点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离2024-2025学年高二上学期人教A版2019选择性必修一

即|a|＝ 2，∴a＝± 2.
2．已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小
值是( B ) A. 10
B．3 5 5
C． 6
D．3 5
[解析] 点 M 到直线 2x＋y－1＝0 的距离，即为|MP|的最小值，所以 |MP|的最小值为|2＋222＋－112 |＝3 5 5.
做一做：已知直线 l1：x＋y－1＝0，l2：x＋y＋a＝0，且两直线间的 距离为 2，则 a＝__1_或__－__3____.
[解析]
由 a1＋2＋11 2＝ 2得 a＋1＝±2，解得 a＝1 或－3.
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
求点到直线的距离
1．求点P(－2,1)到下列直线的距离： (1)3x＋4y－1＝0； (2)y＝2x＋3； (3)2x＋5＝0. [解析] (1)根据点到直线的距离公式，得 d＝3×－23＋2＋44×2 1－1＝35.
题型二
两平行线间的距离
2．(1)已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之
间的距离是( D ) A．4
B．2
13 13
C．5
13 26
D．7
13 26
(2)若动点 A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线 l1：x＋y－11＝0 和 l2：x ＋y－1＝0 上移动，则 AB 中点 M 所在直线的方程为___x_＋__y_－__6_＝__0_____.
综上所述，所求直线 l 的方程为 x＝1 或 3x－4y＋5＝0.
[误区警示] 应用直线方程时，各种直线方程的适用条件要清楚．
课堂检测•固双基
1．(多选题)已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值可能
为( CD ) A．1
B．－1
C． 2
D．－ 2
[解析] 由题意知 |1a2－＋1＋－11|2＝1，
必备知识•探新知
知识点 1 点到直线的距离
(1)定义：点到直线的距离，就是点到直线的__垂__线__段___的长度． |Ax0＋By0＋C|
(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝___A_2_＋__B_2__.
思考1：(1)在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？ (2)点P(x0，y0)到直线x＝a和直线y＝b的距离能否用点到直线的距离 公式？有没有更简单的方法． 提示：(1)直线方程应为一般式． (2)可以用点到直线的距离公式求解，也可以用下列方法求解： P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|a－x0|； P(x0，y0)到y＝b的距离d＝|b－y0|.
对点训练❶ (1)已知点(3，m)到直线 x＋ 3y－4＝0 的距离等
于 1，则 m 等于( D )
A. 3
B．－ 3
C．－
3 3
D．
3或－
3 3
(2)已知 O 为原点，点 P 在直线 x＋y－1＝0 上运动，那么|OP|的最小
值为( A )
A.
2 2
B．1
C． 2
D．2 2
[解析] (1)由题可知，1＝|3＋ 13＋m3－4|， 解得 m＝ 3或－ 33.故选 D. (2)最小值即为 O 到直线 x＋y－1＝0 的距离，即 d＝ 12＝ 22，选 A.
3．平行直线 l1：3x－y＝0 与 l2：3x－y＋ 10＝0 的距离等于( A )
A．1
B．0
C． 10
D．3
[解析] d＝ |302－＋－101|2＝1.
____－4__．14__已. 知点P(1,2)，则当点P到直线2ax＋y－4＝0的距离最大时，a＝ [解析] 因为直线 2ax＋y－4＝0 恒过定点 A(0,4)，故当 PA 与直线垂
对点训练❸ (1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点， 求|OP|最小时点P的坐标；
(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程． [解析] (1)直线上的点到原点距离的最小值即 为原点到直线的距离，此时 OP 垂直于已知直线，则 kOP＝1，∴OP 所在的直线方程为 y＝x.所以 d＝－2－－ Nhomakorabea2＝12.
即点 P(－2,1)到直线 2x＋5＝0 的距离为12.
[规律方法] 点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点 到直线的距离公式即可． (2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公 式列出关于参数的方程即可．
题型三
利用距离公式求解最值问题
3．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕 着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：
(1)d的变化范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程．
[解析] (1)如图，显然有 0<d≤|AB|.
而|AB|＝ 6＋32＋2＋12＝3 10.
2．3 直线的交点坐标与距离公式 2．3.3 点到直线的距离公式
2．3.4 两条平行直线间的距离
素养目标•定方向
1．探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公 式．
2．会求点到直线的距离与两平行直线间的距离．
通过研究点到直线及两平行线间的距离公式，提升数学抽象、数学 运算及逻辑推理素养.
(2)由题意，得点 M 所在的直线与直线 l1，l2 平行，所以设为 x＋y＋n
＝0，此直线到直线
l1
和
l2
的距离相等，所以|n＋11|＝|n＋1|，解得
2
2
n＝－
6，所以所求直线的方程为 x＋y－6＝0.
[规律方法] 求两条平行直线间的距离的两种思路 1．利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条 直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关， 因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于 运算． 2．利用两条平行直线间的距离公式求解．
做一做：原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝___5___. [解析] d＝ |1－2＋5|22＝ 5.
知识点 2 两条平行直线间的距离
(1) 定 义 ： 两 条 平 行 直 线 间 的 距 离 是 指 夹 在 这 两 条 平 行 直 线 间 的 __公__垂__线__段___的长．
(2)公式：两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0 与 l2：Ax＋By＋C2＝0 之 间的距离 d＝ |CA1－2＋CB22| .
[解析] (1)由题意，直线 3x＋2y－3＝0 和直线 6x＋my＋1＝0 平行， 则36＝m2 ，即 m＝4.
所以对应直线方程为 6x＋4y＋1＝0. 又直线 3x＋2y－3＝0 可化为 6x＋4y－6＝0， 所以两平行线之间的距离为 d＝|－662＋－412|＝ 752＝72613，故选 D.
直时，点 P 到直线的距离达到最大值，此时过 P，A 的直线的斜率为－2，
所以直线 2ax＋y－4＝0 的斜率为12，故 a＝－14.
的方程为 y－2＝34(x－1)，即 3x－4y＋5＝0.
[辨析] 符合题意的直线有两条，错解中忽略了斜率不存在的情 况，从而只得到了一条直线．
[正解] 当直线 l 过点 A(1,2)且斜率不存在时，直线 l 的方程为 x＝1， 原点到直线 l 的距离为 1，满足题意．
当直线 l 过点 A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线 l 的方程为 y－2＝ k(x－1)，即 kx－y－k＋2＝0.因为原点到直线 l 的距离为 1，所以|－kk2＋＋21|＝ 1，解得 k＝34.所以所求直线 l 的方程为 y－2＝34(x－1)，即 3x－4y＋5＝0.
故所求的 d 的变化范围为(0,3 10]．
(2)由图可知，当 d 取最大值时，两直线与 AB 垂直．而 kAB＝26－ －－ －13 ＝13，
所以所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和 y＋1＝－3(x＋3)， 即 3x＋y－20＝0 和 3x＋y＋10＝0.
[规律方法] 应用数形结合思想求最值 (1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为 “形”，从而利用图形的直观性加以解决． (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的 元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些 量的变化范围．
即点 P(－2,1)到直线 3x＋4y－1＝0 的距离为35.
(2)直线方程 y＝2x＋3 可化为一般式 2x－y＋3＝0.
根据点到直线的距离公式，得 d＝2×2－2＋2－－11＋2 3＝ 25＝2 5 5.
即点
P(－2,1)到直线
y＝2x＋3
的距离为2 5
5 .
(3)直线方程 2x＋5＝0 可化为 x＝－52，这条直线垂直于 x 轴，
由xy＋＝yx－，4＝0， 解得yx＝＝22.， ∴点 P 的坐标为(2,2)．
(2)由题意知，过点 P 且与 OP 垂直的直线到原点 O 的距离最大， ∵kOP＝2，∴所求直线方程为 y－2＝－12(x－1)， 即 x＋2y－5＝0.
易错警示
求直线方程时，忽略斜率不存在的情况 4．已知直线l过点A(1,2)，且原点到直线l的距离为1，求直线l的方 程． [错解] 由题意设 l 的方程为 y－2＝k(x－1)，即 kx－y－k＋2＝0.因 为原点到直线 l 的距离为 1，所以|－kk2＋＋21|＝1，解得 k＝34.所以所求直线 l
思考2：(1)在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何 要求？
(2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，两条平行直线间的距离如何 求？
提示：(1)两直线的方程为一般式且x，y的系数分别相同． (2)①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|； ②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.
对点训练❷ (1)(多选题)若直线 x－2y－1＝0 与直线 x－2y－c
＝0 的距离为 2 5，则实数 c 的值为( BC )
A．9
B．－9
C．11
D．－11
(2)已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等， 则l的方程是___2_x_－__y_＋__1_＝__0______.
[解析] (1)∵直线 x－2y－1＝0 与直线 x－2y－c＝0 的距离为 2 5. ∴|－1＋5 c|＝2 5，解得 c＝11 或 c＝－9. (2)设 l 的方程为 2x－y＋c＝0，于是有 |c2－2＋31| 2＝ |c2－2＋－－11|2，即|c －3|＝|c＋1|，∴c＝1， ∴直线 l 的方程为 2x－y＋1＝0.