第2章连续时间信号与系统的时域分析

解:根据微分算子与积分算子的定义，上式可 表示为 还可以将上式改写为
5
2.1系统微分方程的建立及算子表示
例 利用广义微分算子与广义积分算子来表示 下面的微分方程。
解：由广义微分算子与广义积分算子可写微 分方程的算子方程如下
其中
6
微分方程的算子形式
dn dt n
yt a1
d n1 dt n1
yt ... an1
即
首先求出特征方程
的n个根λ1，λ2 ，…，λn 。然后将式(2-20)改
写为
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1.当 D( p) 0 的根(特征根)为n个单根(不 论实根、虚根、复数根)p1， p2， …， pn时 ，则yx(t)的通解表达式为
yx (t) A1e p1t A2e p2t Ane pnt
29
2.λ1是一个k重根，即
态为零时的解。
42
2.3.2 系统的单位冲激响应
1、定义：输入为单位冲激信号δ(t)的零状态 响应分量，称为系统的单位冲激响应，简称冲
激响应，记为：h(t)。是方程h(t)=H(p) δ (t)在
初始状态为零时的解。 h(t)由系统唯一确定
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(t)
h(t)
(1)
(t)
LTI系统
h(t)
0
t
13
电感和电容的算子表示
电感
L t
L
d dt
iL
t
LpiL
t
Lp 电感算子符号，理解为电感的感抗值
电容
C
t
1 C
t
iC d
1 Cp
iC
t
1 电容算子符号，理解为电容的容抗值
Cp
14
Lp p
R
L
iL
5 1H
et
i t
1F 6
C
1 6
Cp p
5
p
6 p
it
et
p2it 5 pit 6it pet
定yx(t)。
例2-5 某系统输入/输出微分算子方程为
己知初始条件yx(0)= 3，y’x(0)= 6，求系统的 零输入响应yx(t)。
26
解：由题意知 因为
所以 把yx(0)= 3，y’x(0)= 6，代入上式可得 所以系统的零输入响应为
27
2.2.2 yx(t)的求法
n阶齐次方程的解 上述二阶方程的解，可以推广至n阶方程
t (t)
k kelte(t) p-l
k ktelte(t)
( p - l)2
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冲激响应
转移算子求解法
简单系统1
H ( p) = y(t) = K
f (t) p - l
h(t) Ke t (t)
y' (t) y(t) Kf (t)
y
' f
(t)
y
f
(t)
Kf
(t)
h' (t) h(t) K (t)
对于等式px =py，双方的算子p一般也不好消
去。
以上讨论说明，代数量的运算规则对于算子 符号一般也可以用，只是在分子分母中或在 等式两边中的算子符号不能随便消去。
12
2.1系统微分方程的建立及算子表示
3.算子方程组的消元 为了要从一个n阶电路的n元一次算子方程组 得到一个形式为
的一元n阶算子方程，必须将原方程组中除响 应变量.y(t)以外的其他未知量系统消去。在掌 握了算子的运算规则之后，就可以较为方便 地做到这一点。
是一种把输入与响应联系起来的系统数学模 型的简洁表示，即
34
因此，只要知道H(p)，就可以从它的分母D(p)
求出系统的特征根，亦即H(p)的极点λ1，…，
λn ，从而写出系统的零输入响应的一般式
再根据初始状态，求出待定系数Cj,j=1～n， 最后确定yx(t).
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例2-7 己知系统微分方程为
初始状态
设 D( p) ( p 1) ( p 1)( p n ) 其中1是重根， 1,, n均为单根。
n
则： yx (t) (c1 c2t c t 1)e1t c je jt j 1
t0
其中，待定系数可由初始状态
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例2-6 己知系统的方程为
初始状态为，
，
求系统的零输入响应yx(t)。
5
d dt
i2
t
3 2
i2
t
1 2
d dt
et
17
2.2 零输入响应yx(t)
2.2.1 yx(t)的定义 2.2.2 yx(t)的求法 2.2.3 系统的自然模式
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18
2.2.1 yx(t)的定义
系统在无外加激励作用下，仅由系统的初始 状态所引起的响应称为系统的零输入响应， 记为yx(t)。系统的零输入响应完全由系统的结 构与状态决定，而与激励信号无关。
f (t) ( p - l) 2
h(t) K te t (t)
系统冲激响应h(t)满足的算子方程为
( p )( p )h(t) K (t)
( p )h1(t) K (t) h1(t) ( p )h(t) Ke t (t)
h '(t) h(t) Ket (t)
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第三步，将所有yxi(t) （i=1,2，….l)相 加，得到系统的零输入响应，即
第四步，根据给定的零输入响应初始条件
确定常数
（i=1,2，….l)
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2.2.3 系统的自然模式
1.系统零输入响应是由指数函数项组成 eit或ti1eit λi 是系统特征方程D(P)=0的特征根。每一个特 征根λi在响应中对应的指数项称为响应的一个模 式或自然模式。
eth' (t) eth(t) ket (t) d [eth(t)] ket (t)
dt 两边从0- 到t 取定积分：
eth(t) h(0 ) k t e ( ) d k (t) 0 h(t) ket (t) 47
冲激响应
转移算子求解法
简单系统 2
H (p) = y(t) = K
d dt
yt an yt
dm b0 dt m
d m1
f t b1 dt m1
f
t
...
bm 1
d dt
f t bm f t
算子方程
pn yt a1 pn1 yt ... an1 pyt an yt b0 pm f t b1 pm1 f t ... bm1 pf t bm f t
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2.3 零状态响应yf(t)
2.3.1 零状态响应的定义 2.3.2 系统的单位冲激响应 2.3.3 系统的单位阶跃响应 2.3.4 yf(t)的求法
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2.3.1 零状态响应的定义
系统在输入信号的单独作用下（初始状态为 零）产生的响应分量，称为系统的零状态响应
分量，记为yf(t)。是方程yf(t)=H(p)f(t)在初始状
2
2.1系统微分方程的建立及算子表示
2.1.1系统方程的算子表示法
如上面所示，描写线性系统的激励函数和响应函数
间关系的微分方程形式看起来很复杂，为了方便起见，
把微分算子用符号p来代表，如令
，通过引入
算子符号，可以把微积分方程在形式上变成代数方程。
它的优点一是简化方程的列写(特别是联立方程消元)，
一是通过引入系统转移算子H(p)的概念，便于形成系
像代数式那样相乘和因式分解。 特殊情况：
10
2.1系统微分方程的建立及算子表示
特殊一： 这里也像代数式中一样，分子分母中的p
可以消去。但是
这里除非x(-∞) = 0，否则分母和分子中的p 就不能消去。这表明在一般情况下，有
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2.1系统微分方程的建立及算子表示
特殊二： 若将式
两边积分，可得
（ c为积分常数）
2.系统零输入响应中各项的模式，定义为系统 的自然模式。系统的自然模式由系统唯一确定。
3.如果H(P)有n个特征根，零输入响应yx(t)中就 有n个模式。对于同一个系统，不同的响应信号 与激励f(t)之间的转移算子一般具有相同的分母， 即D(P)。因此，同一系统中不同响应变量的零 输入响应具有相同的模式，不同的只是各指数 项的系统。
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pn yt a1 pn1 yt ... an1 pyt an yt b0 pm f t b1 pm1 f t ... bm1 pf t bm f t
N p
y t
b0 pm b1 pm1 ... bm1 p bm pn a1 pn1 ... an1 p an
31
解:令f (t) = 0，得齐次方程 将D(p)作因式分解得
32
可见，系统的特征根λ1=-1是单根，而λ2=-3是 一个二重根，据此可写出yx(t)为 将初始状态代入上式得
解之得 因此，系统的零输入响应为
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2.2.3由转移算子H(p)求系统的零输入响应 从以上的讨论可以看出，只要己知系统的特 征多项式D(p)及初始状态，就可以求出系统的 零输入响应。因此，知道系统的转移算子H(p) 和初始状态，也就可以直接求出yx(t) 前面己指出，转移算子
不难看出，λ1与λ2是特征方程D(p)=0的两个特 征根 由此可以得到满足上述方程的两个一阶方程
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它们的解分别为
其中，C1,C2为待定系数。显然，yx1(t)与yx2(t) 都是解，且彼此线性无关，因此零输入响应 的计算通式为
如果给定初始状态为
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将这些条件代入式(2-19)及其微分式可得
解之，可得Cl与C2的具体数值，从而最后确
统分析的统一的方法。
先引入算子的定义，再由定义导出其“运算”规则， 最后介绍如何用算子法列写微分方程。
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微分算 子
算子符号
p d dt
px dx , dt
pn
dn dt n
,
pn x
dnx dt n
积分算 子
1 t d
p
1 x
t
xd
p
4
2.1系统微分方程的建立及算子表示
例 用算子法表示下面的微分方程。
在式(2-8)中令f (t) = 0，得到齐次方程
yx(t)就是齐次方程(2-11)的解。
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其中，D(p)称为系统的特征多项式，方程D(p) =0叫做系统的特征方程，特征方程的根称系统 的特征根。 先来讨论比较简单的一阶、二阶齐次方程的 情况，然后推广至n阶方程。
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一阶与二阶齐次方程的解 一阶齐次方程的一般形式为 即
,
计算零输入响应。
解:用算子表示原微分方程，得转移算子
容易看出，转移算子的极点为λ1=-2, λ2=-3。从 而可以直接写出y(t)的零输入响应为
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将初始状态 得
解之得 将C1与C2代入yx(t)得
代入上式
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2.2.4 算子法求解yx(t)的步骤 第一步，将D(p)进行因式分解，即
其中， λi和ri分别是系统特征方程的第i个 根及其相应的重根阶数。 第二步，求出第i个根λi对应的零输入响应 yxi(t) ，即
通过分离变量，上式可改写为
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对两边积分得
其中，k是积分常数。从而可得
其中，C=ek是待定系数，由系统的初始条件 决定。例如，将初始状态yx(o)代入式(2-14)即 可得
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从而得到一阶齐次方程的解为 二阶齐次方程的一般形式为
其中，a,b是常数。其算子方程为
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将上式中的D(p)作因式分解 从而将式(2-16)改写为
t p
pi2 t 3i2 t
e
t
0
利用克莱姆法则， 解出:
3 p 1 et
i2t
p 3p1
0 p
pet
2 p2 10 p 3
1 2
p2
5
p p
3
/
2
et
Hale Waihona Puke p p3系统函数为：H p
2
p2
p 5p
3/2
p2
5p
3 2
i2 t
1 2
pet
微分方程为： d 2
dt 2
i2
t
ft
yt
N p D p
f t
yt H p f t
D p H p
8
2.1系统微分方程的建立及算子表示
例2-3 求下面微分方程的转移算子H(p)
解：可将上述方程改写为
根据转移算子的定义，上式可进一步表示为
也即
9
2.1系统微分方程的建立及算子表示
2.算子的运算规则 （1）由P的多项式所组成的运算符号可以
d2 dt 2
it
5
d dt
it
6it
d dt
et
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例题
如下图所示电路，et 为激励信号，响应为 i2t ，
用算子法求其算子方程、传输算子以及微分方程。
1 2H
et
i1 t 1H
1
1 2 p
i2 t
2 et
i1 t p
1
i2 t
2
16
1 2 p
et
i1 t p
1
i2 t
2
3
p 1i1 pi1 t
0
t
图2-1 冲激响应示意图
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冲激响应的求法 ❖ 转移算子法 ❖ 直接求解法
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冲激响应
转移算子求解法
2、一些简单系统的h(t)
H ( p) h(t) H ( p) (t)
pn (n) (t)(n为正整数)
1 (t)
1 p3
1 t 2 (t)
2
1 p n 1
1 tn (t)
n!
p
1 p2
第2章 连续时间信号与系统的时域分析
2.1 系统微分方程的建立及算子表示 2.2 零输入响应 2.3 零状态响应 2.4 卷积积分 2.5 LTI连续时间系统时域分析举例
1
LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并 求解线性微分方程。
由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间 t，故称为时域分析法。这种方法比较直观 ，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法 的基础。