武汉大学2017-2018学年第二学期期末考试线性代数B试题(A)

武汉大学2017-2018学年第二学期期末考试线性代数B 试题（A ）
1、（10分）若12312,,,,αααββ都是四维列向量，且四阶行列式12311223,,m n αααβααβα==计算四阶行列式()32112αααββ+.
2、（10分）已知3阶方阵101020201A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
，3阶矩阵B 满足方程 E B A B A =--2，试求矩阵B .
3、（10分）已知向量123,,e e e 不共面，试判断向量12312312332,,45e e e e e e e e e αβγ=+-=+-=-++是否共面。

4、（10分）设)(4321αααα，，，=A 为4阶方阵，其中4321αααα，，，是4维列向量，且234,ααα，线性无关，3214αααα++=.已知向量4321ααααβ+++=，试求线性方程组β=x A 的通解.
5、（12分）设有向量组()T
11,3,3,1α=,()T
21,4,1,2α=,()T
31,0,2,1α=,()T
41,7,2,k α=
（1）问k 为何值时，该向量组线性相关？（2）在线性相关时求出该向量组的一个极大线性无关组并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。

6、（10分）设A 是3阶方阵，互换A 的第一、第二列，得矩阵B ；再将B 的第二列加到第三列上得矩阵C ； 然后再将矩阵C 的第一列乘以2得到矩阵D ;求满足AX D = 的可逆矩阵X .
7、（10分）若矩阵22082006A a ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
可以对角化，设与A 相似的对角矩阵为Λ；（1）试求常数a 的值及对角
矩阵Λ，可逆矩阵P 使得1
P AP -=Λ.
8、（10分）已知321ααα，，与321βββ，，为所有3维实向量构成的线性空间3
R 的两组基, 123ααα，
，到321βββ，，的过渡矩阵为021102100P -⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
且()()()1231,0,0,1,1,0,1,1,1T T T ααα===,
试求：(1) 基321βββ，，；(2) 在基 321321,,,,βββααα与 下有相同坐标的全体向量.
9、（8分）设n 阶方阵A 的伴随矩阵为,A *
证明：若,A O =则A O *=；
10、（10分）设实二次型222
1231232313(,,)()()()f x x x x x x x x x ax =-+++++其中a 为参数。

（1）求123(,,)0f x x x =的解；（2）求123(,,)f x x x 的标准形。

武汉大学2017-2018学年第二学期期末考试线性代数B 试题（A ）参考解答
1、（10分）若12312,,,,αααββ都是四维列向量，且四阶行列式12311223,,m n αααβααβα==计算四阶行列式()32112αααββ+. 解 由行列式的性质，可得
()3211232113212αααββαααβαααβ+=+12311223m n αααβααβα=-+=-+.
2、（10分）已知3阶方阵101020201A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
，3阶矩阵B 满足方程 E B A B A =--2，试求矩阵B .
解：由题设有 E A B E A +=-)(2且2
20
2
30360,402
A E --==≠--故2()A E -可逆。

在等式左右两边左乘21()A E --得
21()()B A E A E -=-+ 1
1001001/2()01001
0200100A E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
3、（10分）已知向量123,,e e e 不共面，试判断向量12312312332,,45e e e e e e e e e αβγ=+-=+-=-++是
否共面。

解 法一 因为向量123,,e e e 不共面，而123311(,,)(,,)2
14115e e e αβγ-⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪--⎝⎭
且3112140115-≠-- 向量123,,e e e 不共面，所以向量,αβγ，不共面。

法二 1230k k k αβγ++=，即 123112321233(3)(24)(5)0k k k e k k k e k k k e +-++++--+=
由向量123,,e e e 不共面，所以有12312312
33=0
24=05=0k k k k k k k k k +-⎧⎪
++⎨⎪--+⎩，由3112
140115-≠-- 所以向量,αβγ，不共面。

4、（10分）设)(4321αααα，，，=A 为4阶方阵，其中4321αααα，，，是4维列向量，且234,ααα，线
性无关，3214αααα++=.已知向量4321ααααβ+++=，试求线性方程组β=x A 的通解.
解:由3214αααα++=知A 列向量组线性相关, 从而()4R A <, 因234,ααα，线性无关, 则
()3R A ≥, 故()3R A =, 由4321ααααβ+++=知()1,1,1,1T
η=为β=x A 一个特解, 由
3214αααα++=得()1,1,1,1T
ξ=-为0Ax =一个解,由()3R A =知0Ax =的基础解系中有
4-3=1个向量, 从而ξ就构成0Ax =的基础解系, 由线性方程组解的结构知β=x A 的通解为
()()1,1,1,11,1,1,1T
T
x k =-+.
5、（12分）设有向量组()T
11,3,3,1α=,()T
21,4,1,2α=,()T
31,0,2,1α=,()T
41,7,2,k α=
（1）问k 为何值时，该向量组线性相关？（2）在线性相关时求出该向量组的一个极大线性无关组并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。

解 （1）令()1234 A αααα=，对A 作初等行变换：100
1010100110002A k ⎛⎫ ⎪
⎪→ ⎪- ⎪-⎝⎭
，故2k =时，该向量组线性相关；（2）2k =时，123,,ααα是给定向量组一个极大线性无关组，且 4α123ααα=+-
6、（10分）设A 是3阶方阵，互换A 的第一、第二列，得矩阵B ；再将B 的第二列加到第三列上得矩阵C ； 然后再将矩阵C 的第一列乘以2得到矩阵D ;求满足AX D = 的可逆矩阵X .
解 由题意有0101
00001A B ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭,100011001B C ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭,2
000
10001C D ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝
⎭
于是 010100200100011010001001001A D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪⎪= ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以0101002000111
00011010=200001001001001X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪⎪ ⎪= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
7、（10分）若矩阵22082006A a ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
可以对角化，设与A 相似的对角矩阵为Λ；试求常数a 的值及
对角矩阵Λ，可逆矩阵P 使得1P AP -=Λ；
解：矩阵A 的特征多项式2220
82(6)(2)006A E a λλλλλλ
--=-=--+-，故A 的特征值为126λλ==，32λ=-。

由于A 相似于对角矩阵Λ，故对应于126λλ==应有两个线性无关的特征向量，即齐次线性方
程组(6)0A E x -=的基础解系中应含两个解，所以(6)1R A E -=，
而420684000A E a -⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭～42000000a -⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，故0a =
对126λλ==，解(6)0A E x -=，6A E -～210000000-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，得基础解系12102,001p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
对32λ=-，解(2)0A E x +=，2A E +～210001000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，得基础解系3120p ⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
记矩阵600060002⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪-⎝⎭，则矩阵101202010P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
即满足1
P AP -=Λ。

8、（10分）已知321ααα，，与321βββ，，为所有3维实向量构成的线性空间3R 的两组基, 123ααα，
，到321βββ，，的过渡矩阵为021102100P -⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
且()()()1231,0,0,1,1,0,1,1,1T T T ααα===,
试求：(1) 基321βββ，，；(2) 在基 321321,,,,βββααα与 下有相同坐标的全体向量. 解:(1).由基变换公式知
()()
1
2
3123111021021011102002001100100P ββ
βααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪==-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
, 故基321βββ，，为0210,0,2100⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
(2).设向量γ为任一在基 321321,,,,βββααα与
下有相同坐标的向量,坐标均为123x x x x ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
, 则坐标变换公
式有x Px =, 即()0P E x -=, 解方程组12112111
2112101101x ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
--⎝⎭⎝⎭得通解111x k ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭(k 为任意常数),则()123131211k k γααα⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，
9、（8分）设n 阶方阵A 的伴随矩阵为,A *
证明：若,A O =则A O *=；
证明 下分两种情况证明：
（1）若,A O =此时显然有,A O *=因而0;A *
=
（2）若,A O ≠此时因0,A =有.AA A E O *
==
下证0,A *=用反证法证之.若0,A *≠则A *为可逆矩阵，()
1
A
-*
存在，由AA O *
=得到
()1
,AA A O -**=
即.A O =这与A O ≠矛盾，故0.A *=再由（1）与（2）知，若0,A =则0.A *
=
10、（10分）设实二次型2221231232313(,,)()()()f x x x x x x x x x ax =-+++++其中a 为参数。

（1）求123(,,)0f x x x =的解；（2）求123(,,)f x x x 的规范形。

解 （1）12312323130(,,)000x x x f x x x x x x ax -+=⎧⎪=⇔+=⎨⎪+=⎩即123111011010x x a x -⎛⎫⎛⎫
⎪⎪
= ⎪⎪ ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
系数矩阵11110
201101
110002a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
，当2a ≠时，0Ax =只有零解， 当2a =时，11110201101110000a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，方程组0Ax =有无穷组非零解12321,1x x c c R x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(2) 当2a ≠时，作变换112233y x y y A x y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪==
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
可逆，则二次型的规范形为 222123f y y y =++ 当2a =时，222
123121323226264f x x x x x x x x x =++-++，二次型矩阵为：213120306B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
由21321
3(6)(1018)02012B I λλλλλλλλ
----=+-=--+=---
得1230,55λλλ===
所以标准形为22
23
5f z z =+（（。