34曲线与方程、圆锥曲线的综合问题(高2019届理科数学总复习讲义)

高2019届理科数学总复习讲义
第三十四讲曲线与方程、圆锥曲线的综合问题
一、知识提要
⒈曲线与方程。

如果平面曲线C上的点和某个二元方程0
F的解建立了一一对应关
(y
x
,
)
=
系，即⑴曲线上的点的坐标都是这个方程的解；⑵以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么方程0
,
)
(y
F的曲线。

=
x
,
=
F叫做曲线C的方程，曲线C就叫做方程0
)
x
(y
⒉求曲线方程的一般步骤——“五步到位法”。

⑴建系（建立适当的坐标系）；
⑵设点（设轨迹上的动点为)
M；
x
,
(y
⑶列式（列出动点所满足的几何等式）；
⑷代换（以几何等式的特点，选用距离、斜率公式等将其转化为y
x,的方程式）；
⑸化简（化简所得方程）。

另外，必须考虑满足方程的那些点不合条件应除掉，通常运用限制方程中y
x,的取值范围的方法，有时所求曲线方程不完备，还要运用条件分析、挖掘将其补上。

⒊曲线方程的求法。

⑴直译法，若动点运动过程中量的关系简明，那么直接将此量的关系建系转化为方程即可，多见于距离的的和、差、积、商（比）的关系及角、面积等。

⑵定义法（基本轨迹法），若根据定义能判断所求轨迹方程的类型，那么可先设其方程形式，然后运用特定系数法解之，多见于直线和圆锥曲线。

⑶代入法（坐标转移法），平面上有两个动点，其中一个是已知动点，当其中一个动点运动时，另一个动点也随着而运动。

要求未知动点的轨迹，先找出两动点坐标之间的关系式，解出已知动点坐标，代入已知曲线方程就得到所要求的曲线方程。

4.两曲线的交点
(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．
(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．
二、典型例题
例1、程(x2＋y2－4)x＋y＋1＝0的曲线形状是()
例2、 和x 轴相切并和圆1=+22y x 外切的圆的圆心轨迹方程是（ ）
.A 1+2=2y x .B 1+2-=2y x .C 1+2=2||y x .D 1-2=2y x
例3、 动点P 到直线0=4+x 的距离减去它到),(02M 的距离之差等于2，则点P 的 轨迹是（ ）
.A 直线 .B 椭圆 .C 双曲线 .D 抛物线
例4、平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2
OB → (O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )
A ．直线
B ．椭圆
C ．圆
D ．双曲线
例5、 ABC ∆中，已知),(02-a B ，),(02a C ，0>a ，且满足条件A B C sin sin sin 2
1=-， 则动点A 的轨迹方程是( )
.A )0(1316162222≠=-y a y a x .B )0(1316162
2
22≠=-x a x a y .C )0(1316162222≠=-y a y a x 的左支 .D )0(13161622
22≠=-y a
y a x 的右支 例6、抛物线x y 4=2的经过焦点的弦的中点轨迹方程是（ ）
.A 1-=2x y .B )(1-2=2x y .C 2
1-=2x y .D 1-2=2x y 例7、设点),(y x P 在圆1=+22y x 上运动，则点),(xy y x Q +的轨迹是 ( )
.A 圆 .B 抛物线的一部分
.C 椭圆 .D 双曲线的一部分
例8、设过点(,)P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关
于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =且1OQ AB ⋅=，则点P 的轨迹方程是（ ）
A ．22331(0,0)2x y x y +
=>> B ．22331(0,0)2
x y x y -=>> C ．22331(0,0)2x y x y -=>> D ．22331(0,0)2x y x y +=>> 例9、过抛物线28y x =的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，过原点O 作OM AB ⊥，垂足
为M ，则点M 的轨迹方程是（ ）
A. 22(1)1x y ++=
B. 22(1)1x y -+=
C. 22(1)1x y ++=
D. 22(1)1x y +-=
例10、已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C
的轨迹方程是( )
A.x 29－y 216＝1
B.x 216－y 29＝1
C.x 29－y 216＝1 (x >3)
D.x 216－y 29＝1 (x >4)
例11、平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2
OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )
A ．直线
B ．椭圆
C ．圆
D ．双曲线
例12、由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，60APB ∠=︒，则动
点P 的轨迹方程为___________。

例13、在AB C ∆中，三边c b a ,,成等差数列，且c b a >>，若),(01-A ，),(01C ，则点B 的轨迹方程为_____________。

例14、已知点B 是曲线1=+4
22
y x 的动点，定点),(04A 线段AB 上一点M 符合条件 31=::MB AM ，求点M 的轨迹方程。

例15、给定双曲线1=2
1-22y x 过点),(12A 的直线l 与双曲线交于1P 和2P 两点。

求线段 21P P 的中点P 的轨迹方程。

例16、 已知A 、B 是两个定点，且2=||AB ，动点M 到点A 的距离是4，线段MB 的垂直平分线 l 交MA 于点P ，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹表明什么图形。

例17、设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程．
例18、已知椭圆C：x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)的一个焦点为(5，0)，离心率为
5
3.
(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．。