沧州市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

沧州市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）
A 1
C
A B A.直线 B.圆
C.双曲线
D.抛物线
【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力.
2． “
”是“
”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3． 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A ．80 B ．40 C ．60 D ．20
5． 已知2a =3b =m ，ab ≠0且a ，ab ，b 成等差数列，则m=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．6
6． 执行如图所示的程序框图，则输出结果S=（ ）
A．15 B．25 C．50 D．100
7．偶函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为奇函数，且f（1）=1，则f（89）+f（90）为（）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
8．在数列{a n}中，a1=3，a n+1a n+2=2a n+1+2a n（n∈N+），则该数列的前2015项的和是（）A．7049 B．7052 C．14098 D．14101
x ，则输出的所有x的值的和为（）
9．执行如图所示的程序，若输入的3
A．243B．363C．729D．1092
【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．
10．奇函数()f x 满足()10f =，且()f x 在()0+∞，上是单调递减，则
()()
21
0x f x f x -<--的解集为（ ） A ．()11-， B ．()()11-∞-+∞ ，
， C ．()1-∞-，
D ．()1+∞，
11．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P ﹣DCE 三棱锥的外接球的体积为（ ）
A
． B
． C
． D
．
12．设函数()(
)2
1,141
x x f x x ⎧+<⎪
=⎨≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量的取值范围为（ ）
A ．(][],20,10-∞-
B ．(][],20,1-∞-
C ．(][],21,10-∞-
D ．[][]2,01,10-
二、填空题
13．设,y x 满足约束条件2110y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，则3z x y =+的最大值是____________．
14．已知集合{}|03,A x x x R =<∈≤，{}|12,B x x x R =-∈≤≤，则A ∪B ＝ ▲ ． 15．函数()2log f x x =在点()1,2A 处切线的斜率为 ▲ ．
16．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y=（
）t ﹣a （a 为常数），
如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
三、解答题
17．（本题满分15分）
已知抛物线C 的方程为2
2(0)y px p =>，点(1,2)R 在抛物线C 上．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）过点(1,1)Q 作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A ，B ，若直线AR ，BR 分别交直线:22l y x =+于
M ，N 两点，求MN 最小时直线AB 的方程．
【命题意图】本题主要考查抛物线的标准方程及其性质以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查运算求解能力.
18．（本小题满分13分） 已知函数3
2
()31f x ax x =-+， （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）证明：当2a <-时，()f x 有唯一的零点0x ，且01
(0,)2
x ∈．
19．（本小题满分12分）
已知平面向量(1,)a x = ，(23,)b x x =+-
，()x R ∈.
（1）若//a b ，求||a b -
；
（2）若与夹角为锐角，求的取值范围.
20．（本小题满分12分）为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了普法
知识竞赛.5名职工的成绩，成绩如下表：
（1
掌握更稳定；
（2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的分数差至少是4的概率.
21．已知S n为数列{a n}的前n项和，且满足S n=2a n﹣n2+3n+2（n∈N*）
（Ⅰ）求证：数列{a n+2n}是等比数列；
（Ⅱ）设b n=a n sinπ，求数列{b n}的前n项和；
（Ⅲ）设C n=﹣，数列{C n}的前n项和为P n，求证：P n＜．
22．（本小题满分16分）
在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量()h x （单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式()()()h x f x g x =+（37x <<，m 为常数），其中()f x 与()3x -成反比，()g x 与()7x -的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套. （1） 求()h x 的表达式；
（2） 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）
23．已知函数f （x ）的定义域为{x|x ≠k π，k ∈Z}，且对定义域内的任意x ，y 都有f （x ﹣y ）=成立，且f （1）=1，当0＜x ＜2时，f （x ）＞0． （1）证明：函数f （x ）是奇函数；
（2）试求f （2），f （3）的值，并求出函数f （x ）在[2，3]上的最值．
沧州市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D.
第Ⅱ卷（共110分）
2．【答案】B
【解析】解：，解得或x＜0，
∴“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
3．【答案】C
【解析】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，
由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项．
故选：C．
【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．
4．【答案】B
【解析】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，
∴三年级要抽取的学生是×200=40，
故选：B．
【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．
5．【答案】C．
【解析】解：∵2a=3b=m，
∴a=log2m，b=log3m，
∵a，ab，b成等差数列，
∴2ab=a+b，
∵ab≠0，
∴+=2，
∴=log m2，=log m3，
∴log m2+log m3=log m6=2，
解得m=．
故选C
【点评】本题考查了指数与对数的运算的应用及等差数列的性质应用．
6．【答案】C
【解析】解：根据程序框图，S=（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+（﹣97+99）=50，输出的S为50．
故选：C．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序框图，正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．
7．【答案】D
【解析】解：∵f（x+2）为奇函数，
∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2），
∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2）=f（x﹣2），
即﹣f（x+4）=f（x），
则f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=﹣f（x+4）=f（x），
即函数f（x）是周期为8的周期函数，
则f（89）=f（88+1）=f（1）=1，
f（90）=f（88+2）=f（2），
由﹣f（x+4）=f（x），
得当x=﹣2时，﹣f（2）=f（﹣2）=f（2），
则f （2）=0， 故f （89）+f （90）=0+1=1，
故选：D ．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．
8． 【答案】B
【解析】解：∵a n+1a n +2=2a n+1+2a n （n ∈N +
），∴（a n+1﹣2）（a n ﹣2）=2，当n ≥2时，（a n ﹣2）（a n ﹣1﹣2）=2，
∴
，可得a n+1=a n ﹣1，
因此数列{a n }是周期为2的周期数列． a 1=3，∴3a 2+2=2a 2+2×3，解得a 2=4， ∴S 2015=1007（3+4）+3=7052．
【点评】本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于中档题．
9． 【答案】D
【解析】当3x =时，y 是整数；当2
3x =时，y 是整数；依次类推可知当3(*)n x n N =∈时，y 是整数，则
由31000n
x =≥，得7n ≥，所以输出的所有x 的值为3，9，27，81，243，729，其和为1092，故选D ．
10．【答案】B 【解析】
试题分析：由
()()()()()2121
02102x x x f x f x f x f x --<⇒⇒-<--，即整式21x -的值与函数()f x 的值符号相反，当0x >时，210x ->；当0x <时，210x -<，结合图象即得()()11-∞-+∞ ，，．
考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式. 11．【答案】C
【解析】解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，
故外接球半径为，外接球的体积为
，
故选C ．
【点评】本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．
12．【答案】A 【解析】
考
点：分段函数的应用.
【方法点晴】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中涉及到不等式的求解，集合的交集和集合的并集运算，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据分段函数的分段条件，列出相应的不等式，通过求解每个不等式的解集，利用集合的运算是解答的关键.
二、填空题
13．【答案】73
【解析】
试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点12,
33A ⎛⎫
⎪⎝⎭
处取得最大值为73.
考点：线性规划． 14．【答案】1－1，3] 【解析】
试题分析：A ∪B ＝{}{}|03,|12,x x x R x x x R <∈-∈ ≤≤≤＝1－1，3] 考点：集合运算 【方法点睛】
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点
集还是其他的集合．
2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
15．【答案】1
ln 2
【解析】
试题分析：()()111ln 2ln 2
f x k f x ''=
∴== 考点：导数几何意义
【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.
（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. 16．【答案】0.6
【解析】解：当t ＞0.1时，可得1=（）0.1﹣a
∴0.1﹣a=0 a=0.1
由题意可得y ≤0.25=， 即（
）t ﹣0.1≤，
即t ﹣0.1≥ 解得t ≥0.6，
由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室． 故答案为：0.6
【点评】本题考查函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力．易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，得到其他错误答案．
三、解答题
17．【答案】（1）2
4y x =；（2）20x y +-=．
【解析】（1）∵点(1,2)R 在抛物线C 上，2
2212p p =⨯⇒=，…………2分
即抛物线C 的方程为2
4y x =；…………5分
18．【答案】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-， （1分）
①当0a >时，解()0f x '>得2x a >
或0x <，解()0f x '<得20x a <<， ∴()f x 的递增区间为(,0)-∞和2(,)a
+∞，()f x 的递减区间为2
(0,)a ． （4分）
②当0a =时，()f x 的递增区间为(,0)-∞，递减区间为(0,)+∞． （5分）
③当0a <时，解()0f x '>得20x a
<<，解()0f x '<得0x >或2
x a <
∴()f x 的递增区间为2(,0)a ，()f x 的递减区间为2
(,)a
-∞和(0,)+∞． （7分）
（Ⅱ）当2a <-时，由（Ⅰ）知2(,)a -∞上递减，在2
(,0)a
上递增，在(0,)+∞上递减．
∵2
2
240a f a a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭
，∴()f x 在(,0)-∞没有零点． （9分） ∵()010f =>，11
(2)028
f a ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，()f x 在(0,)+∞上递减，
∴在(0,)+∞上，存在唯一的0x ，使得()00f x =．且01(0,)2x ∈ （12分） 综上所述，当2a <-时，()f x 有唯一的零点0x ，且01
(0,)2
x ∈． （13分）
19．【答案】（1）2或2）(1,0)(0,3)- ．
【解析】
试题分析：（1）本题可由两向量平行求得参数，由坐标运算可得两向量的模，由于有两解，因此模有两个值；
（2）两向量,a b 的夹角为锐角的充要条件是0a b ⋅> 且,a b
不共线，由此可得范围．
试题解析：（1）由//a b
，得0x =或2x =-，
当0x =时，(2,0)a b -=- ，||2a b -=
，
当2x =-时，(2,4)a b -=- ，||a b -=
.
（2）与夹角为锐角，0a b ∙> ，2
230x x -++>，13x -<<，
又因为0x =时，//a b
，
所以的取值范围是(1,0)(0,3)- .
考点：向量平行的坐标运算，向量的模与数量积．
【名师点睛】由向量的数量积cos a b a b θ⋅=
可得向量的夹角公式，当为锐角时，cos 0θ>，但当cos 0
θ>时，可能为锐角，也可能为0（此时两向量同向），因此两向量夹角为锐角的充要条件是0a b
a b
⋅>
且,a b 不同
向，同样两向量夹角为钝角的充要条件是0a b
a b
⋅<
且,a b 不反向．
20．【答案】（1）90=甲x ,90=乙x ,5242
=甲s ,82=乙s ，甲单位对法律知识的掌握更稳定；（2）2
1. 【解析】
试题分析：（1）先求出甲乙两个单位职工的考试成绩的平均数,以及他们的方差,则方差小的更稳定；（2）从乙单位抽取两名职工的成绩,所有基本事件用列举法得到共10种情况,抽取的两名职工的分数差至少是的事件用列举法求得共有种,由古典概型公式得出概率.
试题解析：解：（1）90939191888751=++++=）
（甲x ，9093929189855
1=++++=）（乙x 524
])9093()9091()9091()9088()9087[(51222222
=-+-+-+-+-=
甲s 8])9093()9092()9091()9089()9085[(51222222
=-+-+-+-+-=乙s
∵85
24
<，∴甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位对法律知识的掌握更稳定. （6分）
考点：1.平均数与方差公式；2.古典概型．
21．【答案】
【解析】（I）证明：由S n=2a n﹣n2+3n+2（n∈N*），∴当n≥2时，，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1﹣2n+4，
变形为a n+2n=2[a n﹣1+2（n﹣1）]，当n=1时，a1=S1=2a1﹣1+3+2，解得a1=﹣4，∴a1+2=﹣2，∴数列{a n+2n}是等比数列，首项为﹣2，公比为2；
（II）解：由（I）可得a n=﹣2×2n﹣1﹣2n=﹣2n﹣2n．
∴b n=a n sinπ=﹣（2n+2n），∵==（﹣1）n，
∴b n=（﹣1）n+1（2n+2n）．
设数列{b n}的前n项和为T n．
当n=2k（k∈N*）时，T2k=（2﹣22+23﹣24+…+22k﹣1﹣22k）+2（1﹣2+3﹣4+…+2k﹣1﹣2k）
=﹣2k=﹣n．
当n=2k﹣1时，T2k﹣1=﹣2k﹣（﹣22k﹣4k）=+n+1+2n+1=+n+1．
（III）证明：C n=﹣=，当n≥2时，c n．
∴数列{C n}的前n项和为P n＜==，
当n=1时，c1=成立．
综上可得：∀n∈N*，．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“放缩法”、三角函数的诱导公式、递推式的应用，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22．【答案】（1） ()()2
10473h x x x =
+-- （37x <<）（2） 13 4.33
x =≈ 试
题解析：（1） 因为()f x 与3x -成反比，()g x 与7x -的平方成正比， 所以可设：()13
k f x x =-，()()2
27g x k x =-，12.00k k ≠≠，，
则()()()()2
1273
k h x f x g x k x x =+=
+--则 ………………………………………2分 因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为2.5元/套时，每日可售出套题69千套 所以，()()521, 3.569h h ==，即1
2124212
49269
4
k k k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：12104k k =⎧⎨=⎩， ……………6分
所以，()()2
10473
h x x x =
+-- （37x <<） ………………………………………8分 （2） 由（1）可知，套题每日的销售量()()2
10473
h x x x =
+--，
答：当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.…………16分
考点：利用导数求函数最值
23．【答案】
【解析】（1）证明：函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称．
又f（x﹣y）=，
所以f（﹣x）=f[（1﹣x）﹣1]===
===，
故函数f（x）奇函数．
（2）令x=1，y=﹣1，则f（2）=f[1﹣（﹣1）]==，
令x=1，y=﹣2，则f（3）=f[1﹣（﹣2）]===，
∵f（x﹣2）==，
∴f（x﹣4）=，
则函数的周期是4．
先证明f（x）在[2，3]上单调递减，先证明当2＜x＜3时，f（x）＜0，
设2＜x＜3，则0＜x﹣2＜1，
则f（x﹣2）=，即f（x）=﹣＜0，
设2≤x1≤x2≤3，
则f（x1）＜0，f（x2）＜0，f（x2﹣x1）＞0，
则f（x1）﹣f（x2）=，
∴f（x1）＞f（x2），
即函数f（x）在[2，3]上为减函数，
则函数f（x）在[2，3]上的最大值为f（2）=0，最小值为f（3）=﹣1．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数的最值及其几何意义等有关知识，综合性较强，难度较大．。