33k k k k k k k k C C C C --++⎧≥⎨≥⎩ 79
,4,22k k ∴≤≤∴= 即展开式中系数最大的项为2264
24
3
3
55
()(3)405.T C x x x == …………… 10分
18．解：(1)由题意，(a ，b ，c )所有的可能为：
(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种． …………… 2分
设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，
则事件A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种，…………… 4分
所以P (A )＝327＝1
9
.
因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为1
9 .…………… 6分
(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ， 则事件B 包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．
所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝8
9 (12)
分
19. (1)中位数估计值为32，
平均数估计值为0.05×5+0.1×15+0.3×25+0.25×35+0.15×45+0.15×45＝33…………… 4分 (2)由
30
0.3n
=得 100n = 抽取的8位居民中月均用电量在30至40度的居民有8
252100
⨯
=人 ∴至少1位居民月均用电量在30至40度概率为262813
128
C C -= (8)
分
（3）抽取1位居民月均用电量 在30至40度的概率为
251
1004
= 1
(3,)4
X B ∴:
X ∴的分布为
x
1
2
3
P
2764 2764 964 164
(12)
分
20. (1)证明 取BC 中点O ，连接AO ，因为三角形ABC 是等边三角形，
所以AO ⊥BC ，
又因为平面BCC ′B ′⊥底面ABC ，AO ⊂平面ABC ，平面BCC ′B ′∩平面ABC ＝BC ，所以AO ⊥平面BCC ′B ′，又BB ′⊂平面BCC ′B ，所以AO ⊥BB ′.又BB ′⊥AC ，
AO ∩AC ＝A ，AO ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC .
所以BB ′⊥底面ABC . …………………4分
(2) 显然M 不是A ′，B ′，棱A ′B ′上若存在一点M ，
使得C ′M ∥平面BEF ，
过M 作MN ∥AA ′交BE 于N ，连接FN ，MC ′，所以MN ∥CF ，即C ′M 和FN 共面， 所以C ′M ∥FN ，
所以四边形C ′MNF 为平行四边形， 所以MN ＝2，
所以MN 是梯形A ′B ′BE 的中位线，M 为A ′B ′的中点．即
1/
/=MB M
A ……………8分 （3）3
33)2121(31//=⨯⨯⨯⨯==--EF A B BEF A V V ……………12分
21解：（1）2271(1)
(1)6776
n c n n n n c -==⇒-=⨯ 3n ∴= …………… 2分
（2）ξ的所有可能取值有1,2,3,4,5. …………… 3分
1
3173
(1)7
c P c ξ===
11432
7432
(2)767C C P A ξ⋅⨯====⨯ 21433
74336
(3)76535A C P A ξ⋅⨯⨯====⨯⨯ 31434
743233
(4)765435
A C P A ξ⋅⨯⨯⨯====⨯⨯⨯ 41435
743231
(5)7654335
A C P A ξ⋅⨯⨯⨯====⨯⨯⨯⨯ …………… 8分
ξ 1 2 3 4 5
P
3
7 27 635 335 135
…………… 9分
（3）甲分1次或分3次或分5次取到白球的概率
36122
(1)(3)(5)7353535
P P P P ξξξ==+=+==
++=
…………… 12分
22． （1）解：设圆心M （a ，0）
1
2
=，即| 8a －3 | = 5……2分
又∵M 在l 的下方，∴8a －3 > 0，∴8a －3 = 5，a = 1
故圆的方程为（x －1）2＋y 2
= 1． …………… 3分
（2）解：由题设AC 的斜率为k 1，BC 的斜率为k 2，则直线AC 的方程为y ＝k 1x ＋t ，直线BC 的方程为y ＝k 2x ＋t ＋6
由方程组126
y k x t
y k x t =+⎧⎨=++⎩，得C 点的横坐标为126x k k =-…………… 5分
∵|AB | = t ＋6－t = 6，
∴1212161862||||
S k k k k =⋅=
--…………… 6分 由于圆M 与AC
1=，∴2
112t k t -= 由于圆M 与BC
1=，∴2
21(6)2(6)
t k t -+=+…………… 8分
∴2123(61)
(6)
t t k k t t ++-=+，
∴2226(6)1
6(1)6161
t t S t t t t +==-++++，…………… 10分
∵－5≤t ≤－2，∴－8≤t 2
＋6t ＋1≤－4，
∴max 1156(1)42S =+=，min 127
6(1)84
S =+=，
∴△ABC 的面积S 的最大值为152，最小值为27
4
．…………… 12分。