2021_2022学年高中数学第1章常用逻辑用语1.1.1四种命题(不作要求)1.1.2充分条件和必

1.1.1 四种命题(不作要求) 1.1.2 充分条件和必要条件
学习目标核心素养
1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件和充要条件的意
义．(重点)
2．结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．(重点、难点)
3．培养辩证思维能力.通过充要条件的学习，培养逻辑推理素养.
1．符号⇒与的含义
命题真假“假设p那么q〞为真“假设p那么q〞为假
表示方法p⇒q p q
读法p推出q p不能推出q
2.充分、必要条件的含义
条件关系含义
p是q的充分条件
(q是p的必要条件)
p⇒q
p是q的充要条件p⇔q
p是q的充分不必要条件p⇒q，且q p
p是q的必要不充分条件p q，且q⇒p
p是q的既不充分又不必要条件p q，且q p 思考：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否一样？
(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
[提示] (1)一样，都是p⇒q(2)等价
1．“x>2”是“x2－3x＋2>0”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A[由x2－3x＋2>0得x>2或x<1，应选A.]
2．对于任意的实数a，b，c，在以下命题中，真命题是( )
A．“ac＞bc〞是“a＞b〞的必要条件
B．“ac＝bc〞是“a＝b〞的必要条件
C．“ac＜bc〞是“a＜b〞的充分条件
D．“ac＝bc〞是“a＝b〞的充分条件
B[假设a＝b，那么ac＝bc；假设ac＝bc，那么a不一定等于b，故“ac＝bc〞是“a ＝b〞的必要条件．]
3．设a，b是实数，那么“a＋b＞0”是“ab＞0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
D[此题采用特殊值法：当a＝3，b＝－1时，a＋b＞0，但ab＜0，故不是充分条件；当a＝－3，b＝－1时，ab＞0，但a＋b＜0，故不是必要条件．所以“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分又不必要条件．]
4．用“充分不必要〞、“必要不充分〞、“充要〞和“既不充分也不必要〞填空．
(1)“a2＋b2＝0”是“a＝b＝0”的________条件．
(2)两个三角形全等是这两个三角形相似的________条件．
(3)“a2>0”是“a>0”的________条件．
(4)“sin α>sin β〞是“α>β〞的________条件．
(1)充要(2)充分不必要(3)必要不充分(4)既不充分也不必要[(1)a2＋b2＝0成立时，当且仅当a＝b＝0.故应填“充要〞．
(2)因为两个三角形全等⇒两个三角形相似，但两个三角形相似D两个三角形全等，所以填“充分不必要〞．
(3)因为a2＞0a＞0，如(－2)2＞0，但－2＞0不成立；又a＞0⇒a2＞0，所以“a2＞0”是“a＞0”的必要不充分条件．
(4)因为y＝sin x在不同区间的单调性是不同的，故“sin α>sin β〞是“α>β〞的既不充分也不必要条件．]
充分条件、必要条件、充要条件的判断
件〞“充分必要条件〞“既不充分也不必要条件〞中选出一种作答)．
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；
(2)对于实数x ，y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6； (3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3； (4)p ：a ＜b ，q ：a
b
＜1.
[思路探究] 判断p ⇒q 与q ⇒p 是否成立，当p 、q 是否认形式， 可判断綈q 是綈p 的什么条件．
[解] (1)在△ABC 中，显然有∠A >∠B ⇔BC >AC ，所以p 是q 的充分必要条件． (2)因为x ＝2且y ＝6⇒x ＋y ＝8，即綈q ⇒綈p ，但綈p ⇒綈q ，所 以p 是q 的充分不必要条件．
(3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此，p 是q 的必要不充分条件．
(4)由于a ＜b ，当b ＜0时，a b
＞1；
当b ＞0时，a b ＜1，故假设a ＜b ，不一定有a b
＜1； 当a ＞0，b ＞0，a b ＜1时，可以推出a ＜b ； 当a ＜0，b ＜0，a b
＜1时，可以推出a ＞b . 因此p 是q 的既不充分也不必要条件．
充分条件与必要条件的判断方法
1．定义法
2．等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题． 3．逆否法：这是等价法的一种特殊情况．
假设綈p ⇒綈q ，那么p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件； 假设綈p ⇒綈q ，且綈q
綈p ，那么p 是q 的必要不充分条件；
假设綈p ⇔綈q ，那么p 与q 互为充要条件； 假设綈p
綈q ，且綈q
綈p ，那么p 是q 的既不充分也不必要条件．
1．(1)设a ，b 是实数，那么“a >b 〞是“a 2
>b 2
”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
D [令a ＝1，b ＝－1，满足a >b ，但不满足a 2
>b 2
，即“a >b 〞不能推出“a 2
>b 2
”；再令a ＝－1，b ＝0，满足a 2
>b 2
，但不满足a >b ，即“a 2
>b 2
”不能推出“a >b 〞，所以“a >b 〞是“a 2
>b 2
”的既不充分也不必要条件．]
(2)对于二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，以下结论正确的选项是( ) ①Δ＝b 2
－4ac ≥0是函数f (x )有零点的充要条件； ②Δ＝b 2－4ac ＝0是函数f (x )有零点的充分条件； ③Δ＝b 2－4ac >0是函数f (x )有零点的必要条件； ④Δ＝b 2－4ac <0是函数f (x )没有零点的充要条件． A ．①④ B ．①②③ C ．①②③④
D ．①②④
D [①Δ＝b 2
－4ac ≥0⇔方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根⇔f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)有零点，故①正确．
②假设Δ＝b 2
－4ac ＝0，那么方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，因此函数f (x )＝ax 2
＋
bx ＋c (a ≠0)有零点，故②正确．
③函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)有零点时，方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，未必有Δ＝b 2
－4ac >0，也可能有Δ＝0，故③错误．
④Δ＝b 2
－4ac <0⇔方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根⇔函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)无零点，故④正确．]
充要条件的探求与证明
(1)“x 2－4x <0”的一个充分不必要条件为( )
A ．0<x <4
B ．0<x <2
C ．x >0
D ．x <4
(2)x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1
y
的充要条件是xy >0.
[思路探究] (1)先解不等式x 2
－4x <0得到充要条件，那么充分不必要条件应是不等式
x 2－4x <0的解集的子集．
(2)充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的(⇔)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔〞写出证明．
[解析] (1)由x 2
－4x <0得0<x <4，那么充分不必要条件是集合{x |0<x <4}的子集，应选B.
[答案] B
(2)法一：充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y
xy
， 即1x <1y
.
必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －x
xy
<0.
因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1
y
的充要条件是xy >0.
法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －x xy
<0.
由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －x
xy
<0⇔xy >0. 所以1x <1
y
⇔xy >0，
即1x <1
y
的充要条件是xy >0.
1．探求充要条件一般有两种方法：
(1)探求A 成立的充要条件时，先将A 视为条件，并由A 推导结论(设为B )，再证明B 是
A 的充分条件，这样就能说明A 成立的充要条件是
B ，即从充分性和必要性两方面说明．
(2)将原命题进展等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．
2．充要条件的证明
(1)证明p 是q 的充要条件，既要证明命题“p ⇒q 〞为真，又要证明“q ⇒p 〞为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．
(2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p 是q 的充要条件〞与“p 的充要条件是q 〞这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．
2．(1)不等式x (x －2)<0成立的一个必要不充分条件是( ) A ．x ∈(0,2) B ．x ∈[－1，＋∞) C ．x ∈(0,1)
D ．x ∈(1,3)
B[由x(x－2)<0得0<x<2，因为(0,2)[－1，＋∞)，所以“x∈[－1，＋∞)〞是“不等式x(x－2)<0成立〞的一个必要不充分条件．]
(2)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[证明] 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0.
①证明p⇒q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
②证明q⇒p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
充分、必要条件的应用[探究问题]
1．假设集合A B，那么“x∈A〞是“x∈B〞的什么条件？“x∈B〞是“x∈A〞的什么条件？
[提示] 因为A B，所以x∈A成立时，一定有x∈B，反之不一定成立，所以“x∈A〞是“x∈B〞的充分不必要条件，而“x∈B〞是“x∈A〞的必要不充分条件．2．对于集合A和B，在什么情况下，“x∈A〞是“x∈B〞的既不充分也不必要条件？
[提示] 当A B且B A时，“x∈A〞是“x∈B〞的既不充分也不必要条件．
3．集合A＝{x|x≥a}，B＝{x|x≥2}．假设A是B的充要条件，实数a的值确定吗，假设集合A是B的充分不必要条件？实数a的值确定吗？
[提示] 当A是B的充要条件时，A＝B，这时a的值是确定的，即a＝2；当A是B的充分不必要条件时，A B，这时a的值不确定，实数a的取值范围是(2，＋∞)．【例3】p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要条件，那么实数m的取值范围为________．
[思路探究] p是q的充分
不必要条件
→
p代表的集合是q代
表的集合的真子集
→
列不等式
组求解
{m|m≥9}(或[9，＋∞))[由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p 是q 的充分不必要条件，所以p ⇒q 且qD p .
即{x |－2≤x ≤10}是{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}的真子集，
所以⎩⎪⎨⎪
⎧
m >0，1－m <－2，
1＋m ≥10
或⎩⎪⎨⎪
⎧
1－m ≤－2，m >0，1＋m >10，
解得m ≥9.
所以实数m 的取值范围为{m |m ≥9}．]
1．本例中“p 是q 的充分不必要条件〞改为“p 是q 的必要不充分条件〞，其他条件不变，试求m 的取值范围．
[解] 由x 2
－8x －20≤0得－2≤x ≤10，由x 2
－2x ＋1－m 2
≤0(m >0)得1－m ≤x ≤1＋m (m >0) 因为p 是q 的必要不充分条件，所以q ⇒p ，且p q .
那么{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}
{x |－2≤x ≤10}
所以⎩⎪⎨⎪
⎧
m >01－m ≥－2
1＋m ≤10
，解得0<m ≤3.
即m 的取值范围是(0,3]．
2．假设本例题改为：P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P 〞是“x ∈Q 〞的必要条件，求实数a 的取值范围．
[解] 因为“x ∈P 〞是x ∈Q 的必要条件，所以Q ⊆P .
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －4≤1a ＋4≥3解得－1≤a ≤5
即a 的取值范围是[－1,5]．
利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围
1．化简p 、q 两命题，
2．根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系， 3．利用集合间的关系建立不等关系， 4．求解参数范围．
1．充分条件、必要条件的判断方法： (1)定义法：直接利用定义进展判断．
(2)等价法：利用逆否命题的等价性判断，即要证p ⇒q ，只需证
它的逆否命题綈q⇒綈p即可；同理要证q⇒p，只需证綈p⇒綈q即
可．
(3)利用集合间的包含关系进展判断．
2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进展求解．
1．判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)
(1)如果p是q的充分条件，那么命题“假设p那么q〞为真．( )
(2)命题“假设p那么q〞为假，记作“q⇒p〞．( )
(3)假设p是q的充分条件，那么p是唯一的．( )
(4)假设“p q〞，那么q不是p的充分条件，p不是q的必要条件．( )
[答案] (1)√(2)×(3)×(4)×
2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，那么当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x －5＝0时，x＝5不一定成立，应选B.]
3．假设“x＜m〞是“(x－1)(x－2)＞0”的充分不必要条件，那么m的取值范围是________．
(－∞，1] [由(x－1)(x－2)＞0可得x＞2或x＜1，
由条件，知{x|x＜m}{x|x＞2或x＜1}，
∴m≤1.]
4．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实数根的充要条件是m≥2.
[证明] (1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2，
由根与系数的关系知，x1·x2＝1>0，所以x1，x2同号．
又x1＋x2＝－m≤－2<0，所以x1，x2同为负数．
即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2.
(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根，设其为x1，x2，且x1x2＝1，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
Δ＝m 2
－4≥0，x 1＋x 2＝－m <0，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ≥2或m ≤－2，
m >0，
所以m ≥2，即x 2
＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件是m ≥2. 综上可知，m ≥2是x 2
＋mx ＋1＝0有两个负实根的充分必要条件．。