高三数学多面体与旋转体 练习题

多面体与旋转体练习题
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 一个长方体共一个顶点的三个面的面积分别为236
，，，这个长方体对角线的长是（）
A. 23
B. 32
C. 6
D. 6
2. 设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，则此棱锥的体积为（）
A. 63
B. 23
C. 3
D. 2
3. 圆锥轴截面顶角为α，那么它的侧面展开图扇形的圆心角为（）
A. πα
sin B. 2πα
sin C. π
α
sin
2
D. 2
2
π
α
sin
4. 已知圆台上、下底面半径分别为1，2，侧面积等于上、下底面积的和，那么该圆台的高为（）
A. 3
4
B.
4
3
C.
4
3
π
D.
3
4
5. 将一张圆形纸片沿其两条半径剪开，得到两个扇形，它们的圆心角的比为1:2，再将这两个扇形卷成两个圆锥筒（不计损耗和接缝用料），那么这两个圆锥筒的容积之比为
（）
A.
10
10
B.
40
5
C.
2
2
D.
1
2
6. 设O是矩形ABCD的边CD上一点，以直线CD为轴旋转这个矩形所得圆柱
的体积为V，其中以OA为母线的圆锥的体积为V
4
，则以OB为母线的圆锥的体
积等于（）
A. V
4
B.
V
9
C.
V
12
D.
V
15
B C
O
A D
7. 若一个正方体所有顶点都在一个球面上，则该球与正方体的体积之比为（）
A.
223π B. 3π C. 32π D. 2
3
π 8. 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面高度为6cm ，若
将这些水倒入轴截面是正三角形的侧圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ） A. 63cm B. 6cm C. 2183cm D. 3123cm
9. 已知长方体的对角线长为2cm ，则长方体全面积的最大值是（ ） A. 82cm B. 42cm C. 222cm D.
22cm
10. 球面上三点，任意两点的球面距离都等于此球大圆周长的1
4
，若经过这三点的小圆面积为2π，则该球的体积为（ ）
A.
3π B. 43π C. 83π D.
32
π 11. 把边长为1的正方形ABCD 沿其对角线AC 折起，使二面角B AC D ——为60︒，那么三棱锥D ABC —的体积为（ ） A. 6 B.
63 C. 68 D. 624
12. 母线长为l 的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于（ ）
A.
26
3
π B. 2π C.
23
3
π D. 223π
二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上。

13. 正四棱锥底面边长为3，体积为93
2
，则它的侧面与底面所成角的大小为
_______。

14. 半径为10cm 的球内有二个平行截面，其面积分别为366422ππcm cm 和，那么这两个平行截面之间的距离为____________。

15. 把一个大金属球表面涂漆，共需油漆24.kg 。

若把这个大金属球熔化，制成64个大小都相同的小金属球，不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆_________kg 。

16. 圆台的母线与底面成45︒角，侧面积为32π，则它的轴截面面积为___________。

三. 解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分）
如图，S —ABCD 是正四棱锥，高SO =26，相邻两侧面所成角为α，且tg α2233
=，求 （I ）侧棱与底面所成角的大小；
（II ）侧棱和底面边长。

C
18. （本小题满分12分）
斜三棱柱ABC A B C —111的底面是边长为a 的正三角形，侧棱长为2a ，侧棱AA 1与底面两边AB AC 、所成的角都是60︒。

求这斜三棱柱的侧面积。

19. （本小题满分12分）
设SA SB 、是圆锥SO 的两条母线，O 是底面圆心，底面积为100π，C 是SB 中点，AC 与底面所成角为4560︒∠=︒，AOB 。

求这圆锥的体积。

20. （本小题满分12分） 在三棱锥P ABC —中，PA BC PA BC m PA ⊥==，，和BC 的公垂线段ED h =（如图）。

求三棱锥P ABC —的体积。

21. （本小题满分12分）
圆台的侧面积为1442πcm ，它的侧面展开图为半圆环，圆台的上、下底面半径之比为1:3，求这圆台的体积。

22. （本小题满分14分）
如图，ABCD 是矩形，AB AD a E ==22，是CD 中点。

以AE 为棱，将∆DAE 向上折起，将D 变到D '位置，使面D AE ABCE '⊥面。

C
（I ）求直线D B '与平面ABCE 所成角的正切值；
（II ）求证：AD BE '⊥；
（III ）求四棱锥D ABCE '—的体积。

试题答案： 一. 选择题：
1. D
2. C
3. D
4. B
提示：设圆台母线长为l 则ππ()()1214+=+l
故l =5
3
5. A
提示：两个扇形的圆心角分别为
2343ππ和 故两圆锥底面圆半径分别为132
3
，（其中设圆形纸片半径为1）
于是V V 1222131192314
9
1010---=()()。

6. C
提示：如图并依题意有1314
2
1
2
12ππa h a h h ()+= 故h
h 12
3=
∴=V V 2131
4
()
B C V 2 h 2 O
14V
h 1
A a D
7. C
提示：设球半径为R ，正方体棱长为a 则()()22222a a R +=
即32a R =
其体积比=4333
πR a 8. B
提示：利用水的体积相等，设水面高度为h
则1332622ππ()h
h =⋅⋅，求h
9. A
提示：设长方体过同一顶点的三条棱长为a b c 、、
则a b c 2224++=
S ab ac bc a b a c b c a b c 全=++≤+++++=++=228222222222()() 当且仅当a b c ==时取等号。

10. B
提示：设球半径为R
由已知可得，以球心为顶点，球面上三点组成的三角形为底面的三棱锥中，
侧面顶角都为π
2
故球面上三点中，任意两点间距离为2R 再由已知可得R =3
11. D
提示：取AC 中点O ，连结BO DO ， 则V V V D ABC C BOD A BOD ———=+
12. A
提示：设圆锥底面半径为r ，则其体积
V r l r r r l r l =-=⋅-≤⋅⋅2
πππ33122231213
22222222()
当且仅当r l r 22222=-
即r l =2
3
时，上式取等号 此时ϕπππ===2223
26
3l
二. 填空题： 13. 60︒
14. 214cm cm 或
提示：注意球心可在两平行平面之间，也可在两平行平面同侧。

15. 9.6
提示：设大、小球半径分别为R r 和
则由πππ
π364333R r =⋅
故r R =1
4
又单位面积用漆量为24
42
.πR
∴共用漆6441424
49622⋅⋅
=ππ()..R R 16. 3
提示：如图依题意有ππ()R r l +=32 又l h =2
∴+=ππ()R r h 232 即()R r h +=3
∴轴截面面积=+=+=1
2
223()()R r h R r h
三. 解答题：
17. （I ）作BF SC ⊥于F ，连结DF 由∆∆BCF DCF ≅ 得∠=∠BFC DFC 即DF SC ⊥
∴∠BFD 为两侧面所成二面角的平面角，为α，并且∠SCO 是侧棱与底面所成角，记作β，连结FO 由BF DF DO OB ==， 故FO BD ⊥
在Rt BOF Rt COF ∆∆和中，
tg
z
OB OF OC OF α
β
=
==
1
sin ∴==
s i n βαc t g 23
2
∴=︒β60
即侧棱与底面所成角为60︒
（II ）在Rt SOC ∆中，SO SCO =∠=︒2660，
∴侧棱SE SO
OC SOctg =
︒
==︒=sin 60426022， ∴底面边长=⋅=24OC
18. 由已知S S a a A AABB A ACC 1111260322==︒=sin
过A 1作A O ABC 1⊥面于O ，过O 作OD AB ⊥于D ，作OE AC ⊥于E ，连结A D A E 11，
故A D AB A E AC 11⊥⊥， ∴≅Rt A AD Rt A AE ∆∆11 于是A D A E 11=
从而OD OE =
∴AO 是∆ABC 中∠A 的平分线 又∆ABC 是正三角形 ∴⊥AO BC
故A A BC B B BC 11⊥⊥，
∴B B C C 11是矩形，S a B BCC 1122
=
∴所求侧面积=+=+232231222a a a ()
19. 如图，作CK OB ⊥于K SO OAB ⊥底面 ∴⊥面底面S B AOB O 从而CK AOB ⊥底面
连结AK AC CAK ，，∠为AC 与底面所成二面角的平面角
即∠=︒==CAK CK AK CK SO 451
2
，，
又底面积为100π
故底面半径为10
在∆OAK 中，可求得AK =53 故SO =103
∴=⋅⋅=V 圆锥13100103100033
ππ
20. PA BC BC DE ED PA E ⊥⊥=，，
∴⊥∴=+=
+=⋅==BC PAD
V V V S CD DB S BC mh m m h P ABC C PAD B PAD
PAD PAD 平面———1
313131
2162∆∆()()
21. 设圆台上、下底面半径分别为r R ，，母线长为l ，高为h
则ππππ
()R r l R r
l
R r +=-⋅==⎧
⎨⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪144213 解得r R l ===3912，，
∴=∴=
⋅++⋅=h V cm 633
6393392343223
圆台π
π()()
22. （I ）作D O AE '⊥于O ，连结BO 由面D AE ABCE '⊥面 故D O ABCE '⊥面
∴∠D BO '是D B '与面ABCE 所成角 D A D E a ==，O 是AE 中点
故D O a AO '==2
2
在∆ABO 中，可求得BO a =10
2
∴∠==
tg D BO D O OB ''5
5
（II ）在矩形ABCD 中，连结BE 由∠=∠=︒AED BEC 45 ∴∠=︒AEB 90 即BE AE ⊥
由（I ），D O ABCE '⊥面 故D O BE '⊥ ∴⊥BE AD E 面' 又AD AD E ''⊂面 ∴⊥AD BE '
（III ）S a a a a ABCE =
+=122322() ∴==V S D O a D A B C E A B C E
''—，1324
3。