2008年高考数学试题汇编五：直线与圆的方程

2008 年高考数学试题汇编五：直线与圆的方程
一、选择题：
1．（全国Ⅱ卷文科 3）原点到直线
A ．1
B ．
x 2 y 5 0 的距离为
（ D
）
3
C ．2
D ． 5
2．（福建文科 2）“ a ＝ 1”是“直线 x ＋y ＝ 0 和直线 x － ay ＝ 0 相互垂直”的
（ C ）
A ．充足而不用要条件
B ．必需而不充足条件
C ．充要条件
D ．既不充足也不用要条件
3．（四川理科 4 文科 6）将直线 y
3x 绕原点逆时针旋转 90 ，再向右平移 1 个单位，所得
到的直线为
（ A ）
A ． y
1 x
1
B ． y
1
C ． y 3x 3
D ． y
1
3 3
x 1
x 1
3
3
分析：此题有新意，审题是重点．旋转 90 则与原直线垂直，故旋转后斜率为
1
．再右
1
3
移 1 得 y
( x 1)
．
3
选 A ．此题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法例．辅以平几背景之旋转变换．
4．（全国 I 卷理科 10）若直线
x
y 1经过点 M (cos ，sin ) ，则
a
b
（ B
）
A ． 2
2
． a
2
b 2
1
．
1 1
． 1
1
a b ≤ 1
≥22 ≤ 1
2
2 ≥ 1
B
C
a b D a b
5（． 重庆理科 7）若过两点 P 1(-1,2), P 2 (5,6) 的直线与 x 轴订交于点 P ，则点 P 分有向线段 PP
1 2
所成的比
的值为
（ A
）
A ．－
1
B ．－
1
C ．
1
D ．
1
3
5
5
3
（重庆文科 4）若点 P 分有向线段 AB 所成的比为－
1
，则点 B 分有向线段 PA 所成的比
3
是（ A
）
A ．－
3
B ．－
1
C ．
1
D ．3
2
2
2
6．（安徽理科 8 文科 10）若过点 A(4,0) 的直线 l 与曲线 ( x
2)2
y 2 1有公共点，则直线
l 的斜率的取值范围为
（ C
）
A ． [
3, 3] B ． (
3, 3)
C ． [
3, 3]
D ． (
3, 3)
3
3
3 3
7．（辽宁文、理科 3）圆 x 2
y 2
1与直线 y kx 2 没有 公共点的充要条件是
（ C ）
．．
A ． k ( 2, 2)
B ． k (
, 2) ( 2, )
C ． k (
3, 3)
D ． k (
,
3) ( 3,
)
8．（陕西文、理科 5）直线 3x y m
0与圆 x 2 y 2
2x 2 0 相切，则实数 m 等于
（ C
）
A ． 3 或
3
B ．
3或3 3
C ．33或
3
D ． 3 3或3 3
x ≤ 0,
9．（安徽文科 11）若 A 为不等式组
y ≥ 0, 表示的平面地区，则当
a 从－ 2 连续变化
y
x ≤ 2
到 1 时，动直线 x ＋y ＝ a 扫过 A 中的那部分地区的面积为
（ C ）
A ．
3
B ． 1
C ．
7
D ．2
4
4
10．（湖北文科
5）在平面直角坐标系
xOy 中，知足不等式组
x ≤ y , 的点 ( x, y) 的会合
x
1
用暗影表示为以下图中的
（ C ）
y x 1≤ 0,
11（． 辽宁文科 9）已知变量 x 、y 知足拘束条件
y 3x 1≤ 0, 则 z ＝ 2x+y 的最大值为（ B
）
y x ≥
1 0,
A ． 4
B ． 2
C ． 1
D ．－ 4
x y 1≥ 0
12．（北京理科 5）若实数 x , y 知足 x y ≥ 0 ，则 z =3x+y 的最小值是
（ B ）
x ≤ 0
A ．0
B ． 1
C ． 3
D ．9
x y 1≥ 0
（北京文科 6）若实数
x ， y 知足
x y ≥ 0
，则 = +2 的最小值是 （ A
）
z x y
x ≤ 0
A ． 0
B ．
1
C ． 1
D ．2
2
x － y+1≤0
y
13．（福建理科 8）若实数 x 、y 知足 x >0
，则 x 的取值范围是
（ C ）
A ．(0， 1)
B ． (0，1]
C ．(1 ，+∞)
D ．[1 ， +∞)
x y 2≤ 0, 则 y
的取值范围是
（福建文科 10）若实数 x 、y 知足
x 0,
（ D ）
x ≤ 2, x
A ．（ 0， 2）
B ．（ 0， 2）
C ． (2,+ ∞ )
D ．[2 ， +∞)
x y ≥ 0
14．（天津理科 2 文科 3）设变量 x, y 知足拘束条件
x y ≤ 1 ，则目标函数 z
5x
y 的
x 2y ≥ 1
最大值为
A ． 2
B ． 3
C ． 4
D ．5
（ D
）
2x y ≤ 40
15．（广东理科 4）若变量 x 、y 知足
x 2 y ≤ 50
3x 2y 的最大值是（ C
）
x ≥ 0
，则 z
y ≥ 0
A ． 90
B ． 80
C ． 70
D ．40
x ≥ 1,
16．（湖南理科 3）已知变量 x 、 y 知足条件
x y ≤ 0, 则 x+y 的最大值是（
C
）
x 2 y 9≤ 0,
A ． 2
B ． 5
C ． 6
D ．8
x ≥ ，
1
（湖南文科 3 ）已知变量 x 、 y 知足条件
≤ ， 则 x y 是最小值是 （ C
）
y
2
x y
≤ ，
A ． 4
B ． 3
C ． 2
D ．1
y ≥ x,
17．（全国Ⅱ卷理科 5 文科 6）设变量 x ， y 知足拘束条件：
x 2y ≤ 2,则 z x
3y 的最
x ≥ 2
小值为（ D
）
A ．－2
B. －4
C. －6
D. －8
y ≥ 1，
18．（陕西理科 10）已知实数
x ，y 知足 y ≤
2x ，假如目标函数
z x y
的最小值为
1
，
1
x
y ≤ m ．
则实数 m 等于
（ B ）
A ． 7
B ． 5
C ． 4
D ．3
x ≥ 0,
19．（浙江文科 10）若 a ≥ 0, b ≥ 0 ，且当
y ≥ 0, 时，恒有 ax by ≤ 1 ，则以 a , b 为坐
x y ≤ 1
标点 P(a, b) 所形成的平面地区的面积等于
（ C
）
A ．
1
B ．
C ． 1
D ．
2
2
4
x
2 y 19 ≥ ，
20．（山东理科 12）设二元一次不等式组
x y 8≥ 0, 所表示的平面地区为
M ，使函数
2x
y 14 ≤ 0
y ＝
x
(
＞0， a ≠ 1) 的图象过地区
的
a 的取值范围是
a
a
M
（ C ）
A ． [1,3]
B ． [2, 10 ]
C ． [2,9]
D ． [ 10 ,9]
．（山东文科 11 ）若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限， 且与直线 4x
3y 0 和 x 轴相切，
21 则该圆的标准方程是
（ B
）
y
7
2
A ． ( x 3)2
1
B ． ( x 2) 2
( y 1) 2
1
3
2
C ． ( x 1)2
( y 3)2
1
D ． x
3
( y 1)2 1
2
22．（重庆文科 3）曲线 C :
x cos
1.
为参数 ) 的一般方程为
y
sin
(
1
（ C ）
A ． ( x － 1) 2＋ ( y ＋1) 2＝ 1
B ． ( x ＋ 1) 2＋ ( y ＋ 1) 2＝ 1
C ． ( x ＋ 1) 2＋ ( y －1) 2＝ 1
D ． ( x － 1) 2＋ ( y － 1) 2＝ 1
23．（北京理科 7）过直线 y ＝ x 上的一点作圆 (x 5)2 ( y 1)2
2 的两条切线 l 1，l 2， 当直
线 l 1， l 2 对于 y ＝ x 对称时，它们之间的夹角为
（ C
）
A ． 30°
B ． 45°
C ． 60°
D ．90°
24．（广东文科 6）经过圆 x 2 2x
y 2 0 的圆心 C ，且与直线 x
y
0 垂直的直线方程是
（ C
）
A ． x ＋y ＋ 1＝ 0
B ． x ＋ y － 1＝ 0
C ． x －y ＋ 1＝ 0
D ．x － y － 1＝ 0
25．（湖北理科 9）过点 A （ 11，2）作圆 x 2 y 2
2x
4 y 164
0 的弦，此中弦长为整数
的共有
A ．16 条
B ．17 条
C ．32 条
D ．34 条
（ C
）
26．（山东理科 11）已知圆的方程为
x 2
＋
y 2
－6 －8 y ＝ 0. 设该圆过点（ 3， 5）的最长弦和最
x
短弦分别为 AC 和 BD ，则四边形 ABCD 的面积为
（ B ）
A ．10 6
B ．20 6
C ．30 6
D ．40 6
27．（重庆理科 3）圆
1
： x 2＋
y 2
－2 x ＝0和圆
2
： x 2＋
y
2
－ 4 ＝ 0 的地点关系是
O
O
y
（ B
）
A ．相离
B ．订交
C ．外切
D ．内切
28．（上海理科 15）如图，在平面直角坐标系中，
是一个
A x
y
y
与
轴的正半轴、
轴的正半轴分别相切于点
、
·
C D
的定圆所围成地区（含界限） ，、、、
是该圆的
ABCD
四平分点，若点 P ( x , y ) 、P ’ ( x ’ , y ’ ) 知足 x ≤ x ’ 且 y D ·
·B
≥ y ’，则称 P 优于 P ’，假如
中的点 Q 知足：不存在
Q ，那么全部这样的点 Q 构成的会合是劣弧
O
C
中的其余点优于
x
（
D
）
︵
︵
︵
︵ A ． AB
B ． BC
C ． CD
D ．DA
二、填空题
2x y ≤ 40
x 2 y ≤ 50
3x 2 y 的最大值是．29．（广东文科 12）若变量 x、y 知足，则 z
x≥ 0
y≥ 0
答案： 70
x y≥ 0，
30．（全国I卷理科13）若x，y知足拘束条件x y 3≥ 0，则z2x y 的最大值
0≤ x ≤ 3，
为．
答案： 9
x y2≥ ，
5x y10≤ ，
y 的最大值31 ．（山东文科 16 ）设x，y满足约束条件≥ ，则 z 2x
x0
y ≥ 0，
为．
答案： 11
x ≤ 0
32．（安徽理科 15）若A为不等式组y ≥ 0表示的平面地区，则当 a 从－2连续变化到
y x ≤ 2
1 时，动直线x y a 扫过 A 中的那部分地区的面积为．
答案：
7
4
x ≥ 0,
33. （浙江理科17）若a≥ 0, b≥ 0, 且当y ≥ 0,时，恒有 ax＋ by≤1，则以 a、b 为坐标
x y ≤ 1
的点 P（ a， b）所形成的平面地区的面积等于_________.
答案： 1
x=1+cosθ
34．（福建理科14）若直线 3x+4y+m=0 与圆y=－2+sinθ（θ 为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是．
答案： (,0)(10,)
（福建文科14）若直线3 4+=0与圆
x 2+y2-2x+4 +4=0 没有公共点，则实数的取值
x+ y m y m
范围是．
答案： (,0)(10,)
35．（山东文科 13）已知圆C : x2y26x 4 y80 ．以圆C与坐标轴的交点分别作为
双曲线的一个焦点和极点，则合适上述条件的双曲线的标准方程为
．
答案： x
2
y 2 1
4
12
36．（江苏
9 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 设 △ ABC 的 顶 点 分 别 为
A(0， a)， B(b ，0)， C (c ，0) ，点 P(0，p) 是线段 OA 上一点
y
A
（异于端点），
a ，
b ，
c ， p 均为非零实数．直线
、
CP 分
BP
F
P
E
别交 AC 、AB 于点 E ， F ．一起学已正确地求出直线
OE 的方
x
程为
1 1 x 1 1 y 0 ，请你达成直线 OF 的方程： B
O
C
b
c
p a
（
▲
） x
1 1 y 0 ．
p a
答案：
1 1 c b
37．（广东理科 11）经过圆 x 2 2x
y 2 0 的圆心 C ，且与直线 x y 0 垂直的直线方程
是________________ ．
【分析】易知点
C 为 ( 1,0) ，而直线与 x y 0 垂直，我们设待求的直线的方程为
y x b ，将点
C 的坐标代入立刻就能求出参数
b 的值为 b
1，故待求的直线的方程为
x y 1 0 ．
38．（重庆理科 15）直线
l
与圆 2＋
y
2
＋2 －4 ＋ ＝ 0( a ＜3) 订交于两点
， ，弦
的中
x
x
y
a
A B
AB
点为（ 0， 1），则直线 l 的方程为
．
答案： x － y ＋ 1＝ 0
（重庆文科 15）已知圆 ：
x 2
y 2
2x
ay 3 0（ a 为实数） 上随意一点对于直线
l ：
C
x － ＋2＝ 0 的对称点都在圆
C 上，则
=
．
y
a
答案：－ 2
39．（天津理科 13）已知圆 C 的圆心与抛物线
y 2
4x 的焦点对于直线 y x 对称 . 直线
4x 3 y 2 0
与圆 C 订交于A,B 两点，且 AB
6,则圆 C 的方程
为
.
．
答案： x 2
( y
1)2 10
40 ．（ 天 津 文 科 15 ） 已 知 圆 C 的 圆 心 与 点 P( 21)， 关 于 直 线 y x 1 对 称 ． 直 线
3x 4 y 11 0 与圆 C 订交于 A ， B 两点，且 AB 6 ，则圆 C 的方程为
．
答案： x 2
( y 1)2 18
41．（湖南文科 14）将圆 x 2+y 2=1 沿 x 轴正向平移 1 个单位后获得圆 C ，则圆 C 的方程
是
；若过点 (3 ， 0) 的直线 l
和圆 C 相切，则直线 l 的斜率是
．
答案： ( x － 1) 2+y 2＝ 1； 3 或
3
3
3
42．（四川文、理科 14）已知直线 l : x y 4 0 与圆 C : ( x
1)2 ( y
1)2 2，则C 上各
点到 l 距离的最小值为
．
分析：由数想形，所求最小值＝圆心到到直线的距离－圆的半径．圆心
(1,1)到直线
x y 6 0 的距离 d 6
3 2 ．故最小值为 3 2 2 2 2 ．
2 三、解答题
43．（宁夏海南文科第
20 题）
已知 m
R , 直线 l : mx (m 2
1) y 4m 和圆 C : x 2
y 2
8x 4 y 16 0 .
（Ⅰ）求直线 l 斜率的取值范围；
1
的两段圆弧？为何？
（Ⅱ）直线 l 可否将圆 C 切割成弧长的比值为
2
解：（Ⅰ）
k
m , km 2 m k
0( )，
m 2 1
m R , ∴当 k ≠ 0 时
≥0，解得
1
≤ k ≤
1
且 k ≠0
2
2
又当 k ＝ 0 时， m ＝ 0，方程 (
) 有解，所以，综上所述
1
≤ k ≤
1
2 2
（Ⅱ）假定直线 l 可否将圆 C 切割成弧长的比值为
1
的两段圆弧． 设直线 l 与圆 C 交于 A ，
B 两点
2
则∠ ACB ＝ 120°．∵圆 C : ( x
4) 2 ( y 2) 2 4 ，∴圆心 C （4， -2 ）到 l 的距离为 1．
故有
4m 2( m 2 1) 4m
1 ，整理得 3m
4
5m 2
3 0 ．
m 2
(m
2
1)
2
∵
52
4 3
3 0 ，∴ 3m
4 5m 2 3 0 无实数解．
所以直线 l 不行能将圆 C 切割成弧长的比值为
1
的两段圆弧．
2
44．（江苏 18）在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 f (x) x 2 2x
b （ x R ）与两坐
标轴有三
个交点．记过三个交点的圆为圆 C ．
（Ⅰ）务实数
b 的取值范围；
（Ⅱ）求圆 C 的方程；
（Ⅲ）圆 C 能否经过定点（与 b 的取值没关）？证明你的结论．
解：（Ⅰ）令 x=0，得抛物线于y 轴的交点是（0，b）
令 f ( x)=0，得 x2+2x+b=0，由题意 b≠0且△>0，解得 b<1且 b≠0
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为x2+ y 2+D x+E y+F=0
令 y=0，得 x2+D x+F=0，这与x2+2x+b=0 是同一个方程，故D=2， F=b
令x=0，得y2+ E+ =0，此方程有一个根为b，代入得 E=- -1
y b b
所以圆 C 的方程为x2+ y2+2x-( b+1）y+b=0
（Ⅲ）圆 C 必过定点（ 0， 1），（ -2 ， 1）
证明以下：将（0， 1）代入圆 C 的方程，得左侧 = 02+12+2×0-( b+1）× 1+ b=0，右侧=0
所以圆 C 必过定点（ 0， 1）；
同理可证圆 C 必过定点（ -2 ， 1）．。