数值分析试题及答案汇总

数值分析试题

一、填空题（2 0×2′） 1.

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=⎥

⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有 2 位有效数字。

2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]=

3. 4. 5. 6.

7.

8. 9. 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。

12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差r i ＝

(b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。

13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )的二阶导

数不变号，则初始点x 0的选取依据为 f(x0)f ”(x0)>0 。

14. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、 选取初值 、迭代计算。 二、判断题（10×1′）

1、 若A 是n 阶非奇异矩阵，则线性方程组AX ＝b 一定可以使用高斯消元法求解。( × )

2、 解非线性方程f (x )=0的牛顿迭代法在单根x *附近是平方收敛的。 ( ? )

3、 若A 为n 阶方阵，且其元素满足不等式

则解线性方程组AX ＝b 的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。 ( × ) 4、 样条插值一种分段插值。 ( ? )

5、 6、 ( ? 7、 8、 9、 101解答：

（1，5L 21（L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为： 回代得：

⎪⎩⎪

⎨⎧-===00010.1 99999.500005.33

21x x x

2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P 4(x )，并写出其截断误差的表达式(设f (x )在插值区间上具有直到五阶连续导数)。

解答： 做差商表

，并简单*－x ??( )． (A) 0.5×10 s －1－t (B) 0.5×10 s －t (C) 0.5×10s ＋1－t (D) 0.5×10 s ＋t

2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为( )．

(A) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡------21001210012100

12， (B)⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡2100

141101410125

(C) ⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡--2100

14121241

0125 (D) ⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡-513

114120141112

4 3. 过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P (x )=( )

(A) ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+32103201

23

x x x x (B)

⎪⎩

⎪⎨⎧≤<+-≤≤+32103201

2

3

2x x x x (C)

4.

(A) (C) 5. 那么y p ,(A) (C) 6. 7. …,n ，且满足S (x )在每个子区间[x k ,x k +1]上是 ．

8. 牛顿－科茨求积公式∑⎰=≈n

k k k b

a

x f A x x f 0

)(d )(，则∑=n

k k A 0

＝ .

9. 解方程f (x )=0的简单迭代法的迭代函数?(x )满足在有根区间内 ，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛．

10. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报――校正公式是

预报值：),(1k k k k y x hf y y +=+，校正值：y k +1= ． 三、计算题(每小题15分，共60分)

11. 用简单迭代法求线性方程组

的X (3)．取初始值(0,0,0)T ，计算过程保留4位小数． 12. 已知函数值f (0)=6，f (1)=10，f (3)=46，f (4)=82，f (6)=212，求函数的四阶均差f (0,1,3,4,6)和二阶均差f (4，1，3)．

13.将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分⎰+3

12d 1x x ，计算过程保留4位小数．

14. 用牛顿法求115的近似值，取x =10或11为初始值，计算过程保留4位小数． 四、证明题(本题10分) 15. 证明求常微分方程初值问题

在等距节点a =x 0<x 1<…<x n =b 处的数值解近似值的梯形公式为

h

其中h =x

1. A 8. b 11. X (0) 得到 得到 得到 f (0,1,3,4,6)=15

f (4, 1, 3)=6

13. f (x )=21x +,h =25.08

2

=．分点x 0=1.0，x 1=1.25，x 2=1.5，x 3=1.75，x 4=2.0，x 5=2.25，x 6=2.50，

x 7=2.75，x 8=3.0. 函数值：f (1.0)=1.414 2，f (1.25)=1.600 8，f (1.5)=1.802 8，f (1.75)=2.015 6，f (2.0)=2.236 1，f (2.25)=2.462 2，f (2.50)=2.692 6，f (2.75)=2.926 2，f (3.0)=3.162 3．

))]()()()()()()((27654321x f x f x f x f x f x f x f +++++++ (9分)

=

2

25

.0×[1.414 2+3.162 3+2×(1.600 8+1.802 8+2.015 6