天津市河西区市级名校2024届中考数学模拟精编试卷含解析

天津市河西区市级名校2024学年中考数学模拟精编试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积是( )
A ．6π
B ．3π
C ．2π-12
D ．12
2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点C ，B ，E 在y 轴上，Rt △ABC 经过变化得到Rt △EDO ，若点B 的坐标为（0，1），OD ＝2，则这种变化可以是（ ）
A ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移5个单位长度
B ．△AB
C 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移5个单位长度
C ．△ABC 绕点O 顺时针旋转90°，再向左平移3个单位长度
D ．△ABC 绕点O 逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度
3．若关于x 的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a 的值为（ ）
A ．1-
B ．1
C ．22-或
D ．31-或
4．若数a 使关于x 的不等式组()3x a 2x 11x 2x 2⎧-≥--⎪⎨--≥⎪⎩
有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y 的分式方程
y 51y --+3=a y 1
-有整数解，则满足条件的所有整数a 的个数是（ ） A ．5
B ．4
C ．3
D ．2 5．如图，直线与y 轴交于点（0，3）、与x 轴交于点（a ，0），当a 满足
时，k 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO 的周长是（ ）
A ．10
B ．14
C ．20
D ．22
7．四个有理数﹣1，2，0，﹣3，其中最小的是（ ）
A ．﹣1
B ．2
C ．0
D ．﹣3
8．二次函数ｙ＝（2x －1）2＋2的顶点的坐标是（ ）
A ．（1，2）
B ．（1，－2）
C ．（12，2）
D ．（－12
，－2） 9．如图数轴的A 、B 、C 三点所表示的数分别为a 、b 、c ．若|a ﹣b|＝3，|b ﹣c|＝5，且原点O 与A 、B 的距离分别为4、1，则关于O 的位置，下列叙述何者正确？（ ）
A ．在A 的左边
B ．介于A 、B 之间
C ．介于B 、C 之间
D ．在C 的右边
10．下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．若a 是方程2310x x -+=的解，计算：22331a a a a -+
+=______. 12．如图，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数y 1＝
1k x
(x ＞0)及y 2＝2k x (x ＞0)的图象分别交于点A ，B ，连接OA ，OB ，已知△OAB 的面积为2，则k 1－k 2＝________.
13．如图，直线y=3x 与双曲线y=
k x
交于A ，B 两点，OA=2，点C 在x 轴的正半轴上，若∠ACB=90°，则点C 的坐标为______．
14．用配方法将方程x 2+10x ﹣11＝0化成（x +m ）2＝n 的形式（m 、n 为常数），则m +n ＝_____．
15．鼓励科技创新、技术发明，北京市2012－2017年专利授权量如图所示．根据统计图中提供信息，预估2018年北京市专利授权量约______件，你的预估理由是______．
16．如图，折叠长方形纸片ABCD ，先折出对角线BD ，再将AD 折叠到BD 上，得到折痕DE ，点A 的对应点是点F ，若AB =8，BC =6，则AE 的长为_____．
17．A 、B 两地之间为直线距离且相距600千米，甲开车从A 地出发前往B 地，乙骑自行车从B 地出发前往A 地，已知乙比甲晚出发1小时，两车均匀速行驶，当甲到达B 地后立即原路原速返回，在返回途中再次与乙相遇后两车都停止，如图是甲、乙两人之间的距离s （千类）与甲出发的时间t （小时）之间的图象，则当甲第二次与乙相遇时，乙离B 地的距离为_____千米．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）如图，直线y ＝﹣x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．抛物线y ＝﹣12x 2+bx +c 经过A ，B 两点，与x 轴的另外一个交点为C 填空：b ＝ ，c ＝ ，点C 的坐标为 ．如图1，若点P 是第一象限抛物线上的点，连接OP 交直线AB 于点Q ，设点P 的横坐标为m ．PQ 与OQ 的比值为y ，求y 与m 的数学关系式，并求出PQ 与OQ 的比值的最大值．如图2，若点P 是第四象限的抛物线上的一点．连接PB 与AP ，当∠PBA +∠CBO ＝45°时．求△PBA 的面积．
19．（5分）如图，已知抛物线21322
y x x n =
--（n ＞0）与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴交于点C 。

（1）如图1，若△ABC 为直角三角形，求n 的值；
（2）如图1，在（1）的条件下，点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的对称轴上，若以BC 为边，以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点的坐标；
（3）如图2，过点A 作直线BC 的平行线交抛物线于另一点D ，交y 轴交于点E ，若AE:ED ＝1:4，求n 的值.
20．（8分）某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其进价和售价如下表： 商品名称
甲 乙 进价(元/件)
40 90 售价(元/件) 60 120
设其中甲种商品购进x 件，商场售完这100件商品的总利润为y 元．写出y 关于x 的函数关系式；该商场计划最多投入8000元用于购买这两种商品，
①至少要购进多少件甲商品？
②若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？
21．（10分）如图，在Rt 中，，分别以点A 、C 为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，连结MN ，与AC 、BC 分别交于点D 、E ，连结AE ．
（1）求；（直接写出结果）
（2）当AB=3，AC=5时，求
的周长．
22．（10分）已知关于x ，y 的二元一次方程组2213ax by a x b y ab +=⎧⎨-=+⎩的解为11x y =⎧⎨=-⎩
，求a 、b 的值． 23．（12分）如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,正方形OABC 的边长为2cm,点A 、C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上,抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A 、B 和D （4，）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动,同时点Q由点B出发,沿BC边以1cm/s的速度向点C 运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）．
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;
②当S取时，在抛物线上是否存在点R,使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由．
（3）在抛物线的对称轴上求点M,使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．
24．（14分）如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点A到航线l的距离为2km，点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A的正北方向的D处．
（1）求观测点B到航线l的距离；
（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）．
（参考数据：3，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、A
【解题分析】
先根据勾股定理得到S 扇形ABD ，由旋转的性质得到Rt △ADE ≌Rt △ACB ，于是S 阴影部分=S △ADE +S 扇形ABD -S △ABC =S 扇形ABD ．
【题目详解】
∵∠ACB=90°，AC=BC=1，
∴，
∴S 扇形ABD =2
30=3606
ππ⨯，
又∵Rt △ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，
∴Rt △ADE ≌Rt △ACB ，
∴S 阴影部分=S △ADE +S 扇形ABD −S △ABC =S 扇形ABD =
6
π， 故选A.
【题目点拨】
本题考查扇形面积计算，熟记扇形面积公式，采用作差法计算面积是解题的关键.
2、C
【解题分析】
Rt △ABC 通过变换得到Rt △ODE,应先旋转然后平移即可
【题目详解】
∵Rt △ABC 经过变化得到Rt △EDO ，点B 的坐标为（0，1），OD ＝2，
∴DO ＝BC ＝2，CO ＝3，
∴将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移3个单位长度，即可得到△DOE ；
或将△ABC 绕点O 顺时针旋转90°，再向左平移3个单位长度，即可得到△DOE ；
故选：C ．
【题目点拨】
本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移的知识，解题的关键在于利用旋转和平移的概念和性质求坐标的变化 3、A
【解题分析】
【分析】整理成一般式后，根据方程有两个相等的实数根，可得△=0，得到关于a 的方程，解方程即可得.
【题目详解】x(x+1)+ax=0，
x2+(a+1)x=0，
由方程有两个相等的实数根，可得△=（a+1）2-4×1×0=0，
解得：a1=a2=-1，
故选A.
【题目点拨】本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
4、D
【解题分析】
由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a的值即可．【题目详解】
不等式组整理得：
1
3
x a
x
≥-
⎧
⎨
≤
⎩
，
由不等式组有解且都是2x+6＞0，即x＞-3的解，得到-3＜a-1≤3，即-2＜a≤4，即a=-1，0，1，2，3，4，
分式方程去分母得：5-y+3y-3=a，即y=
2
2
a-
，
由分式方程有整数解，得到a=0，2，共2个，
故选：D．
【题目点拨】
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5、C
【解题分析】
解：把点（0，2）（a，0）代入，得b=2．则a=，
∵，
∴，
解得：k≥2．
故选C．
【题目点拨】
本题考查一次函数与一元一次不等式，属于综合题，难度不大．
6、B
【解题分析】
直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．【题目详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，
∵AC+BD=16，
∴AO+BO=8，
∴△ABO的周长是：1．
故选B．
【题目点拨】
平行四边形的性质掌握要熟练，找到等值代换即可求解．
7、D
【解题分析】
解：∵－1＜－1＜0＜2，∴最小的是－1．故选D．
8、C
【解题分析】
试题分析：二次函数ｙ＝（2ｘ－1）＋2即
2
1
22
2
y x
⎛⎫
=-+
⎪
⎝⎭
的顶点坐标为（，2）
考点：二次函数
点评：本题考查二次函数的顶点坐标，考生要掌握二次函数的顶点式与其顶点坐标的关系
9、C
【解题分析】
分析：由A、B、C三点表示的数之间的关系结合三点在数轴上的位置即可得出b=a+3，c=b+5，再根据原点O与A、B的距离分别为1、1，即可得出a=±1、b=±1，结合a、b、c间的关系即可求出a、b、c的值，由此即可得出结论．解析：∵|a﹣b|=3，|b﹣c|=5，
∴b=a+3，c=b+5，
∵原点O与A、B的距离分别为1、1，
∴a=±1，b=±1，
∵b=a+3，
∴a=﹣1，b=﹣1，
∵c=b+5，
∴c=1．
∴点O 介于B 、C 点之间．
故选C ．
点睛：本题考查了数值以及绝对值，解题的关键是确定a 、b 、c 的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数轴上点的位置关系分别找出各点代表的数是关键．
10、D
【解题分析】
解：①正方体的主视图与左视图都是正方形；
②球的主视图与左视图都是圆；
③圆锥主视图与左视图都是三角形；
④圆柱的主视图和左视图都是长方形；
故选D ．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、1
【解题分析】
根据一元二次方程的解的定义得a 2﹣3a +1=1，即a 2﹣3a =﹣1，再代入22331a a a a -+
+，然后利用整体思想进行计算即可．
【题目详解】
∵a 是方程x 2﹣3x +1=1的一根，
∴a 2﹣3a +1=1，即a 2﹣3a =﹣1，a 2+1=3a ∴2233=11=01
-+-++a a a a 故答案为1．
【题目点拨】
本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解．也考查了整体思想的运用．
12、2
【解题分析】
试题分析：∵反比例函数11k y x =（x ＞1）及22k y x =（x ＞1）的图象均在第一象限内， ∴1k ＞1，2k ＞1． ∵AP ⊥x 轴，∴S △OAP =112k ，S △OBP =212
k ， ∴S △OAB =S △OAP ﹣S △OBP =121()2k k -=2， 解得：12k k -=2．
故答案为2．
13、（2，0）
【解题分析】
根据直线y=3x 与双曲线y=
k x 交于A ，B 两点，OA=2，可得AB=2AO=4，再根据Rt △ABC 中，OC=12
AB=2，即可得到点C 的坐标
【题目详解】
如图所示，
∵直线3与双曲线y=
k x 交于A ，B 两点，OA=2， ∴AB=2AO=4，
又∵∠ACB=90°，
∴Rt △ABC 中，OC=12
AB=2， 又∵点C 在x 轴的正半轴上，
∴C （2，0），
故答案为（2，0）．
【题目点拨】
本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是利用直角三角形斜边上中线的性质得到OC 的长．
14、1
【解题分析】
方程常数项移到右边，两边加上25配方得到结果，求出m与n的值即可．
【题目详解】
解：∵x2+10x-11=0，
∴x2+10x=11，
则x2+10x+25=11+25，即（x+5）2=36，
∴m=5、n=36，
∴m+n=1，
故答案为1．
【题目点拨】
此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．15、113407，北京市近两年的专利授权量平均每年增加6458.5件.
【解题分析】
依据北京市近两年的专利授权量的增长速度,即可预估2018年北京市专利授权量. 【题目详解】
解：∵北京市近两年的专利授权量平均每年增加：10694894031
6458.5
2
-
=（件），
∴预估2018年北京市专利授权量约为106948＋6458.5≈113407（件），
故答案为：113407，北京市近两年的专利授权量平均每年增加6458.5件．
【题目点拨】
此题考查统计图的意义，解题的关键在于看懂图中数据.
16、3
【解题分析】
先利用勾股定理求出BD，再求出DF、BF，设AE=EF=x．在Rt△BEF中，由EB2=EF2+BF2，列出方程即可解决问题．
【题目详解】
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．
∵AB=8，AD=6，∴BD==1．
∵△DEF是由△DEA翻折得到，∴DF=AD=6，BF=2．设AE=EF=x．在Rt△BEF中，∵EB2=EF2+BF2，∴（8﹣x）2=x2+22，解得：x=3，∴AE=3．
故答案为：3．
【题目点拨】
本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识，解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
17、5003
【解题分析】
根据题意和函数图象可以分别求得甲乙的速度，从而可以得到当甲第二次与乙相遇时，乙离B 地的距离．
【题目详解】
设甲的速度为akm/h ，乙的速度为bkm/h ，
(51)()600{(65)(51)a a b a b
+-+=-=- ， 解得，100{25
a b ==， 设第二次甲追上乙的时间为m 小时，
100m ﹣25（m ﹣1）=600，
解得，m=233
， ∴当甲第二次与乙相遇时，乙离B 地的距离为：25×（
233-1）=5003千米， 故答案为5003
． 【题目点拨】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（3）3， 2，C （﹣2，4）；（2）y ＝﹣
18m 2+12m ，PQ 与OQ 的比值的最大值为12；（3）S △PBA ＝3． 【解题分析】
（3）通过一次函数解析式确定A 、B 两点坐标，直接利用待定系数法求解即可得到b ，c 的值，令y=4便可得C 点坐标．
（2）分别过P 、Q 两点向x 轴作垂线，通过PQ 与OQ 的比值为y 以及平行线分线段成比例，找到PQ ED OQ OD
=，设点
P 坐标为（m ，-12m 2+m+2），Q 点坐标（n ，-n+2），表示出ED 、OD 等长度即可得y 与m 、n 之间的关系，再次利用PE QD OE OD
=即可求解． （3）求得P 点坐标，利用图形割补法求解即可．
【题目详解】
（3）∵直线y ＝﹣x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．
∴A （2，4），B （4，2）．
又∵抛物线过B （4，2）
∴c ＝2．
把A （2，4）代入y ＝﹣x 2+bx+2得，
4＝﹣
12
×22+2b+2，解得，b ＝3． ∴抛物线解析式为，y ＝﹣12
x 2+x+2． 令﹣12x 2+x+2＝4， 解得，x ＝﹣2或x ＝2．
∴C （﹣2，4）．
（2）如图3，
分别过P 、Q 作PE 、QD 垂直于x 轴交x 轴于点E 、D ．
设P （m ，﹣
12m 2+m+2），Q （n ，﹣n+2）， 则PE ＝﹣12
m 2+m+2，QD ＝﹣n+2． 又∵PQ m n OQ n
-=＝y ． ∴n ＝1
m y +．
又∵PE OE QD OD =，即24124m m n m n =-+++ 把n ＝1
m y +代入上式得， 2412411
m m m y m m y ++=++-+
整理得，2y ＝﹣12
m 2+2m ． ∴y ＝﹣12m 2+12
m ． y max ＝2
10()121248-=⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭
． 即PQ 与OQ 的比值的最大值为
12
． （3）如图2，
∵∠OBA ＝∠OBP+∠PBA ＝25°
∠PBA+∠CBO ＝25°
∴∠OBP ＝∠CBO
此时PB 过点（2，4）．
设直线PB 解析式为，y ＝kx+2．
把点（2，4）代入上式得，4＝2k+2．
解得，k ＝﹣2
∴直线PB 解析式为，y ＝﹣2x+2．
令﹣2x+2＝﹣
12x 2+x+2 整理得，12
x 2﹣3x ＝4．
解得，x ＝4（舍去）或x ＝5．
当x ＝5时，﹣2x+2＝﹣2×
5+2＝﹣7 ∴P （5，﹣7）．
过P 作PH ⊥cy 轴于点H ．
则S 四边形OHPA ＝
12（OA+PH ）•OH ＝12
（2+5）×7＝24． S △OAB ＝12OA•OB ＝12
×2×2＝7． S △BHP ＝12PH•BH ＝12×5×3＝35． ∴S △PBA ＝S 四边形OHPA +S △OAB ﹣S △BHP ＝24+7﹣35＝3．
【题目点拨】
本题考查了函数图象与坐标轴交点坐标的确定，以及利用待定系数法求解抛物线解析式常数的方法，再者考查了利用数形结合的思想将图形线段长度的比化为坐标轴上点之间的线段长度比的思维能力．还考查了运用图形割补法求解坐标系内图形的面积的方法．
19、（1）213222y x x =--；（2）点P 的坐标为1147535521(,),(,),(,)282828-- ；（3）278
. 【解题分析】
（1）利用三角形相似可求AO•OB ，再由一元二次方程根与系数关系求AO•OB 构造方程求n ；
（2）求出B 、C 坐标，设出点Q 坐标，利用平行四边形对角线互相平分性质，分类讨论点P 坐标，分别代入抛物线解析式，求出Q 点坐标；
（3）设出点D 坐标（a ，b ），利用相似表示OA ，再由一元二次方程根与系数关系表示OB ，得到点B 坐标，进而找到b 与a 关系，代入抛物线求a 、n 即可．
【题目详解】
（1）若△ABC 为直角三角形
∴△AOC ∽△COB
∴OC 2=AO•OB
当y=0时，0=12x 2-32
x-n 由一元二次方程根与系数关系
-OA•OB=OC 2
n 2=12
n
-＝−2n
解得n=0（舍去）或n=2
∴抛物线解析式为y=213
222y x x =--； （2）由（1）当213222
x x --=0时 解得x 1=-1，x 2=4
∴OA=1，OB=4
∴B （4，0），C （0，-2）
∵抛物线对称轴为直线x=-2b a ＝−3
32=1222
-
⨯ ∴设点Q 坐标为（32，b ） 由平行四边形性质可知
当BQ 、CP 为平行四边形对角线时，点P 坐标为（112
，b+2） 代入y=
12x 2-32
x-2 解得b=238，则P 点坐标为（112，398） 当CQ 、PB 为为平行四边形对角线时，点P 坐标为（-52
，b-2） 代入y=12x 2-32
x-2 解得b=558，则P 坐标为（-52，398） 综上点P 坐标为（
112，398），（-52，398）； （3）设点D 坐标为（a ，b ）
∵AE ：ED=1：4
则OE=15b ，OA=14
a ∵AD ∥AB
∴△AEO ∽△BCO
∵OC=n ∴
OB OA OC OE
＝ ∴OB=54an b
由一元二次方程根与系数关系得，1215•1442
c n an x x a a b -=-＝＝
∴b=532
a 2 将点A （-14
a ，0），D （a ，532a 2）代入y=12x 2-32x-n 22211310()?()242451332
22a a n a a a n ⎧⨯----⎪⎪⎨⎪--⎪⎩＝＝ 解得a=6或a=0（舍去）
则n=278
. 【题目点拨】
本题是代数几何综合题，考查了二次函数图象性质、一元二次方程根与系数关系、三角形相似以及平行四边形的性质，解答关键是综合运用数形结合分类讨论思想．
20、 (Ⅰ)103000y x =-+；(Ⅱ)①至少要购进20件甲商品；②售完这些商品，则商场可获得的最大利润是2800元．
【解题分析】
(Ⅰ)根据总利润=（甲的售价-甲的进价）×甲的进货数量+（乙的售价-乙的进价）×乙的进货数量列关系式并化简即可得答案；(Ⅱ)①根据总成本最多投入8000元列不等式即可求出x 的范围，即可得答案；②根据一次函数的增减性确定其最大值即可.
【题目详解】
(Ⅰ)根据题意得：()()()604012090100103000y x x x =-+--=-+
则y 与x 的函数关系式为103000y x =-+．
(Ⅱ)()40901008000x x +-≤，解得20x ≥．
∴至少要购进20件甲商品．
103000y x =-+，
∵100-<，
∴y 随着x 的增大而减小
∴当20x 时，y 有最大值，102030002800y =-⨯+=最大．
∴若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是2800元．
【题目点拨】
本题考查一次函数的实际应用及一元一次不等式的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键.
21、（1）∠ADE=90°；
（2）△ABE 的周长=1．
【解题分析】
试题分析：（1）是线段垂直平分线的做法，可得∠ADE=90°
（2）根据勾股定理可求得BC=4，由垂直平分线的性质可知AE=CE ，所以△ABE 的周长为AB+BE+AE=AB+BC=1 试题解析：（1）∵由题意可知MN 是线段AC 的垂直平分线，∴∠ADE=90°；
（2）∵在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC=
=4， ∵MN 是线段AC 的垂直平分线，∴AE=CE ，
∴△ABE 的周长=AB+（AE+BE ）=AB+BC=3+4=1．
考点：1、尺规作图；2、线段垂直平分线的性质；3、勾股定理；4、三角形的周长
22、12a b =-⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=⎩
【解题分析】
把11x y =⎧⎨=-⎩代入二元一次方程组2213
ax by a x b y ab +=⎧⎨-=+⎩得到关于a ，b 的方程组，经过整理，得到关于b 的一元二次方程，解之即可得到b 的值，把b 的值代入一个关于a ，b 的二元一次方程，求出a 的值，即可得到答案．
【题目详解】
把11x y =⎧⎨=-⎩代入二元一次方程组2213ax by a x b y ab +=⎧⎨-=+⎩
得： 2213a b a b ab ①②-=⎧⎨+=+⎩
， 由①得：a=1+b ，
把a=1+b 代入②，整理得：
b 2+b-2=0，
解得：b= -2或b=1，
把b= -2代入①得：a+2=1，
解得：a= -1，
把b=1代入①得：
a-1=1，
解得：a=2，
即
1
2
a
b
=-
⎧
⎨
=-
⎩
或
2
1
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
．
【题目点拨】
本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握代入法是解题的关键．
23、（1）抛物线的解析式为：;
（2）①S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1;
②存在.R点的坐标是（3,﹣）;
（3）M的坐标为（1,﹣）．
【解题分析】
试题分析：（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,求出A、B、D的坐标代入即可;
（2）①由勾股定理即可求出;②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形,求出P、Q的坐标,再分为两种种情况：A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标;
（3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,求出直线BD的解析式,把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标．
试题解析：（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,
∵正方形的边长2,
∴B的坐标（2,﹣2）A点的坐标是（0,﹣2）,
把A（0,﹣2）,B（2,﹣2）,D（4,﹣）代入得：,
解得a=,b=﹣,c=﹣2,
∴抛物线的解析式为：,
答：抛物线的解析式为：;
（2）①由图象知：PB=2﹣2t,BQ=t,
∴S=PQ2=PB2+BQ2,
=（2﹣2t）2+t2,
即S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）．
答：S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1;
②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形．
∵S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）,
∴当S=时,5t2﹣8t+4=,得20t2﹣32t+11=0,
解得t=,t=（不合题意,舍去）,
此时点P的坐标为（1,﹣2）,Q点的坐标为（2,﹣）,
若R点存在,分情况讨论：
（i）假设R在BQ的右边,如图所示,这时QR=PB,RQ∥PB, 则R的横坐标为3,R的纵坐标为﹣,
即R（3,﹣）,
代入,左右两边相等,
∴这时存在R（3,﹣）满足题意;
（ii）假设R在QB的左边时,这时PR=QB,PR∥QB,
则R（1,﹣）代入,,
左右不相等,∴R不在抛物线上．（1分）
综上所述,存点一点R（3,﹣）满足题意．
答：存在,R点的坐标是（3,﹣）;
（3）如图,M′B=M′A,
∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,
理由是：∵MA=MB,若M不为L与DB的交点,则三点B、M、D构成三角形,
∴|MB|﹣|MD|＜|DB|,
即M到D、A的距离之差为|DB|时,差值最大,
设直线BD的解析式是y=kx+b,把B、D的坐标代入得：,
解得：k=,b=﹣,
∴y=x﹣,
抛物线的对称轴是x=1,
把x=1代入得：y=﹣
∴M的坐标为（1,﹣）;
答：M的坐标为（1,﹣）．
考点：二次函数综合题．
24、（1）观测点B到航线l的距离为3km（2）该轮船航行的速度约为40.6km/h
【解题分析】试题分析：（1）设AB与l交于点O，利用∠DAO=60°，利用∠DAO的余弦求出OA长，从而求得OB 长，继而求得BE长即可；
（2）先计算出DE=EF+DF=求出3tan∠CBE=CE
BE
求出EC，即可求出CD的长，进而求出航
行速度．
试题解析：（1）设AB与l交于点O，
在Rt △AOD 中，
∵∠OAD=60°，AD=2（km ），
∴OA=0cos60
AD =4（km ）， ∵AB=10（km ），
∴OB=AB ﹣OA=6（km ），
在Rt △BOE 中，∠OBE=∠OAD=60°，
∴BE=OB•cos60°=3（km ），
答：观测点B 到航线l 的距离为3km ；
（2）∵∠OAD=60°，AD=2（km ），∴OD=AD·tan60°3，
∵∠BEO=90°，BO=6，BE=3，∴22OB BE -3
∴3km ）；
CE=BE•tan ∠CBE=3tan76°，
∴CD=CE ﹣DE=3tan76°﹣3≈3.38（km ），
∵5（min ）=112 (h)，∴v=112
S CD t
==12CD=12×3.38≈40.6（km/h ）， 答：该轮船航行的速度约为40.6km/h ．
【题目点拨】本题主要考查了方向角问题以及利用锐角三角函数关系得出EC ，DE ，DO 的长是解题关键．。