微积分综合练习题及参考答案

微积分综合练习题及参考
答案
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2
综合练习题1 （函数、极限与连续部分）
1・填空题
⑴函数/（X ）= —i —的定义域是 ___________________ •答案：兀＞2且"3.
ln （x _ 2）
⑵ 函数=
+
的定义域是 _________ .答案：
ln （x + 2）
(-2-1)<J (-L2]
(3) 函数/(x + 2)
=x 1 2 +4x + 7,贝lj f{x)=
.答案:fM = x 2+3
(4) 若函数/（力= xsin —+ h x < 0
=1 x 在― [k 、 x > 0
=0处连续，贝1«=
.答案：k = \
⑸
函数/（x-1）：
=X 2 - 2x,则 /(x) = -答案：f （x ）= -v 2 -1
⑹
v 2 -2x-3
函数心Y+1 -的间断点是
•答案：兀=一1
(7) lim xsin 丄=
•答案：1
⑻ -..sin4x 若 lim ------ =
go sin kx =2,则斤= 答案：k = 2
2 •单项选择题
答案：c
1 设函数〉心三匚，则该函数是（）•
A .奇函数
B .偶函数
C .非奇非偶函数
D .既奇又偶函数
答案：B
2
下列函数中为奇函数是（ ）•
A . xsinx
C . ln(x +Jl + / )
(3)函数y = —- + ln(x + 5)的定义域为( )・
x + 4
A . x>-5
B . C. X>-5且X HO D. X>-5且X H—
答案：D
⑷设f(x + Y) = x2则f(x)=()
A . x(x + l)
B . A 2
C ・x(x - 2)
D . (x + 2)(x-l)
答案：C
(5)当斤=()时，函数/(x) = f\+2' °在兀=0处连续.
k、x = 0
■
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
答案：D
r2 + 1 X 工0
(6)当“()时，函数/(A-)= J1,,在龙=0处连续.
k、x = 0
A . 0
B . 1
C . 2
D . -1
答案：B
(7)函数/(A)=
()
Q - 3x + 2
A. x = \,x = 2 B . x = 3
答案:A
3 •计算题
C. x = \,x = 2,x = 3D•无间断点
lim .—2
3x + 2 X2-4
= lim (—2)(—1)=恤口
—2(X _2)(X + 2) Z X + 2
解：Um
X 2-3X + 2
X 2-4
解：lim 一「「I . = nm + " = lim = - = 2
XT3 牙・_2X_3 XT3 (牙_3)(牙 + 1) A->3 X +1 4 2
解:1曲v'-6a + S = lim(H7 = lim 口 = ?
JT — 5x + 4 XT4 (x _ 4)(X - 1) Yf 4 A -1 3
综合练习题2 (导数与微分部分)
(1)曲线/仗)=仮+ 1在(1,2)点的切斜率是
⑵ 曲线/W = e在(0J)点的切线方程是
答案：y = x + \
(3)已知f(x) = x3+3\则广(3)二答案:f(x) = 3x2+3x]n3
/73)=27 (l + hi3)
⑷已知/(x) = lnx t贝IJ八x)二
答案：广⑴4八g占
(5)若/(x) = xe-\ 则厂(0)= 答案:0 = -2宀心2.单项选择题
(1)若/Gv) = e'r cosx f则广(0)二()・
A. 2
B. 1
C. -1
D. -2
因f\x) = (e"v cosxY = (e~v)z cosx + e~v (cos x)9
所以广(0) =-e~°(cosO + sin0) = -1 答案：C
⑵设y = lg2x,则dy=()・
A . 丄 dr
B . ——!——dx 2x
xlnlO 答案：B
答案：D
⑷若/(x)=sinx + «3
,其中"是常数，则厂(劝=(
答案：c
(1) 设 y 求 ・
丄 丄 1 丄
解:y f = 2xe K +x 2e v (——)=e T (2x-l)
(2)
y = sin 4x + cos 3 x , 求
解：y f = 4cos4x + 3cos 2 x(-sin x)
(3) 设 y = e^+-.求
X
解：y = e^^=-4
(4) 设 y = xy/x + In cosx,求 3丄 1 3丄
解：y f = —x 2 + ------- (-sinx) = —x 2 -tanx
2 cosx 2
c.呱
D ・-dx x
⑶设y = fM 是可微函数
则 df(cos2x)=(
A . 2广(COS 2X )C L Y
B . /\cos2x)siii 2xd2x
C . 2广(cos2x)sin2・Tdr
D . 一广(cos2x)sin2xd2x
2
A . cosx + 3"- C . -sinx D . cosx
综合练习题3 (导数应用部分)
1・填空题
(1)函数y = 3(x-i)2的单调增加区间是____________________ .答案：(1,+s)
(2)函数/(A)= ax2 + 1在区间(0,+8)内单调増加，贝IJd应满足答案：«>0
2・单项选择题
(1)函数y = U+D2在区间(-2,2)是()
A •单调増加
B .单调减少
c •先增后减 D •先减后增
答案：D
(2)满足方程/V) = 0的点一定是函数y = /(x)的()•
A .极值点
B .最值点C.驻点D •间断点
答案：C
(3)下列结论中()不正确•
A . /W在“勺处连续,则一定在％处可微.
B . /W在x = x Q处不连续，则一定在巾处不可导.
C .可导函数的极值点一定发生在其驻点上.
D .函数的极值点一定发生在不可导点上.
答案：B
(4)下列函数在指定区间(p,p)上单调增加的是()•
A . sinx
答案：B
3・应用题(以几何应用为主)
(1)欲做一个底为正方形，容积为10创2的长方体开口容器，怎样做法用料最
省？
解：设底边的边长为xm,高为/?m,容器的表面积为ym2o怎样做法所用材料最省
即容器如何设计可使表面积最小。

由已知
所以〉，"+4恥宀仃辱"+空
432
令y = = 解得唯一驻点x = 6o
因为本问题存在最小值’且函数的驻点唯一，所以x = 6是函数的极小值点也是最小
1 HQ 值点。

故当x = 6m, h = —= 3m时用料最省.
6 二
(2)用钢板焊接一个容积为4id底为正方形的开口水箱，已知钢板的费用为10元
/ m；焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费用最低最低总费用是多少解：设水箱的底边长为x m?高为力m,表面积为S m2,且有h = 2 所以S(x) = x2 + 4A7?=
x2 +
x
令S3 = O,得x = 2.
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以当x = 2 m , h = \ m时水箱的表面积最小.
此时的费用为SQxl0 + 40 = 160 (元)
(3)欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设底边的边长为xm,高为/?m,所用材料(容器的表面积)为yn?o由已知
r；r-I t A 32 •>128
所以y = ：r +4 劝=JC +4.V-—=+——
JC X
1 OQ
令y = 2x-- =0,解得唯一驻点X = 4O
JC
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以x = 4是函数的极小值点也是最小
32
值点。

故当x = 4m, h = $ = 2 m时用料最省.
4・
请结合作业和复习指导中的题目进行复习。

综合练习题4 （一元函数积分部分）
(1)若/W的一个原函数为hi %2f则/(%)= __________
2 答案：二
X
(2)若j/(x)dx =sin 2x + c ,则/(兀) ____________ •
答案：2cos2x
(3)若 |cosxdr = ______________
答案：sinx + c
(4)JdL= _____________________________________
答案：e』+c
(5)j*(sin.
答案：sinx + c
(6)若J/(x)ck = F(x) + c,贝ljJ/(2x-3)dx =
答案:|F(2X-3)+ C
(7)____________________________________________ 若J f(x)dx = F(x) + c ,则J .寸(1 一F )dr = ________________________________________
答案:- — F(\ — x2) + c
厶
(8)j^sin xcos2x-x2 +x)dv = ___________ ・
答案:
(9)Ing+1)血= _____________________
dx Jl
答案：0
(10)|°e2'd¥= _________
答案：|
乙
2・单项选择题
(1)下列等式成立的是()
A • dj f(x)dx = f(x) C . ^J/(x)dx = /(x)
B . ^f\x)d.x = f(x) D . Jdf(x) = /(x)
答案：c
(2)以下等式成立的是(
A . In xd-v = d(—)
X
dx
石)
B . siiix(i¥ = d(cosx)
D . 3r dA = —
In 3
答案：D
⑶］*劝"(_¥)(女=()
A. W)-/(x) + c B・xf\x) + c
D. (x + l)/'(x) + c
答案:A
(4)下列定积分中积分值为0的是( )
+「"2- dv
B .
D+ sinx)dx
答案:A
答案:A
(6)下列无穷积分收敛的是(
答案：D
3.计算题
(1) j(2x-l)l0ck
解:j(2A-l),0(lv = lj(2x-l),0d(2v-l) = J ?(2x-l),,+c
・1
sin — ⑵(7工 J x 2
・1 SU1- ] ] 1 解 :f ——= -fsin —d — = cos — + c J x"
J xx x
(3) j^dv = 2j= 2e^ + c
(4) j'n ~e 3(4 + e')2dr 解：]:‘J(4 + J)2d_¥ =『2 (4 + e v )2d(4 + e r )
1 v q|ln
2 1
. 1
飞(4 + e )L =^(216-125) = 30-
3 1 e i 7 —J
4 (1 4-
5 hi xyl (1 + 5 In x) = —(1 + 5 In x)2 = — (36-1)=—
⑸设/⑴是连续的奇函数
A . 0
B .
C f(x)dx C . J-n 则定积分£/(X )d.V=() £/(x)d.r
D . 2^ f(x)dx
解：j^2xsin.vdx = -xcosx|J + j^cosxdx = sin A |J = 1
综合练习题5 (积分应用部分)
1 •填空题
方程是 ______ ・ 答案：y = 2A /X +1
(2) _________________________________________________ 由定积分的几何意义知，［側一&二 __________________________________________ . 答案：
(3) _________________________________________ 微分方程V = y, y(0) = 1的特解为 •
答案：y = J
⑷微分方程y' + 3y = 0的通解为 __________• 答案：y = ce-3t
⑸微分方程(y*)3+4xy <4)=y 7sinx 的阶数为 ______________ • 答案：4 2.单项选择题
(1)在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点(1, 4)的曲线为() A . y = Y + 3
B . y = Y + 4
C . y = x 2+2
D . y = x 2 +\
答案:A
(2)下列微分方程中，( :)是线性微分方程•
A . yx 2 + Iny = y r
B . y f y + xy 2 = e v
C . / + = e v
D . y n sin x - y f c x = y In x
答案：D
(1)已知曲线y = fM 在任意点x 处切线的斜率为 眉，且曲线过(4,5),则该曲线的
⑶微分方程y = 0的通解为（）
A . y = Cx
B . y = x +
C C . y = C 答案：C
（4）下列微分方程中为可分离变量方程的是（）
A・— = x+y；
C・—=xy + sin x；答案：B B.D = xy + y /
= x(y + x)。