高中数学总复习：简单的三角恒等变换

π
（α＋ ）＝2
3
sin
π
63
（β＋ ）＝ ，
6
65
π
π
（ ＋α－ ）＝2
2
6
cos
π
（α－ ）
6
126
＝
.
65
目录
高中总复习·数学（提升版）
解题技法
三角恒等变换综合问题的求解策略
（1）进行三角恒等变换要抓住变角、变函数名称、变结构，尤其是
角之间的关系，注意公式的逆用和变形使用；
（2）形如 y ＝ a sin x ＋ b cos x 化为 y ＝ 2 ＋2 ·sin （ x ＋φ），可进
（1）此类问题的解法规律是将所给的一个或几个三角函数式根据问
题的需要进行恒等变换，使其转化为所求函数式能够使用的条
件，然后用代入法求出三角函数式的值，也可以将所求的函数
式经过适当的变形，再利用条件求值；
（2）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值的解题
关键：把“所求角”用“已知角”表示.
目录
3
17π
7π
sin2+2si2
＝ ，
＜ x ＜ ，则
＝
5
12
4
1−tan
17π
7π
5π
π
∵
＜ x ＜ ，∴ ＜ ＋ x ＜2π.又∵
12
4
3
4
解析：
∴ sin
π
＋
4
π
＋
4
π
cos ＋
4
sin
4
＝－ ，∴
5
π
＋
4
cos x ＝ cos
π
2
sin ＝－ .∴
4
10
π
＋
4
−
π
4
cos
28
某个三角函数值来求角（注意角的范围），在选取函数时，应遵
循以下原则：
（1）已知正切函数值，选正切函数；
（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是
π
0，
2
选正、余弦函数皆可；若角的范围是（0，π），选余弦函
数；若角的范围为
π
π
− ，
2
2
，选正弦函数.
目录
，
高中总复习·数学（提升版）
1. （2021·全国甲卷9题）若α∈
2
2
3
3
＝2 3 cos 2 x －2 sin x cos x － 3
＝ 3 （1＋ cos 2 x ）－ sin 2 x － 3
目录
高中总复习·数学（提升版）
＝ 3 cos 2 x － sin 2 x
＝2 cos
π
（2 x ＋ ），
6
π
7π
π
令2 k π－π≤2 x ＋ ≤2 k π（ k ∈Z），解得 k π－ ≤ x ≤ k π－
三角恒等变换的综合应用
【例5】 已知向量 a ＝（

，
2

cos ＋
2

sin ，2
2

sin ）， b ＝（
2

cos －
2
sin

3 cos ），函数 f （ x ）＝ a ·b .
2
目录
高中总复习·数学（提升版）
（1）求函数 f （ x ）的最大值，并指出 f （ x ）取最大值时 x 的取
高中总复习·数学（提升版）
考向3
给值求角
【例3】 已知 sin α＝
β＝
π
4
5
，
5
sin （α－β）＝－
10
，α，β均为锐角，则
10
.
⁠
目录
高中总复习·数学（提升版）
π
π
解析：因为α，β均为锐角，所以－ ＜α－β＜ .又
2
2
10
π
，所以－ ＜α－β＜0，所以
10
2
以 cos
2 5
α＝
，所以
5
cos
三角函数式的化简与证明
【例4】
（
3π
（1）已知 ＜θ＜2π，化简
2
1 + sin − 1 − sin ＝
）
目录
高中总复习·数学（提升版）
解析：
原式＝｜

sin ＋
2

cos ｜－｜
2
3π

＜θ＜2π，∴ ＜ ＜π，从而
4
2
0.则原式＝－（

sin ＋
2

sin ＋
2

cos ）－（
2

sin －
1
α＝ ⇒tan
4
α＝
15
.
15
目录
高中总复习·数学（提升版）
2. 已知α，β∈（0，π）且tan
（
1
α＝ ，
2
cos β＝－
10
，则α＋β＝
10
）
目录
高中总复习·数学（提升版）
解析：
由α，β∈（0，π）且tan
1
α＝ ，
2
角，β为钝角，故 sin β＞0， sin β＝ 1 −
cos β＝－
10
2
6
6
3
又 sin
π
3
1
2
（β＋ ）＝ ∈（ ， ），
6
5
2
2
π
π
π
∴ ＜β＋ ＜ ，∴
6
6
4
cos
π
4
（β＋ ）＝ ，
6
5
目录
高中总复习·数学（提升版）
∴ cos
π
（α－ ）＝
6
cos
＝ cos （α＋β） cos
π
∴ f （α＋ ）＝2
6
π
［（α＋β）－（β＋ ）］
6
π
（β＋ ）＋
6
sin
sin （α＋β） sin
可知α为锐
10
3 10
2
＝
，tan
10
β＝
sin
π
π
π
3π
＝－3，∵α∈（0， ），β∈（ ，π），∴α＋β∈（ ， ），
cos
2
2
2
2
1
2
＋(−3）
tan＋tan
3π
∴tan（α＋β）＝
＝ 1
＝－1，∴α＋β＝ .
1−tantan
4
1− ×(−3）
2
目录
高中总复习·数学（提升版）
－
75
π
＋
4
＝ cos
.
3
＝ ，
5
π
＋
4
7 2
sin x ＝－
，tan x ＝7.
10
2×
sin2+2si2
2sincos+2si2
∴
＝
＝
1−tan
1−tan
7 2
−
10
×
2
−
10
1−7
+2×
7 2
−
10
2
28
＝－ .
75
目录
高中总复习·数学（提升版）
解题技法
给值求值问题的解题策略
⁠
4sin10°cos10°
cos10°
＋
3sin10°
cos10°
＝
2sin20°−[cos（60°+10°)−cos（60°−10°)]
＝
cos10°
2cos70°−cos70°＋cos50°
cos10°
＝
＝
cos70°＋cos50°
cos10°
＝
＝2 cos 60°＝1.
目录
高中总复习·数学（提升版）
角函数式时，一般需要升次.
目录
高中总复习·数学（提升版）
2. 证明三角函数恒等式的三种方法
（1）如果需证的三角函数恒等式中只含同角三角函数，则可以从
变化函数入手，即尽量把等式中所含三角函数都化为正弦和
余弦或全部化为某一函数，虽然能达到最终目标，但这种方
法不一定最简单；
（2）如果需证的三角函数恒等式中含有不同角的三角函数，则宜
值集合；
解：f （ x ）＝ cos
sin x ＝2 sin
2－
2
sin
2 ＋2
2


3 sin cos ＝
2
2
cos x ＋ 3
π
（ x ＋ ），
6
π
π
π
令 x ＋ ＝ ＋2 k π， k ∈Z，得 x ＝ ＋2 k π， k ∈Z，
6
2
3
π
∴ f （ x ）的最大值为2，此时 x 的取值集合为{ x ｜ x ＝ ＋2 k π，
2

3π
cos ｜，∵
2
2

cos ＜0，
2

sin －
2

sin －
2

cos ）＝－2
2

cos ＞
2

sin .
2
目录
高中总复习·数学（提升版）
1
α－ [
2
（2）求证： sin （α＋β） cos
sin （2α＋β）－ sin β]＝ sin β.
证明：∵ sin （2α＋β）＝ sin [α＋（α＋β）]
2. 已知 sin β＝ m sin
π
π
（2α＋β）（α≠ k π＋ ，α＋β≠ k π＋ ， k ∈Z，
2
2
1+
且 m ≠1），求证：tan（α＋β）＝
tan α.
1−
π
π
证明：∵ m ≠1，α＋β≠ k π＋ ，α≠ k π＋ ， k ∈Z，
2
2
sin β＝ m sin
（2α＋β），
∴ sin [（α＋β）－α]＝ m sin [（α＋β）＋α]，
sin （α－β）＝－
3 10
（α－β）＝
.又
10
sin α＝
5
，所
5
sin β＝ sin [α－（α－β）]＝ sin α cos （α－β）
－ cos α sin （α－β）＝
5
3 10
2 5
10
2
π
×
−
×（－
）＝ .所以β＝ .
5
10
5
10
2
4
目录
高中总复习·数学（提升版）
解题技法
“给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的
3
k ∈Z}.
目录
高中总复习·数学（提升版）
（2）若α，β为锐角， cos
12
6
π
（α＋β）＝ ， f （β）＝ ，求 f （α＋ ）
13
5
6
的值.
解：由α，β为锐角， cos
6
由 f （β）＝ 得，
5
sin
12
（α＋β）＝ ，得
13
sin
5
（α＋β）＝ ，
13
π
3
（β＋ ）＝ ，
6
5
π
π
π
2π
∵0＜β＜ ，∴ ＜β＋ ＜ ，
6
12
12
（ k ∈Z），
7π
π
所以 f （ x ）的单调递增区间为［ k π－ ， k π－ ］（ k ∈Z）.
1+ 5
，则
4

sin ＝（
2
）
目录
高中总复习·数学（提升版）

解析：∵α为锐角，∴ 为锐角，∴
2
2 sin
2 ，∴
2

sin ＝
2
1−cos
＝
2

sin ＞0.又
2
1+ 5
4
1−
2
＝
cos α＝1－
3− 5
＝
8
6−2 5
−1+ 5
＝
.
16
4
故选D.
目录
高中总复习·数学（提升版）
（2）若 cos
解题技法
解给角求值问题的基本思路
观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非
特殊角的三角函数值转化为：
（1）特殊角的三角函数值；
（2）正、负相消的项和特殊角的三角函数值；
（3）可约分的项和特殊角的三角函数值等.
目录
高中总复习·数学（提升版）
考向2
给值求值
【例2】 （1）（2023·新高考Ⅱ卷7题）已知α为锐角， cos α＝
第2课时 简单的三角恒等变换
目录
C O N T E N T S
1
2
考点 分类突破
课时 跟踪检测
课堂演练
考点 分类突破
精选考点 典例研析 技法重悟通
PART
1
目录
高中总复习·数学（提升版）
三角函数式求值
考向1 给角求值
【例1】
（教材题改编） sin 20°（ 3 ＋tan 50°）＝（
）
B. 2
＝ sin α cos （α＋β）＋ cos α sin （α＋β），
∴ sin （α＋β） cos
1
α－ [
2
＝ sin （α＋β） cos
1
α－ sin
2
1
β）＋ sin
2
1
＝ sin
2
1
β＝ cos
2
α sin
sin （2α＋β）－ sin β]
α cos
1
（α＋β）－ cos
2
1
（α＋β）－ sin
－4 .
⁠
°− 3
sin12°− 3cos12°
cos12°
解析：原式＝
＝
＝
2
2（2 12°−1）sin12°
2sin12°cos12°cos24°
sin12
2（ sin12°−
1
2
°）
3
cos12
2
sin24°cos24°
＝
2sin（12°−60°）
1
sin48
2
°
＝－4.
目录
高中总复习·数学（提升版）
即 sin （α＋β） cos α－ cos （α＋β） sin α＝ m sin （α＋β）·cos α＋
m cos （α＋β） sin α，
∴（1－ m ） sin （α＋β） cos α＝（ m ＋1） cos （α＋β） sin α，
1+
∴tan（α＋β）＝
tan
1−
α.
目录
高中总复习·数学（提升版）
一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.
目录
高中总复习·数学（提升版）
已知函数 f （ x ）＝4 cos x cos
π
（ x ＋ ）－
6
3.
（1）求 f （ x ）的单调递增区间；
解：f （ x ）＝4 cos x cos
＝4 cos x （
π
（ x ＋ ）－
6
3
1
cos x － sin x ）－
D. 1