第08讲-指数与指数函数(解析版)

第08讲-指数与指数函数
一、 考情分析
1.通过对有理数指数幂a m
n (a >0，且a ≠1；m ，n 为整数，且n >0)、实数指数幂a x (a >0，且a ≠1；x ∈R )含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质； 2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
二、 知识梳理
1.根式
(1)概念：式子n
a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
(2)性质：(n
a )n
＝a (a 使n
a 有意义)；当n 为奇数时，n
a n
＝a ，当n 为偶数时，n
a n
＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，
－a ，a <0.
2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m
n ＝n
a m (a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －
m
n ＝1
n
a m
(a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂
没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 3.指数函数及其性质
(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a >1
0<a <1
图象
定义域
R
[微点提醒]
1.画指数函数y ＝a x
(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，1a . 2.在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象越高，底数越大.
三、 经典例题
考点一 指数幂的运算
【例1-1】 化简下列各式：
(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－
1
2－(0.01)0.5； (2)a 3b 2
3
ab 2
（a 14b 12）4
a －13b
13
(a >0，b >0). 【解析】 (1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫11001
2
＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615
.
(2)原式＝（a 3b 2a 13b 2
3）1
2ab 2a －
13b 13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝a b . 【例1-2】 化简下列各式：
(1)[(0.0641
5)－2.5
]2
3－
3
338－π0； (2)56
a 13·
b －2·(－3a －12b －1) ÷(4a 23·b －3)1
2. 解 (1)原式＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫641 00015－5
22
3－⎝⎛⎭⎫27
81
3－1 ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝⎛⎭⎫4103
15×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－52×2
3
－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝⎛⎭⎫3231
3－1 ＝52－3
2
－1＝0. (2)原式＝－52
a －16
b －3÷(4a 2
3·b －
3)1
2
＝－54a －16b －3÷(a 13b －
23)＝－54a －12·b －2
3
＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.
规律方法 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 考点二 指数函数的图象及应用
【例2-1】若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________. 解析 (1)y ＝(a －1)2x －a 2＝a ⎝⎛⎭⎫2x －12－2x ，令2x －1
2＝0，得x ＝－1， 故函数y ＝(a －1)2x －a
2
恒过定点⎝⎛⎭⎫－1，－12. (2)在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示.
∴当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点. ∴b 的取值范围是(0，2). 【例2-2】(1)函数f (x )＝a x
－b
的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )
A.a >1，b <0
B.a >1，b >0
C.0<a <1，b >0
D.0<a <1，b <0
【例2-3】若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________. 解析 (1)由f (x )＝a x －b
的图象可以观察出，函数f (x )＝a x
－b
在定义域上单调递减，所以0<a <1.
函数f (x )＝a x
－b
的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.
(2)画出曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示.
由图象得|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1].
考点三 指数函数的性质及应用
【例3－1】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5>1.73 B.0.6－
1>0.62 C.0.8
－0.1
>1.250.2
D.1.70.3<0.93.1
(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x
－7，x <0，
x ，x ≥0，
若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________.
【解析】(1)A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3， ∴1.72.5<1.73，错误；
B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－
1>0.62，正确； C 中，∵(0.8)－
1＝1.25，
∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8
－0.1
<1.250.2，错误；
D 中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，错误.
(2)当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫
12a
－7<1， 则2－
a <8，解之得a >－3，所以－3<a <0. 当a ≥0时，则a <1，0≤a <1. 综上知，实数a 的取值范围是(－3，1). 答案 (1)B (2)(－3，1) 【例3－2】 (1)已知函数f (x )＝2|2x
－m |
(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增加的，则m 的取值范围是______.
(2)若函数f (x )＝⎝⎛⎭
⎫
13ax 2＋2x ＋3
的值域是⎝⎛⎦
⎤0，1
9，则f (x )的单调递增区间是________. 【解析】 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上是增加的，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m
2上是减少的.而y ＝2t 在R 上是增加的，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |
在[2，＋∞)上是增加的，则有m
2
≤2，即m ≤4，所以m 的取值
范围是(－∞，4]. (2)令g (x )＝ax 2＋2x ＋3， 由于f (x )的值域是⎝⎛⎦⎤0，1
9， 所以g (x )的值域是[2，＋∞). 因此有⎩⎪⎨⎪
⎧a >0，12a －44a ＝2，解得a ＝1，
这时g (x )＝x 2＋2x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭
⎫
13x 2＋2x ＋3
.
由于g (x )的单调递减区间是(－∞，－1]， 所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－1].
【例3－3】 如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为________. 【解析】 令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈
[－1，1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤1
a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去).当0<a <1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤a ，1
a 上单调递增，则y max ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12
－2＝14，解得a ＝13(负值舍去).综上，a ＝3或a ＝1
3. 答案 3或1
3
规律方法 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.
2.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.
[方法技巧]
1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.
2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较.
3.指数函数的单调性取决于底数a 的大小，当底数a 与1的大小关系不确定时应分0<a <1和a >1两种情况分类讨论.
4.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.
5.对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.
四、 课时作业
1．（2020·榆林市第二中学高三零模（文））设0.30.6a =，0.60.3b =，0.30.3c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b a c ＜＜ B ．a c b ＜＜ C ．b c a << D ．c b a ＜＜
【答案】C
【解析】因为0.60.30.30.3<，0.30.30.30.6<，所以b c a <<，故选C.
2．（2020·四川省成都七中高一月考）设0a >且1,a ≠则函数x y a b =+与y b ax =-在同一坐标系中的图象
可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】对A ，y b ax =-中的10,01b a -<<<<，x
y a b =+中的1a >，不能统一，错误；
对B ，y b ax =-中的0,1a b ><-，x
y a b =+中的0,10a b >-<<，不能统一，错误；
对C ，y b ax =-中的10,01b a -<<<<，x
y a b =+中的10,01b a -<<<<，正确；
对D ，y b ax =-中的1b <-，x
y a b =+中的10b -<<，不能统一，错误； 故选：C.
3．（2020·九台市第四中学高一期末）若a =b =
+a b 的值为（ ）
A ．1
B ．5
C ．1-
D ．25π-
【答案】A
【解析】由根式的性质得3a π=
=-，22b ππ=
=-=-，
因此，()()321a b ππ+=-+-=，故选：A.
4．（2020·天水市第一中学高二月考（文））已知函数()f x 是定义在R 的周期为2的函数，当01x <<时，
()4x f x =，则52f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．1
B ．4
C ．2
D ．32
【答案】C
【解析】由已知可得1
2551242222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
5．（2020·广西壮族自治区平桂高中高一期末）函数()2
3x f x a -=+恒过定点P （ ）
A ．()0,1
B ．()2,1
C ．()2,3
D ．()2,4
【答案】D
【解析】令20x -=，得2x =，
()0234f a =+=，因此，定点P 的坐标为()2,4.
6．（2020·陕西省西安一中高二期中（文））若指数函数()x
f x a =在区间[]0,2上的最大值和最小值之和为10，则a 的值为（ ） A ．
1
3
B ．3
C ．3±
D ．13
±
【答案】B
【解析】因为指数函数()x
f x a =在区间[]0,2上单调，且()01f =，()2
2f a =
即2110a += 解得3a =±，又0,1a a >≠ 所以3a =
7．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试（理））下列函数中，值域为R 且在区间(0,)+∞上单调递增的是 ( ) A ．22y x x =+ B ．12x y += C ．31y x =+ D ．(1)||y x x =-
【答案】C
【解析】（A ）2
2y x x =+的值域不是R ，是［－1，＋∞），所以，排除； （B ）1
2
x y +=的值域是（0，＋∞），排除；
（D ）()1y x x =-＝22,0,0
x x x x x x ⎧-≥⎨-+<⎩，在（0，12）上递减，在（12，＋∞）上递增，不符；
8．（2020·湖南省高三一模（理））已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若
12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）
A ．a c b >>
B ．b c a >>
C ．b a c >>
D ．a b c >>
【答案】B 【解析】
()()f x f x -=，则函数()y f x =为偶函数，
函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，
112
2
log 3log 10<=，由换底公式得122
log 3log 3=-，由函数的性质可得()2
log 3a f =，
对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=， 指数函数2x
y =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.2
1
02
12
-<<
<， 1.221
02log 32
-∴<<
<，因此，b c a >>. 9．（2019·河南省高一月考）设函数()21,2
5,2
x x f x x x ⎧-⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数,,a b c 满足
()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是（ ）
A ．()16,32
B ．()18,34
C ．()17,35
D ．()6,7
【答案】B
【解析】画出函数()f x 的图象如图所示．
不妨令a b c <<，则1221a b -=-，则222a b +=． 结合图象可得45c <<，故16232c <<． ∴1822234a b c <++<．选B ．
10．（2020·江西省上高二中高一期末）设函数()1
x
x a f x a =+，(0a >且1a ≠)，[]m 表示不超过实数m 的最
大正数，则函数11()()22f x f x ⎡⎤⎡⎤
-+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域是（ ）
A ．{}0,1,2
B ．{}10-，
C ．{}1,0,1-
D ．{}0,1
【答案】D
【解析】因为()1x x a f x a =+，所以1111
()21221x x x
a f x a a -=-=-++， 1111
()21212
x x x a f x a a ---+=+=+++.
因为11x a +>,所以1
011
x
a <
<+， 当11012x
a <<+时，1110212x a <-<+，111
1221
x a <+<+， 此时11021x a ⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦，11021x a ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，11()()022f x f x ⎡⎤⎡⎤-+-+=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦； 当
1112x a =+时，11()()122f x f x ⎡
⎤⎡⎤-+-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
；
当
11121x a <<+时，1110221x a -<-<+，1131212x a <+<+， 此时1112
1x a ⎡⎤-
=-⎢⎥+⎣⎦，11121x a ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，11()()022f x f x ⎡
⎤⎡⎤-+-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
； 11．（2020·四川省高三二模（理））函数()112122
x
x f x +-=++，若() 1.2f t -=，则()f t =__________.
【答案】
45
【解析】由题意，函数()1121121122221
x x
x x f x +--=+=⋅+++，
所以()1
111211212111 1.21221222112t
t t t t t f t ---
---=⋅+=⋅+=⋅+=+++，即212215t t -=+，解得723t =， 又由()7111214
311722125
13
t t
f t -
-=⋅+=⋅+=++. 12．（2020·全国高三月考（理））定义在D 上的函数()f x ，如果满足对x D ∀∈,∃常数0M >，都有()f x M
≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 成为函数()f x 的上界.若已知函数()22t t
S t e me =++在
(],0-∞上是以4M =为上界的有界函数，则实数m 的取值范围为_________.
【答案】71m -≤≤
【解析】令(],0,1t
e x x =∈，则(]2
()2,0,1f x x mx x =++∈，对称轴为2
m x =-
. ①当02m -≤或12m
-≥，即2m ≤-或0m ≥时，()()41471404f m f ⎧-≤≤⎪⇒-≤≤⎨
-≤≤⎪⎩
，故01m ≤≤或7m -≤≤-2； ②当20m -<<时，4(1)4
20442f m m f -≤≤⎧⎪
⇒-<<⎨⎛⎫
-≤-≤ ⎪⎪
⎝⎭⎩
. 综上71m -≤≤.
13．（2020·福建省高一期末）已知函数()1515x
x
f x -=+．
（1）写出()f x 的定义域；
（2）判断()f x 的奇偶性；
（3）已知()f x 在定义域内为单调减函数，若对任意的t R ∈，不等式()()
22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．
【解析】（1）∵50x >，510x +>恒成立，
∴x ∈R ，
即()f x 的定义域为{}x x R ∈．
（2）∵由（1）得()f x 的定义域为{}
x x R ∈关于原点对称， ∴()()511551511551
x x x x x x f x f x ------===-=-+++， ∴()f x 为奇函数．
（3）∵对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，
∴()()2222f t t f t k -<--，
又∵()f x 是奇函数，
∴()()2222f t t f k t -<-
又∵()f x 在定义域内为单调减函数．
∴2222t t k t ->-，
即2320t t k -->对任意t R ∈恒成立，
∴4120k ∆=+<得13
k <-即为所求． 14．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））已知()221g x x ax =-+在区间[]13， 上的值域为[]0,4。

(1)求实数a 的值；
(2)若不等式()240x x g k -⋅≥ 当[)x 1,∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围。

【解析】（1）()()221g x x a a =-+-
当1a <时，()g x 在[]
1,3上单调递增
()()min 1220g x g a ∴==-=，即1a =，与1a <矛盾。

故舍去。

当13a ≤≤时，()()2
min 10g x g a a ==-=，即1a =±，故1a = 此时()()21g x x =-，满足[]1,3x ∈时其函数值域为[]0,4。

当3a >时，()g x 在[]
1,3上单调递减 ()()min 31060g x g a ==-=，即53a =，舍去。

综上所述：1a =。

（2）由已知得()22221?40x
x x k -⨯+-≥在[)1,x ∈+∞上恒成立 ⇔ 2112122x x k ⎛⎫⎛⎫≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在[)1,x ∈+∞上恒成立 令12x t =，且10,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
，则上式⇔ 2121,0,2k t t t ⎛⎤≤-+∈ ⎥⎝⎦
恒成立。

记()221h t t t =-+ 10,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时()h t 单调递减，()min 1124
h t h ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭ 故14
k ≤ 所以k 的取值范围为。

15．（2020·全国高三一模（理））已知函数2()2,()2==+x f x g x x ax .
（1）当1a =-时，求函数(())(23)=-y f g x x 的值域.
（2）设函数(),()(),f x x b h x g x x b ⎧=⎨<⎩
，若0ab >，且()h x 的最小值为22，求实数a 的取值范围. 【解析】（1）当1a =-时，22(())2(23)-=-x
x f g x x ，
令22,2μμ=-=x x y ， ∵[2,3]x ∈-∴[1,8]μ∈-，
而2μ=y 是增函数，∴12562y ， ∴函数的值域是1,2562
⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦. （2）当0a >时，则0,()>b g x 在(,)a -∞-上单调递减，
在(,)a b -上单调递增，所以()g x 的最小值为2()0-=-<g a a ，
()f x 在[,)+∞b 上单调递增，最小值为0221>=b ，
而()h x ，所以这种情况不可能. 当0a <时，则0,()<b g x 在(,)b -∞上单调递减且没有最小值，
()f x 在[,)+∞b 上单调递增最小值为2b ，
所以()h x 的最小值为22
=b ，解得12b =-（满足题意），
所以111()242⎛⎫
⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g b g a f 122-a .
所以实数a 的取值范围是1,
4⎛
--∞ ⎝⎦. 16．（2020·广东省中山纪念中学高三月考（文））已知定义域为R 的函数()1222
x x b f x +-+=+是奇函数. （1）求b 的值；
（2）判断并证明函数()f x 的单调性；
（3）若对任意的R t ∈，不等式()()
22220f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围. 【解析】（1）因为()f x 是R 上的奇函数，所以()00f =，即10122b b -=⇒=+，即()11222
x
x f x +-=+. 经验证()()1112212222
x x x x f x f x --++---===-++， 故1b =时，满足题意.
（2）由（1）知，()1121122221
x x x f x +-==-+++， 任取12,x x ∈R ，且12x x <，则()()()()
21121212112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++， 函数2x y =在R 上是增函数，所以21220x x ->.
又()()
1221210x x ++>，则()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， ∴()f x 在(),-∞+∞上为减函数.
（3）因为()f x 是奇函数，从而不等式()()22220f t t f t k -+-<等价于()()()222222f t t f t k f k t -<--=-，
又因为()f x 为(),-∞+∞上减函数，所以由上式推得2222t t k t ->-， 即对一切R t ∈，2320t t k -->恒成立，
则4120k ∆=+<，即1
3
k <-.。