2018年高考数学冲刺卷(3)(新课标2卷含答案)
2018年全国高考新课标2卷理科数学试题(解析版)
注意事项：2018 年普通高等学校招生全国统一考试新课标 2卷理科数学1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
12 小题，每小题 5 分，共 60分， 、选择题：本题共 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。
1+2i 1．1-2i =( )4 A ．-5 - 解析：选 2．已知集合 A ．9 解析：选 A 3 5i 43 B ．- 5 + 5i 3 C ． - 5 4 5i D．34 5 + 5i A={(x,y)|x 2+y 2≤3,x ∈Z,y ∈Z } ，则 A 中元素的个数为 ( B ．8 C ． 5 问题为确定圆面内整点个数 x -x e -e 2 的图像大致为 ( ) x )D ．43．函数 f(x)= 解析：选 B f(x) 为奇函数，排除 A,x>0,f(x)>0, 排除 D, 取 x=2,f(2)= 2 -2e -e4 >1, 故选 B 4．已知向量 A ．4 解析：选 B a ，b 满足 |a|=1 ， a· b=-1 ，则 B ． 2a · (2a-b)=2a -a 22 5．双曲线 a x 2－yb 2＝1(a >0， b> 0)的离心率为 3 b=2+1=3a · (2a-b)= ( ) C ．2 3，则其渐近线方程为 ( D ．A ． y=± 2x 解析：选 A e= 3B ． y=± 3x c 2=3a 2b= 2a C5 cos = ， BC=1， AC=5，则 25 B ． 302C 6．在Δ ABC 中， A ． 42 解析：选 A cosC=2cos 22 -1= -C ． y=± AB= ( ) C ． 29D ．D ．25y=± 3x y=± x2 3 5 AB 2=AC 2+BC 2-2AB · BC ·cosC=32 AB=4 2111 + 99 - 100，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 ( )解析：选 A f(x)= 2cos(x+ π4 ), 依据 f(x)=cosx 与 f(x)= 2cos(x+ π4 ) 的图象关系知 a 11．已知 f(x) 是定义域为 (- ∞,+ ∞ )的奇函数，满足 f(1-x)= f(1+x) ．若 f(1)=2 ⋯+f(50)= ( ) A ．-50 B ． 0 C ． 2 D ．50解析：选 C 由 f(1-x)= f(1+x) 得 f(x+2)=-f(x), 所以 f(x) 是以 4 为周期的奇函数，f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0; f(1)+f(2)+f(3)+ ⋯ +f(50)=f(1)+f(2)=222 xy 12．已知 F 1，F 2 是椭圆 C: 2＋ 2＝1(a>b>0)的左，右焦点， ab 线上，Δ P F 1F 2为等腰三角形，∠ F 1F 2P=1200，则 C 的离心率为211 A ．3 B ． 2 C ．3 解析：选 D AP 的方程为 y= 6 （x+a ）, ∵ΔP F 1F 2为等腰三角形 ∴|F 2P|=| F 1F 2|=2c, 过 P 作 PH ⊥x 轴，则∠A ． i=i+1B 解析：选 B 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果． 哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数 可以表示为两个素数的和”，如 30=7+23．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的 概率是 ( ) 1 1 1 1A ．B ．C ．D ． 12 14 15 18 解析：选 C 不超过 30的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共 10个，从中选 31 为 7+23， 11+19， 13+17，共 3 种情形，所求概率为 P= 2= C 10 159．在长方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中， AB=BC=1， AA 1= 3，则异面直线 AD 1与 DB 1所成角的余弦值为 A ．1B ． 5C ． 5 A ． 5 B ． 6 C ． 5 解析：选 C 建立空间坐标系，利用向量夹角公式可得。
2018届高考理科数学最新冲刺卷(全国新课标卷)-含答案解析
2018届高考理科数学最新冲刺卷（全国新课标卷）一、选择题1．集合{}(){}22,,,,A y y x x R B x y y x x R ==∈==∈，以下正确的是（）A. A B =B. A B R ⋃=C. A B ⋂=∅D. 2B ∈ 2．若，其中为复数的共轭复数，且在复平面上对应的点在射线上，则( )A.B.或C.D.或3．若a 、b 是任意实数，且a b >，则下列不等式成立的是（）． A.1b a < B. 11a b< C. 22a b > D. 33a b > 4.执行下面的程序框图，如果输入1a =，1b =，则输出的S =（） A. 7 B. 20 C. 22 D. 545.已知命题()()()000:0,,p x f x f x ∃∈+∞-=，命题()():,q x R f x f x ∀∈-=.若p 为真命题，且q 为假命题，则函数()f x 的解析式可能为（ ） A. ()1f x x =+ B. ()21f x x =+C. ()sin f x x =D. ()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭6.如图,AOB 的圆心角为120,点C 在AB 上,且30COB ∠=,若OC OA OB λμ=+,则λμ+= ( )7. 记不等式组2{22 20x y x y y +≤+≥+≥，表示的平面区域为Ω，点P 的坐标为(),x y .有下面四个命题：1p ：P ∀∈Ω，x y -的最小值为6；2p ：P ∀∈Ω，224205x y ≤+≤；3p ：P ∀∈Ω，x y -的最大值为6；4p ：P ∀∈Ω22x y ≤+≤其中的真命题是（ ）A. 1p ，4pB. 1p ，2pC. 2p ，3pD. 3p ，4p 8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为9.同时具有性质:“①最小正周期是π,②图象关于π3x =对称,③在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的一个函数是 A. πsin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ B. πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. πsin 26x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭D. πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭10.设正三棱锥P ABC -的高为H ，且此棱锥的内切球的半径为R ，若二面角P AB C --HR=（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 811.已知抛物线214y x =的焦点F 是椭22221y x a b+=（0a b >>）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A 、B 两点，若FAB ∆是正三角形，则椭圆的离心率为（ ）1112. 已知函数()()ln ,0{2,2x x e f x f e x e x e<≤=-<<，函数()()F x f x ax =-有4个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,eB. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. [),e +∞ D. 1[,e+∞）二、填空题13.9222y x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为__________．14.已知动点(),P x y满足()24{11x y x x y +≤≥+≤，则226x y x +-的最小值是_______.15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设ABC ∆的面积为S ，若22232a b c =+，则222Sb c+的最大值为___________． 16. 对于曲线12,C C ,若存在点P 和常数()0k k ≠,过点P 任引直线分别交12,C C 于12,M M (均异于点P ),若12PM k PM =,那么称曲线1C 与2C 相似,相似比为k ,点P 为相似中心.则下列各组曲线中,坐标原点O 是其相似中心的是______.(把所有正确结论的序号都填上)①22221,2x y x y +=+=; ②22221,122x y y x +=+=; ③224,2y x y x ==. 三、解答题17.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是各项都为正数的等比数列，且11331,2,11a b a b ==+=，5537a b +=.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：2122n n T n -≤⋅+.18.如图，在各棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为棱11A B 与1BB 的中点，M ，N 为线段1C D 上的动点，其中，M 更靠近D ，且1M N C N =.（1）证明：1A E ⊥平面1AC D ；（2）若NE 与平面11BCC B所成角的正弦值为20，求异面直线BM 与NE 所成角的余弦值.19.某地区对一种新品种小麦在一块试验田进行试种.从试验田中抽取500株小麦，测量这些小麦的生长指标值，由测量结果得如下频数分布表：（1）在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；（2）求这500株小麦生长指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）由直方图可以认为，这种小麦的生长指标值Z 服从正态分布()2,6N μ，其中μ近似为样本平均数x ，26近似为样本方差2s . ①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；②若从试验田中抽取100株小麦，记X 表示这100株小麦中生长指标值位于区间()187.8,212.2的小麦株数，利用①的结果，求EX .12.2≈.若()2,6Z N μ~，则(66)0.6826P Z μμ-<<+=，(2626)0.9544P Z μμ-<<+=.20. 已知椭圆C ：222210)x y a b a b+=>>（的左、右焦点分别为12,F F ，点312P （，）在椭圆C上，满足1294PF PF ⋅=. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线1l 过点P ，且与椭圆只有一个公共点，直线2l 与1l 的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P 的两点,M N ，与直线1x =交于点K （K 介于,M N 两点之间）. (ⅰ)求证：PM KN PN KM ⋅=⋅；(ⅱ)是否存在直线2l ，使得直线1l 、2l 、PM 、PN 的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出2l 的方程；若不能，请说明理由. 21.设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围； （2）设a ＝12，()()ln 1g x f x b x =++ (b R ∈，0b ≠)，()g x '是()g x 的导函数．①若对任意的x ＞0，()g x '＞0，求证：存在0x ，使()0g x ＜0；②若()()()1212g x g x x x =≠，求证：12x x ＜24b ．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,{1x cos y sin θθ==+（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2,{x cos y sin ϕϕ==（ϕ为参数）． （1）将1C ，2C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？（2）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()cos 2sin 4ρθθ-=．若1C 上的点P 对应的参数为2πθ=，点Q 在2C 上，点M 为PQ 的中点，求点M 到直线l 距离的最小值．23.选修4-5：不等式选讲设函数()()2432f x x a x a =-++-≠-. （1）试比较()f a 与()2f -的大小；（2）若函数()f x 的图象与x 轴能围成一个三角形，求实数a 的取值范围.2018届高考数学最新冲刺卷（全国新课标卷）答题卡姓名：______________班级：______________参考答案与试题解析1．C 【解析】 由题意，集合{}2,y y x x R R =∈=，表示实数集，集合(){}2,,B x y y x x R ==∈表示二次函数2y x=图象上的点作为元素构成的点集，所以A B ⋂=∅，故选C.2．C 【解析】，又在复平面上对应的点在射线上，知在复平面上对应的点在第一象限，观察答案，选项C 符合.故选：C ． 3．D 【解析】对于A ，当2a =-， 3b =-时，满足a b >，但312b a =>，故A 错误；对于B ，当2a =， 2b =-时，满足a b >，但11a b>，故B 错误；对于C ，当1a =， 2b =-时，满足a b >，但22a b <，故C 错误；对于D ，因为3y x =在R 上单调递增，故当a b>时， 33a b >，故D 正确．故选D ．点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便，注意当用不等式性质时注意正负数、0的特殊情况等易错点，有时较为复杂的不等式可以用函数的单调性证明.5. C 【解析】因为q 为假命题,所以函数()f x 不是偶函数,故选项B 不满足题意. 对于选项A ，如果满足()()()0000,,x f x f x ∃∈+∞-=，则000110x x x -+=+∴=，显然不满足题意，所以选项A 不满足题意. 对于选项C ，如果满足()()()0000,,x f x f x ∃∈+∞-=， 则()()()()()000000sin sin sin sin sin 0,,2x x x x x x ππ-=∴-=∴==，满足题意.对于选项D,如果满足()()()0000,,x f x f x ∃∈+∞-=，则()()0033001122xxx x ---=-（）（），()()000000333000112222222x x x x x x x x x y -∴+=-∴-=-∴=-是增函数， 所以00001122022xx ->-=，而3020x -<，所以选项D 不满足题意，故选C.#网【点睛】本题主要考查向量的坐标运算、相等向量以及平面向量基本定理，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何或者三角函数问题解答7. C 【解析】作可行域如图：则x y z -=过点（4，-2），z 取最大值6，22x y +最小值为O到直线22x y +=距离的平方，即45；最大值为O 到点（4，-2）距离的平方，即为20；所以2p ， 3p 为真命题，选C.8. B 【解析】根据三视图作出原几何体（四棱锥P ABCD -）的直观图如下：可计算PB PD BC PC===点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10.C【解析】取线段AB中点D，设P在底面ABC 射影为O，设AB=a,则13OD=⨯=，PDC∠为二面角P AB C--的平面角，tan6PDC PD OD∠==，21377HV H HRS R===∴=,选C.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.11. C 【解析】由题知线段AB 是椭圆的通径，线段AB 与y 轴的交点是椭圆的下焦点1F ，且椭圆的1c =，又60FAB ∠=， 11212tan603FF AF AF AF =====，由椭圆定义知212c AF AF a a e a +==∴====C. %网【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、导数的几何意义以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．13. 672【解析】9222y x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭表示9个222y x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭相乘，从这9个222y x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭中选取6个且只取其中的x ，从剩余的3个222y x x ⎛⎫++⎪⎝⎭中只取22x ，相乘后即可得到常数项，故常数项为366699228672C x C x ⎛⎫== ⎪⎝⎭．答案： 67214. 409-【解析】()21x x y x y +≤∴≤，()21,f x x xx y =++∴≤，因此可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中()()44,,1,1,1,233A B C ⎛⎫⎪⎝⎭,所以226x y x +- ()222244403939.339x y ⎛⎫⎛⎫=-+-≥-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.&网点睛:本题的难在解题思路,第一个难点就是把222S b c +中的分母化简成6cos Sbc A,第二个难点是得到221sin 12tan 26cos 12bc AS A b c bc A ==+后，如何求tanA 的最大值. 转化成利用基本不等式求cosA 的最大值.16. ①②【解析】 由题意，对于曲线12,C C ,若存在点P 和常数()0k k ≠,过点P 任引直线分别交12,C C 与12,M M ，若12PM k PM =，称曲线1C 与2C 相似，相似比为k ，点P 为相似中心， 对于①中，圆221x y +=与222x y +=的圆心同为坐标原点O，半径分别为121,r r ==1122OM r OM r ==O 为其相似中心.对于②中，椭圆2212x y +=和2212y x +=的对称中心都为坐标原点O ，设过原点的直线为y kx =，则222222222{ ,121212y kxk x y x k k y =⇒==+++=， 222222222{ ,2212y kxk x y y k k x =⇒==+++=，点睛：本题考查了新定义的判定与应用，解答中涉及到直线与圆，直线与椭圆，直线与抛物线的位置关系的判定及应用，着重考查了数学的转化思想方法的应用，解答此题的关键是把问题转化为判定直线与椭圆联立方程组是否有解，同时正确理解新定义是解答的基础，属于中档试题.17. （1）()11n a a n d n =+-=， 112n n n b b q -==；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，依题意题意，列出方程组，求得,d q 的值，即可得到数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）由(1)知2n n c n =⋅，利用乘公比错位相减法，即可求解数列{}n c 的前n 项和. 试题解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，依题意有242210{4236d q d q +=+=，解得， 21{4d q ==，又0n b >，∴2q =，于是()11n a a n d n =+-=， 112n n n b b q -==.（2）易知2n n c n =⋅,∴231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅，()23412122232122n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅，两式相减，得()231122222122n n n n T n n ++-=++++-⋅=-⋅-∴()1122n n T n +=-⋅+，∵()()221122220n n n T n n ---⋅+=-⋅-≤，∴2122n n T n -≤⋅+.18. （1）见解析（2【解析】试题分析：（1）根据正三角形性质得111C D A B ⊥，结合线面垂直得11AA C D ⊥.因此可得1C D ⊥平面11ABB A ，即11C D A E ⊥.再根据1A E AD ⊥，得1A E ⊥平面1AC D ，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解平面11BCC B 法向量，根据向量数量积求夹角，再根据线面角与向量夹角互余关系列方程，解得N 坐标，最后根据向量数量积求异面直线BM 与NE 所成角的余弦值. &网（2）取BC 的中点O ， 11B C 的中点1O ，则AO BC ⊥， 1OO BC ⊥，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,1,0B ， ()0,1,1E ，()10,1,2C -， 1,22D ⎫⎪⎪⎝⎭，设11C N C D λ= 3,,02λ⎫=⎪⎪⎝⎭，则11NE C E C N =- ()30,2,1,,02λ⎫=--⎪⎪⎝⎭ 3,2,12λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，19. （1）见解析；（2）平均数200，方差150；（3）①0.6826；②68.26. 【解析】试题分析：（1）根据题设中的数据，即可画出频率分布直方图；（2）利用平均数和方差的计算公式，即可求得平均数x ， 2s ．（3）①由（1）知()200,150Z N ~，从而(187.8212.2)0.6826P Z <<=.②由①知，随机变量X 服从二项分布，利用公式即可求解期望． 试题解析： （1）画图.（2）抽取小麦的生长指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为1700.021800.09x =⨯+⨯ 1900.222000.332100.24+⨯+⨯+⨯ 2200.082300.02200+⨯+⨯=，()()222300.02200.09s =-⨯+-⨯()2100.2200.33+-⨯+⨯22100.24200.08+⨯+⨯2300.02150+⨯=.20. （1）22143x y +=；（2）见解析 【解析】 试题分析：（1）设()12-,0),,0,0F c F c c >（，由题意可得212991-44PFPF c ⋅=+=，所以1c =. 结合椭圆的定义可得2a =. 则椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）(ⅰ)设1l 方程为()312y k x -=-，与22143x y +=联立可得12k =-. 则2l 的斜率是12.联立直线2l 方程与椭圆方程，结合韦达定理可得1212332211PM PNy y k k x x --+=+-- 0= ， PMK ∆和PNK ∆中，由正弦定理得PM MK sin PKM sin MPK =∠∠， PN NKsin PKN sin NPK=∠∠，结合几何关系可得PM KN PN KM ⋅=⋅成立. (ⅱ)由(ⅰ)知， 0PM PN k k +=， 112l k =- ， 212l k =.假设存在直线2l ，满足题意.不妨设-PM k k =， PN k k =， 0)k >（若11-,22k k -，，按某种排序构成等比数列，则-1q =，则12k =，此时直线PN 与2l 平行或重合，与题意不符，则不存在直线2l 满足题意.（2）(ⅰ)设1l 方程为()312y k x -=-，与22143x y +=联立，消y 得 ()()222243)12832120k x k k x k ++-+--=（ , 由题意知0∆=，解得12k =-.因为直线2l 与1l 的倾斜角互补，所以2l 的斜率是12.设直线2l 方程： 12y x t =+， ()1122,),,M x y N x y （，联立2212{ 143y x tx y=++=，整理得2230x tx t ++-=，由0∆>，得24t <， 12x x t +=-， 212-3x x t ⋅=； 直线PM 、PN的斜率之和1212332211PM PNy y k k x x --+=+-- ()()()()122112131311222211x t x x t x x x ⎛⎫⎛⎫+--++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-- ()()()()()12121222311x x t x x t x x +-+--=-- 0=所以PM PN 、关于直线1x =对称，即MPK NPK ∠=∠，在PMK ∆和PNK ∆中，由正弦定理得PM MK sin PKM sin MPK =∠∠， PN NKsin PKN sin NPK=∠∠，又因为MPK NPK ∠=∠， 180PKM PKN ∠+∠=，所以PM MKPN NK=，故PM KN PN KM ⋅=⋅成立.(ⅱ)由(ⅰ)知， 0PM PN k k +=， 112l k =- ， 212l k =.假设存在直线2l ，满足题意.不妨设-PM k k =， PNk k =，0)k >（若11-,22k k -，，按某种排序构成等比数列，设公比为q ，则-1q =或2-1q =或3-1q =. 所以-1q =，则12k =，此时直线PN 与2l 平行或重合，与题意不符，故不存在直线2l ，满足题意.点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21. （1）01a <≤；（2）见解析 【解析】试题分析： ()1求导得()1cos f x a x =-'，由单调性推出a 的取值范围()2①得()1sin ln 12g x x x b x =-++，求导，讨论0b <和0b >，代入30e b x -=得出结论②由函数sin y x x =-单调递增得2121sin sin x x x x ->-，证得21212ln ln x x b x x -->-，下面证明2121ln ln x x x x ->-（2）①()1sin ln 12g x x x b x =-++，所以()11cos 2b g x x x =-+'． 若0b <，则存在02b ->，使11cos 0222b b g ⎛⎫⎛⎫-=---'< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不合题意， 所以0b >．取30e bx -=，则001x <<．此时()30000111sin ln 11ln 10222b g x x x b x b e -=-++<+++=-<．所以存在00x >，使()00g x <． ②依题意，不妨设120x x <<，令21x t x =，则1t >． 由（1）知函数sin y x x =-单调递增，所以2211sin sin x x x x ->-． 从而2121sin sin x x x x ->-．@网点睛：本题考查了导数的综合运用，尤其在证明不等式的过程中，运用了放缩的方法将结果求证出来，在证明2124x x b <时，也是利用了不等式关系构得到21212ln ln x x b x x -->-，然后构造新函数证明出结果，综合能力较强，本题较难。
2018届广东省高考数学三轮复习冲刺模拟试题有答案(共275题)
高考数学三轮复习冲刺模拟试题01集合一、选择题1 ．已知集合，，则（ ） A ．B ．C ．D ．2 ．设集合{1}A x x a x R =-<∈，，B={x|1<x<5,x ∈Ｒ}，若A ⋂B=φ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{a|0≤a ≤6}B ．{a|a ≤2，或a ≥4}C ．{a|a ≤0，或a ≥6}D ．{a|2≤a ≤4}3 ．已知集合2A ={|log<1},B={x|0<<c}x x x，若=A B B ，则c 的取值范围是（ ）A ．(0,1]B ．[1,+)∞C ．(0,2]D ．[2,+)∞二、填空题4 ．若不等式4+-2+1x m x≥对一切非零实数x 均成立,记实数m 的取值范围为M .已知集合{}=A x x M ∈,集合{}2=--6<0B x R x x ∈,则集合=A B ___________.5 ．设集合是A={32|()=83+6a f x xax x -是(0，+∞)上的增函数}，5={|=,[-1,3]}+2B y y x x ∈，则()R A B ð= ；6．试题）己知集合222{|28},{|240}xxA xB x x mx -=<=+-<, 若{|11},{|43}A B x x A B x x =-<<=-<<,则实数m 等于__________ .7 ．设集合{}1,R A x x a x =-<∈,{}15,R B x x x =<<∈,若∅=B A ,则实数a 取值范围是___________.三、解答题8 ．已知={()|1},B={()|3,0x 3}2A x,y y =-x+mx -x,y x+y =≤≤，若A B ⋂是单元素集，求实数m的取值范围.参考答案一、选择题 1. 【答案】B【解析】{(3)0}{03}P x x x x x =-<=<<,={2}{22}Q x x x x <=-<<，所以{02}(0,2)P Q x x =<<=,选B.2. 【答案】C【解析】{1}{11}A x x a x R x a x a =-<∈==-<<+，,因为=A B φ，所以有15a -≥或11a +≤，即6a ≥或0a ≤，选C.3. 【答案】D【解析】2{log 1}{01}A x x x x =<=<<.因为A B B =，所以A B ⊆.所以1c ≥，即[1,)+∞，选B.二、填空题4. {}-1<3x x ≤; 5. 【答案】(,1)(4,)-∞+∞【解析】2()=2466f 'x x ax -+，要使函数在(0,)+∞上是增函数，则2()=24660f 'x x ax -+>恒成立，即14a x x <+，因为144x x +≥=，所以4a ≤，即集合{4}A a a =≤.集合5={|=,[-1,3]}+2B y y x x ∈{15}y x =≤≤，所以{14}A B x x ⋂=≤≤，所以()=R A B ð(,1)(4,)-∞+∞.6. 【答案】32222{|28}{|230}{13}x xA x x x x x x -=<=--<=-<<，因为{|11},{|43}AB x x A B x x =-<<=-<<，所以由数轴可知{|41}B x x =-<<，即4,1-是方程2240x mx +-=的两个根，所以4123m -+=-=-，解得32m =。
2018年高考数学冲刺卷(3)(新课标Ⅰ卷附答案)
2018年高考数学冲刺卷（3）（新课标Ⅰ卷附答案）考试时间：120分钟；满分150分第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}230x x x A =-<，{}2x x B =<，则A B = （ ） A. {}|23x x << B. {}|20x x -<< C. {}|02x x << D.{}|23x x -<<2. 复数z 满足()13i z i +=-，则z =（ ）A ．1+iB ．1i -C ．1i --D ．1+i - 3. 下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（ ）A ．2x y =B ．2xy = C ．22x x y -=- D ．22x x y -=+ 4. 过抛物线24y x =的焦点的直线l 交抛物线于()11,x y P ，()22Q ,x y 两点，如果126x x +=，则Q P =（ ）A ．9B ．8C ．7D ．65. 设不等式组0301x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是（ ） A ．4π B ．36π- C ．3312π+ D ．33218π+ 6. 把函数cos 21y x =+的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7. 如图，若5N =时，则输出的数等于（ ）A ．54B ．45C ．65D ．568. 若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间62ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上是减函数，则a 的取值 范围是（ ）A. ()2,4B. (],2-∞C. (],4-∞D. [)4,+∞9. 已知2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则211y z x +=+的取值范围是（ ）A ．37,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．37,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．37,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦10. 已知P 是双曲线2213x y -=上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A 、B ，则PA PB ⋅的值是（ ）A ．38-B ．316C ．38- D．不能确定 11. 体积为43π的球O 放置在棱长为4的正方体1111CD C D AB -A B 上，且与上表面1111C D A B 相切，切点为该表面的中心，则四棱锥CD O -AB 的外接球的半径为（ ） A ．103 B ．3310 C ．2 D ．23612. 已知函数2y x =的图象在点()200,x x 处的切线为l ，若l 也与函数ln y x =，)1,0(∈x 的图象相切，则0x 必满足（ ） A ．0102x <<B ．012x <<1C ．2220<<x D ．023x <<第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13. 若92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的常数项是84，则实数a = .14. 观察如图等式，照此规律，第n 个等式为 ．11=2349++=3456725++++= 4567891049++++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅15. 如图，∆AOB 为等腰直角三角形，1OA =，C O 为斜边AB 的高，点P 在射线C O 上，则AP⋅OP的最小值为 ．16. 在C ∆AB 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2c =，2b a =，则C ∆A B 面积的最大值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差 数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；。
【新课改-全国通用】2018最新高考总复习数学高考冲刺压轴卷(理卷三)及答案解析
2018年高考冲刺压轴卷·全国卷数学（理卷三）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0．5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0．5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：①体积公式：1=,=3V S h V S h ⋅⋅柱体锥体，其中V S h ，，分别是体积，底面积和高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2015·广东省揭阳市二模·1）已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，则下列表示正确的是（ ）A.1A -∉B.11A -∈C.32k A +∉D.231k A -∈2．（2015·广东省茂名市二模·2）复数311(i i -为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标是（ ）．A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)--3．（2015·广东省深圳市二模·3）下列四个函数中，在闭区间]1,1[-上单调递增的函数是（ ）A ．2x y =B ．x y 2=C ．x y 2log =D ．x y 2sin =4．（2015·广东省湛江市二模·3）随机变量ξ服从正态分布)4,3(N ，若)2()32(+>=-<a P a P ξξ，则a 的值为（ ）．A ．37B ．34 C ．3 D ．45．（2015·广东省汕头市二模·5）6．（2015·广东省佛山市二模·5）已知双曲线)0, 0( 12222>>=-b a by a x 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（）A ．02=±y xB ．02=±y xC ．034=±y xD ．043=±y x7．（2015·广东省肇庆市三模·6）设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若0852=+a a ，则下列式子中数值不能确定的是（ ） A ．35a a B ．35S S C ．nn a a 1+ D ．nn S S 1+ 8．（2015·广东省广州市二模·6）如图，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ）A ．13B ．7C ．433D ．332二、填空题：本大题共7小题，考生作答6题，每小题5分，满分30分，其中第13题第一问2分，第二问3分．（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．（2015·广东省揭阳市二模·10）61(2)x x-展开式中的常数项为 ． 10．（2015·广东省茂名市二模·11）如图所示的流程图，若输入x 的值为2，则输出x 的值为 ．11．（2015·广东省深圳市二模·9）不等式|1||2|5x x ++-≤的解集为 ． 12．（2015·广东省汕头市二模·12）13．（2015·广东省广州市二模·13）在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c ，2c ，3c ．若m 为()()i j s t +∙+a a c c 的最小值，其中{}{},1,2,3i j ⊆，{}{},1,2,3s t ⊆，则m = ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分．14．（2015·广东省惠州市二模·14）（极坐标与参数方程选做题）若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线244x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数）上，则PF 等于______．15．（2015·广东省揭阳市二模·15）（几何证明选讲选做题）如图，点P 在圆O 的直径AB的延长线上，且PB=OB=3,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD 的长为 ．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共80分）16．（2015·广东省茂名市二模·16）（本小题满分12分）已知函数)0,0)(6sin()(>>+=ωπωA x A x f 图象的一部分如图所示．（1）求函数)(x f 的解析式； （2）设]0,2[,πβα-∈，1310)3(=+παf , 56)253(=+πβf ,求sin()αβ-的值．17．（2015·广东省深圳市二模·17）（本小题满分12分）深圳市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：申请意向年龄摇号竞价（人数）合计电动小汽车（人数）非电动小汽车（人数）30岁以下（含30岁）50 100 50 20030至50岁（含50岁）50 150 300 50050岁以上100 150 50 300 合计200 400 400 1000 （1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18．（2015·广东省湛江市二模·18）（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，045BCD 1AD AB 2CD ,,//AB ABCD =∠===⊥⊥，，且，平面DC AD DC PD ．（1）若点M 是PD 的中点，证明：PBC AM//平面;（2）若PBC ∆得面积为2，求二面角D -PC -B 的余弦值．19．（2015·广东省汕头市二模·19）．20．（2015·广东省佛山市二模·20）（本小题满分14分）已知椭圆E ：)0( 12222>>=+b a b y a x 过点（0, －2），且离心率为35． （1）求椭圆E 的方程；（2）如图3，ABD 是椭圆E 的顶点，M 是椭圆E 上除顶点外的任意一点，直线DM 交x 轴于点Q ，直线AD 交BM 于点P ，设BM 的斜率为k ，PQ 的斜率为m ，求动点N （m , k ）轨迹方程．21．（2015·广东省肇庆市三模·21）（本小题满分14分）已知函数xx m mx x f 2ln )2()(-+-=（R m ∈），x x x g )1l n ()(+=．（1）讨论)(x f 的单调区间；（2）是否存在0<m 时，对于任意的]2,1[,21∈x x ，都有1)()(21≤-x g x f 恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．数学（理卷三） 参考答案与解析1．D【命题立意】考查元素与集合的关系，容易题.【解析】 31,x k k Z =-∈，由113-=-k ，则0=k ，∴A ∈-1； 由1113-=-k ，则4=k ，∴A ∈-11； 由1323-=+k k ，12-=不成立；由13132-=-k k ，解得0=k 或1=k ，满足条件，2．B【命题立意】考查复数的几何意义，复数的运算．容易题． 【解析】 i ii -=+=-111113，∴复数311(i i -为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标是)1,1(-． 3．B【命题立意】本题考查了函数的单调性,要求熟练掌握常见函数的单调性．【解析】2x y =在闭区间]1,1[-上为非单调函数，∴A 错误，x y 2=是]1,1[-上单调递增的函数． x y 2log =在[1,0]-无定义域，所以C 错误，x y 2sin =在闭区间]1,1[-上为非单调函数．故选B ． 4．A【命题立意】本题考查随机变量服从正态分布的概率算法．【解析】因为)4,3(N ，)2()32(+>=-<a P a P ξξ，所以6232=++-a a ，因此37=a ． 5．C【命题立意】本题考查的知识点是线性规划．【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC ）．由z=y-ax 得y=ax+z ，即直线的截距最大，z 也最大．若a=0，此时y=z ，此时，目标函数只在A 处取得最大值，不满足条件，若a ＞0，目标函数y=ax+z 的斜率k=a ＞0，要使z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一， 则直线y=ax+z 与直线2x-y+2=0平行，此时a=2，若a ＜0，目标函数y=ax+z 的斜率k=a ＜0，要使z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一， 则直线y=ax+z 与直线x+y-2=0，平行，此时a=-1， 综上a=-1或a=2，故选C 6．C【命题立意】本题旨在考查双曲线的几何性质．【解析】可用筛选法．双曲线的右焦点到左顶点的距离为a ＋c ，右焦点到渐近线b y x a=±距离为b ，所以有：a ＋c ＝2b ，由430x y ±=得43y x =±，取a ＝3，b ＝4，则c ＝5，满足a ＋c ＝2b ． 故选：C 7．D【命题立意】此题考查等比数列的性质，运用等比数列的通项公式及前n 项和公式化简求值．【解析】由258a +a =0，得到352a =q =-8a ，故选项A 正确；解得：q=-2，则n+1na =q =-2a ，故选项C 正确； 则515313a [1-(-2)]S 111+2==a [1-(-2)]S 31+2，故选项B 正确； 而n+11n+1n+1n n1n a [1-(-2)]S 1-(-2)1+2==a [1-(-2)]S 1-(-2)1+2，所以数值不能确定的是选项D ．故选D 8．B【命题立意】考查圆锥的性质，最值，中等题.【解析】由题意，圆锥侧面展开图为如图的扇形，半径为3，圆心角为3π， 在VAC ∆中，因为1=VC ，=VA 32π，3=VA ，由余弦定理得7)21(13213222=⨯⨯⨯-+=AC.9．160-【命题立意】考查二项式定理，容易题. 【解析】依题意，r r rr r rrrr x C xx C T ---+⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅-=3666612)1()1()2()1(，令03=-r ，3=∴r ，∴展开式中的常数项为1602)1(3633-=⋅⋅-C . 10．7【命题立意】考查程序框图，直到型循环，容易题． 【解析】当2=x ，执行1322=-=x ，321=+=x ；当2=x ，执行5323=-=x ，725=+=x ，终止循环，故输出的值为 7．11．[]2,3-【命题立意】本题考查了绝对值不等式的解法． 【解析】令x+1=0，得x=-1,令x-2=0，得x=2，则当x ≥2时，不等式等价为125x x ++-≤，即26x ≤，解得3x ≤，此时23x ≤≤． 当12x -<<时，不等式等价为125x x +-+≤，即35≤，此时12x -<<． 当1x ≤-时，不等式等价为(1)(2)5x x -+--≤，即2x ≥-，此时21x -≤≤-． 综上23x -≤≤,故答案为:[]2,3-． 12．1314【命题立意】本题旨在考查余弦定理，两角和差的正余弦公式． 【解析】在△ABC中，∵cos ∠ADC=17，2214843sin 1cos 17497ADC ADC ⎛⎫∴∠=-∠=-== ⎪⎝⎭，则cos ∠BAD=cos （∠ADC-∠B ）=cos ∠ADC •cosB+sin ∠ADC •sinB=1143313727214=⨯+⨯=． 故答案为1314． 13．5-【命题立意】考查向量的数量积，平面向量的坐标运算，中等题.【解析】由题意知，以A 为起点，其余顶点为终点的向量1a ，2a ，3a 分别为AB ，AC ，AD ，以C 为起点，其余顶点为终点的向量1c ，2c ，3c 分别为CD ，CA ，CB ，建立如图的直角坐标系， ①当1=i ，2=j ，1=s ，2=t 时，5)]1,1()0,1[()]1,1()0,1[()()(-=--+-∙+=+∙+t s j i a a a a ；②当1=i ，2=j ，1=s ，3=t 时，3)]1,0()0,1[()]1,1()0,1[()()(-=-+-∙+=+∙+t s j i a a a a ；③当1=i ，2=j ，2=s ，3=t 时，4)]1,0()1,1[()]1,1()0,1[()()(-=-+--∙+=+∙+t s j i a a a a ；④当1=i ，3=j ，1=s ，2=t 时，3)]1,1()0,1[()]1,0()0,1[()()(-=--+-∙+=+∙+t s j i a a a a ；同理，当t s j i ,,,取其它值时，5)()(-=+∙+t s j i a a a a 或4-或3-，所以)()(t s j i a a a a +∙+的最小值为5-.14．4【命题立意】本题考查参数方程化普通方程及抛物线的性质．【解析】抛物线为24y x =，PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离，即距离为4． 15．332【命题立意】考查切割线定理，三角形相似，中等题.【解析】依题意，3==OB PB ，PC 切圆O 于C ，30=∠∴，由切割线定理得27333)2(222=⨯==+⋅=OB OB PB PB PC ，即33=PC ，AB CD ⊥ ，233=∴CD ． 16．（1）)631sin(2)(π+=x x f （２）6533-【命题立意】考查函数)sin(ϕω+=x A y 的图象性质，根据图象求解析式，三角恒等变换，中等题．【解析】（1）由图象可知2=A ，,2921143πππ=-=T ωππ26==∴T 31=∴ω． )631sin(2)(π+=∴x x f ．（2）∵10(3)2sin()2cos ,213f παπαα+=+==∴5cos 13α=， 又∵56sin 2)sin(2)253(=-=+=+βπβπβf ∴53sin -=β， ∵]0,2[,πβα-∈，,1312)135(1cos 1sin 22-=--=--=∴αα 54)53(1sin 1cos 22=--=-=ββ．∴sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-.6533)53(13554)1312(-=-⨯-⨯-=17．(1)1,3,6;(2)37 ;(3) 45E ξ= 【命题立意】本题主要考查分层抽样，排列组合，古典概型，二项分布等知识，考查学生读取图表，数据处理的能力．【解析】（1）∵30至50岁的人中有意向参与摇号电动小汽车，非电动小汽车和竞价的人数占总数的比例分别为：50150010=，150350010=，300650010=， 则抽取10人中摇号电动小汽车，非电动小汽车和竞价的人数分别为110110⨯=，310310⨯=，610610⨯=． （2）由题意知，在上述10人中有竞价申请意向的人数为300106500⨯=人， ∴4人中恰有2人有竞价申请意向的概率为226441037C C C =． （3）n=4，则ξ的取值可能为0,1,2,3,4．∵用样本估计总体，任取1人，其摇号电动小汽车意向的概率200110005P ==, ∴ξ服从二项分布，即1(4)5B ξ，．则04414256(0)()()55625P C ξ===,113414256(1)()()55625P C ξ===, 22241496(2)()()55625P C ξ===,3341416(3)()()55625P C ξ===,44411(4)()5625P C ξ===,则ξ的分布列为：ξ 01 2 3 4P 256625 256625 96625 16625 1625ξ的数学期望为：14455E np ξ==⨯=．18．（1）略，（2）21【命题立意】本题考查线面位置关系，及面面夹角问题．【解析】（1）证明：取PC 的中点N ，连结MN ，NB ，在PDC ∆中，MN 是中位线，所以MN//DC ，且MN=21DC ，由题意AB=1，CD=2可得AB=21CD ，且AB//DC ， 所以AB//MN,所以四边形ABNM 是平行四边形，所以AM//BN ， 又AM ⊄平面PBC ，BN ⊂平面PBC ，所以AM//平面PBC ；（2）连结BD ，由题意可知∆BAD 为等腰三角形，所以,450=∠BDC 有题设045=∠BCD ，所以CB ⊥BD ，又PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥BC ，又PD BD=D ，所以BC ⊥平面PBD ，所以BC ⊥PB ，所以∆ PBC 是直角三角形，且BC=BD=2，221=⋅=∆PB BC S PBC ，所以PB=2，PD=2，建立如图空间直角坐标系D-xyz ， 则B （1,1,0），C （0,2,0），)2,0,0(P ，)2,2,0(),2,1,1(-=-=PC PB ，设平面PBC的法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PC n PB n ，即⎩⎨⎧=-=-+02202z yz y x ，令1=y 则,2,1==z x ，所以平面PBC 的一个法向量为)2,1,1(=n ，又平面PDC 的一个法向量为：)0,0,1(=DA ，则21,cos >=<n DA ，显然二面角B-PC-D 为锐角，故所求的余弦值为21．19．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【命题立意】本题考查了累乘发球数列的通项公式及数学归纳法证明有关数列的不等式．【解析】20．（1）22194x y+=;（2）6320x y--=【命题立意】本题旨在考查椭圆方程的求法以及动点的轨迹方程．【解析】21．（1）当0≤m 时，)(x f 的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）； 当20<<m 时，)(x f 的单调增区间为（0，1）与（m 2，+∞），单调减区间为（1，m2）； 当2=m 时，)(x f 的单调增区间为（0，+∞）； 当2>m 时，)(x f 的单调增区间为（0，m 2）与（1，+∞），单调减区间为（m2，1）． （2）（-∞，0）．【命题立意】本题考查的是利用导数求函数的单调区间以及恒成立问题，考查了分类讨论思想．【解析】（1）函数xx m mx x f 2ln )2()(-+-=的定义域为（0，+∞）．22)1)(2(22)(xx mx x x m m x f --=++-='， （1分） ①当0=m 时，令0)(='x f ，解得1=x ．当10<<x 时，0)(>'x f ；当1>x 时，0)(<'x f ；所以)(x f 的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）； （2分） ②当0≠m 时，令0)(='x f ，解得mx 21=，12=x ． 当0<m 时，当10<<x 时，0)(>'x f ；当1>x 时，0)(<'x f ；所以)(x f 的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）； （3分） 当20<<m 时，当10<<x 时，0)(>'x f ；当m x 21<<时，0)(<'x f ；当m x 2>时，0)(>'x f ；所以)(x f 的单调增区间为（0，1）与（m 2，+∞），单调减区间为（1，m2）；（4分）当2=m 时，0)1(2)(2≥-='x x x f ，所以)(x f 的单调增区间为（0，+∞）；（5分） 当2>m 时，当m x 20<<时，0)(>'x f ；当12<<x m时，0)(<'x f ；当1>x 时，0)(>'x f ；所以)(x f 的单调增区间为（0，m 2）与（1，+∞），单调减区间为（m2，1）．（6分）综上，当0≤m 时，)(x f 的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）； 当20<<m 时，)(x f 的单调增区间为（0，1）与（m 2，+∞），单调减区间为（1，m2）； 当2=m 时，)(x f 的单调增区间为（0，+∞）； 当2>m 时，)(x f 的单调增区间为（0，m 2）与（1，+∞），单调减区间为（m2，1）．（7分）（2）对于任意的]2,1[,21∈x x ，都有1)()(21≤-x g x f 恒成立，等价于]2,1[∈x 时，max min ()()1f x g x ≤+成立． （9分）由（1）得当0<m 时，)(x f 在（1，+∞）上单调递减，所以当]2,1[∈x 时，2)1()(max -==m f x f ． （10分）22)1ln(111)1ln(1)(xx x x x x x x g +-+-=+-+='， 令)1ln(111)(+-+-=x x x h ，而2211()(1)1(1)x h x x x x '=-=-+++ 所以)1ln(111)(+-+-=x x x h 在（0，+∞）上单调递减． 在[1，2]上，2ln ln 2ln 212ln 211)1(-=-=--=e h ，因为22<e ，所以0)1(<h ；所以在[1，2]上，0)(<x h ，0)(<'x g ；所以)(x g 在[1，2]上单调递减，所以当]2,1[∈x 时，23ln )2()(min ==g x g ． （12分） 故ln 3212m -≤+，即23ln 3+≤m ， （13分） 因为0<m ，所以存在0<m 时，对于任意的]2,1[,21∈x x ，都有1)()(21≤-x g x f 恒成立，且m 的取值范围是（-∞，0）． （14分）。
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(三)理科数学含解析
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(三)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，则U A B =ð（ ）A B C D 【答案】C(){UA B =ðC ．2．欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当x =π时，i e 10π+=被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，4i e 表示的复数在复平面中位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由已知有4i e cos 4isin 4=+，因为4在第三象限，所以cos 40<，sin 40<，故4i e 表示的复数在复平面中位于第三象限，选C ． 3．在区间[]02，上任取两个数，则这两个数之和大于3的概率是（ ） A ．18B ．14C ．78D ．34【答案】A 【解析】如图：不妨设两个数为x ，y ，故3x y +>，如图所示，故选A ．4．下列命题中：①“1x >”是“21x >”的充分不必要条件②定义在[],a b 上的偶函数()()25f x x a x b =+++最小值为5； ③命题“0x ∀>，都有12x x +≥”的否定是“00x ∃≤，使得0012x x +<” ④已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()2g x f x =的定义域为[]0,1．正确命题的个数为（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】①211x x >⇒>或1x <-，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件；②因为()f x 为偶函数，所以5a =-，因为定义区间为[],a b ，所以5b =，因此()25f x x =+最小值为5； ③命题“0x ∀>，都有12x x +≥”的否定是“00x ∃>，使得0012x x +<”； ④由条件得[]20,2 820xx ∈-≥⎧⎨⎩，[](]0,1,3x x ⎧∈⎪∴⎨∈-∞⎪⎩，[]0,1x ∴∈； 因此正确命题的个数为①②④，选C ．5．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为（ ）A ．90，86B ．94，82C ．98，78D ．102，74【答案】C【解析】执行程序：86x =，90y =，27s ≠；90x =，86y =，27s ≠；94x =，82y =，27s ≠；98x =，78y =，27s =，故输出的x ，y 分别为98，78．故选：C ．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）22正视图侧视图俯视图ABCD 【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体由两部分构成，一部分侧放的四棱锥，一部分为四分之一球体，D ．7．在平面直角坐标系xOy中，则）． A ．2 B ．1C ．12D ．14【答案】B【解析】设a x y =+，b x y =-，，({,A x = ∴，即100a a b a b ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩． 作出不等式组对应的平面区域如图：可知B 的面积为等腰直角三角形AOB 的面积，由10a a b =+=⎧⎨⎩解得11a b ==-⎧⎨⎩，即()11B -，，由10a a b =-=⎧⎨⎩解得11a b ==⎧⎨⎩，即()11A ，，∴三角形的面积故选B ．8C )0ω>关于直线x t =对称，则ω的取值范围是（ ）A ．17,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．410,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．410,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】π0,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,6626t ωωπ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，ππ3π2262ωπ∴<-≤，D ． 9．已知函数()()21202x f x x x =+-<与()()22log g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．(,-∞B ．(-∞C ．(,-∞D ．⎛- ⎝【答案】B【解析】()()21202x f x x x =+-<，当0x >时，0x -<，()()21202x f x x x --=+->，当()f x 关于y 轴对称的函数为()()21202x f x x x -=+->，0x >时有解，如图：当0x =时，21log 2a >，a <，则a 的取值范围是(-∞，故选B ． 10．已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2142n n S S n n n -++=≥∈，N ，若对任意n +∈N ，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．163⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，B ．1653⎛⎫⎪⎝⎭，C ．1633⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．()35，【答案】D【解析】∵214n n S S n -+=，()2141n n S S n ++=+，∴1184n n S S n +--=+，即184n n a a n ++=+，即21812n n a a n +++=+，故28n n a a +-=，由1a a =知22124216a a +=⨯=，∴21162162a a a =-=-，23224336a S +=⨯=，()323623621642a S a a ∴=-=--=+，4242a a =-；若对任意n +∈N ，1n n a a +<恒成立，只需使1234a a a a <<<， 即16242242a a a a <-<+<-，解得35a <<．本题选择D 选项．11．设正三棱锥P ABC -的高为H ，且此棱锥的内切球的半径为R ，若二面角P AB C --HR=（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】取线段AB 中点D ，设P 在底面ABC 射影为O ，设AB a =，则PDC ∠为二面角P AB C --6PD OD ==7H R ∴=，故选C ． 12．若函数()y f x =，x M ∈对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M []0,4=内的任意实数，都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的假周期，函数()y f x =是M 上的a 级假周期函数，若函数()y f x =是定义在区间[)0+∞，内的3级假周期且2T =，当[)0,2x ∈，若[]16,8x ∃∈，()20x ∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],12-∞C ．(],39-∞D ．[)12,+∞【答案】B【解析】根据题意，对于函数()f x ，当[)02x ∈，分析可得：当01x ≤≤当12x <<时，()()2f x f x =-，函数()f x 的图象关于直线1x =又由函数()y f x =是定义在区间[)0+∞，内的3级类周期函数，且2T =； 则在[)68x ∈，上，()()336f x f x ⋅=-则函数()f x 在区间[]68，上的最大值为272分析可得：在()01，上，()0g x '<，函数()g x 为减函数， 在()1+∞，上，()0g x '>，函数()g x 为增函数，则函数()g x 在()0+∞，上，得()g x 若[]168x ∃∈，，()20x ∃∈+∞，，使()()210g x f x ≤﹣成立，必有()()min max g x f x ≤m 范围为(],12-∞．故答案为：B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅等于________．【答案】232a【解析】∵菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，∴120BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，．∴3BD CD a ⋅= 故答案为：232a ．14．抛物线28y x =的焦点为F ，点()6,3A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF △周长的最小值为____________． 【答案】13【解析】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF 等于这点到准线的距离d ，即FP d =．所以周长513l PA PF AF PA d AF PA d =++=++=++≥，填13． 15．已知点O 是ABC △的内心，60BAC ∠=︒，1BC =，则BOC △面积的最大值为_______．，在OBC △中，2222cos120BC OB OC OB OC =+-⋅⋅︒，2213OB OC OB OC OB OC =++⋅≥⋅，即13OB OC ⋅≤当OB OC = 16．已知双曲线2222:1x y C a b -=()0,0a b >>的左、右顶点分别为A 、B ，点F 为双曲线C 的左焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C 于P ，Q 点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交QF 于点M ，若2FM MQ =，则双曲线C 的离心率为__________． 【答案】5【解析】根据题意，如图作出双曲线的草图：PQ 过左焦点F 且垂直于x 轴，假设P 在Q 的上方，则P Q x x c ==-，将x c =-又由OE PM ∥，则EOB PFB △∽△，则EO c a =-，而EOA MFA △∽△整理可得：5c a =，则5e =，故双曲线的离心率为5．故答案为：5．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，122n n S a +=-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()121log nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）112n n a -=；（2【解析】（1）∵122n n S a +=-，11a =， ∴当1n =时，1222S a =-，得112111222S a a =-=-=；····1分 当2n ≥时，122n n S a -=-， ∴当2n ≥时，122n n n a a a +=-， 即112n n a a +=，····3分 又2112a a =，····4分 ∴{}n a 是以11a =为首项，12为公比的等比数列．····5分 ∴数列{}n a 的通项公式为112n n a -=．····6分 （2）由（1）知，()()11nn b n =--，····7分()()012311nn T n =-+-+-⋯+--，····8分当n 为偶数时，2n nT =；····10分 当n 为奇数时，()11122n n nT n --=--=，分 18．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为21．监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同．（1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n （*n ∈N ）次．在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】（1）80243；（2）见解析． 【解析】（1）因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为13，用X 表示“抽取的5辆单车中蓝颜色单车的个数”，则X 服从二项分布，即X ～153B （，）， 所以抽取的5辆单车中有2辆是蓝颜色单车的概率分 （2）ξ的可能取值为：0，1，2，…，n ．····5分()103P ξ==，()2121339P ξ==⨯=，()221233P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……，()121133n P n ξ-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭，()23nP n ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以ξ的分布列为：····8分ξ的数学期望为：()1n ++- ()2n ++-①－②得：()2311121212121221213333333333333n n n n E n n n ξ-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦23⎛⎫++ ⎪⎝⎭2312222233333n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2223nE ξ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．····12分19．如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD △折起，使得点D 在平面ABC 上的射影恰好落在边AB 上．（1）求证：平面ACD ⊥平面BCD ；（2）当2ABAD=时，求二面角D AC B --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）14． 【解析】（1）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ，连接DE ，则DE ⊥平面ABC ，所以DE BC ⊥．因为四边形ABCD 是矩形，所以AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，····2分 所以BC AD ⊥．····3分又AD CD ⊥，所以AD ⊥平面BCD ，····4分而AD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BCD ．····5分（2）以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设AD a =，则2AB a =，所以()020A a -，，，()00C a -，，．····6分 由（1）知AD BD ⊥，又2ABAD=，所以30DBA ∠=︒，60DAB ∠=︒， ，32BE AB AE a =-=，分所以302D a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，所以10AD ⎛= ，，()20AC a a =-，，．设平面ACD 的一个法向量为()x y z =m ,,，则00AD AC ⎧⎪⎨⎪=⋅⎩⋅=m m ，即取1y =，则2x =，z =分 因为平面ABC 的一个法向量为()001=n ，，，····11分所以二面角D AC B --的余弦值为14．····12分 20．已知点()1,0A 和动点B ，以线段AB 为直径的圆内切于圆22:4O x y +=． （1）求动点B 的轨迹方程；（2）已知点()2,0P ，()2,1Q -，经过点Q 的直线l 与动点B 的轨迹交于M ，N 两点，求证：直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值．【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析． 【解析】（1）如图，设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取()1,0A '-．xyA OBC DA依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线，O 为AA '的中点，C 为AB 中点，2A B OC ∴'=．····1分∴动点B 的轨迹是以A ，A '为焦点，长轴长为4的椭圆，····3分设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则24a =，22c =，2a ∴=，1c =，2223b a c ∴=-=，∴动点B 的轨迹方程为22143x y +=． (5)分（2）①当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为2x =，此时直线l 与椭圆22143x y +=相切，与题意不符．····6分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()12y k x +=-．y 整理得()()222243168161680kx k k x k k +-+++-=．····7分∵直线l 与椭圆交于M ，N 两点， ∴()()()2222168443161680k kk k k ∆=+-++->，解得12k <．····8分 设()11,M x y ，()22,Nx y 21221616843k k x x k +-=+，····9分()()()121212121244222224x x x x k k x x x x x x +-+-=-=----++2222221684432232316168168244343k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭=-=+-=⎛⎫+-+-+ ⎪++⎝⎭（定值）．····12分 21．已知函数()()21e x f x x ax =--（e 是自然对数的底数） （1）判断函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （2）若x ∀∈R ，()3e x f x x x +≥+，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(],e 2-∞-． 【解析】（1）∵()()21e x f x x ax =--， ∴()()e 2e 2x x f x x ax x a '=-=-，····1分当0a ≤时，()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f x ∴有1个极值点；····2分 当102a <<时，()f x 在(),ln 2a -∞上单调递增，在()ln 2,0a 上单调递减， 在()0,+∞上单调递增，()f x ∴有2个极值点；····3分 当12a =时，()f x 在R 上单调递增，此时()f x 没有极值点；····4分 当12a >时，()f x 在(),0-∞上单调递增， 在()0,ln2a 上单调递减，在()ln2,a +∞上单调递增，()f x ∴有2个极值点； 综上可得：当0a ≤时，()f x 有1个极值点； 当0a >且12a ≠时，()f x 有2个极值点； 当12a =时，()f x 没有极值点．····5分 （2）由()3e x f x x x +≥+得32e 0*x x x ax x ---≥（）． ①当0x >时，由不等式*（）得2e 10x x ax ---≥，0x ∀>在0x >上恒成立．设()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-．0x >，()0h x '∴>，()h x ∴在()0,+∞上单调递增，()()00h x h ∴>=，即e 1x x >+，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()1e 2g x g ∴≥=-，e 2a ∴≤-．····8分 ②当0x =时，不等式*（）恒成立，a ∈R ；····9分 ③当0x <时，由不等式*（）得2e 10x x ax ---≤． 设()2e 1x h x x ax =---，则()e 2x h x x a '=--．设()e 2x x x a ϕ=--，则()e 20x x ϕ'=-<，()h x '∴在(),0-∞上单调递减，()()01h x h a ''∴≥=-．若1a ≤，则()0h x '≥，()h x ∴在(),0-∞上单调递增， ()()00h x h ∴<=．若1a >，则有()010h a '=-<，00x ∴∃<，使得()0,0x x ∈时，()0h x '<，即()h x 在()0,0x 上单调递减，()()00h x h ∴>=，舍去．1a ∴≤．综上可得，a 的取值范围是(],e 2-∞-．····12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θθ==⎧⎨⎩（θ为参数，[]0,θ∈π），将曲线1C经过伸缩变换： x xy '⎧='=⎪⎨⎪⎩得到曲线2C ． （1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程；（2）若直线cos : sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）与1C ，2C 相交于A ，B 两点，且1AB =-，求α的值． 【答案】（1）[]()2230,π2cos 1ρθθ=∈+；（2）π3α=或2π3． 【解析】（1）1C 的普通方程为()2210x y y +=≥，把x x ='，y y ='代入上述方程得，()22103y x y +=''≥'， ∴2C 的方程为()22103y x y +=≥，令cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以2C 的极坐标方程为[]()2222230,π3cos sin 2cos 1ρθθθθ==∈++；····5分 （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，由1 ρθα==⎧⎨⎩，得1A ρ=，由223 2cos 1ρθθα=+=⎧⎪⎨⎪⎩，得1B ρ=>，11-=-，∴1cos 2α=±，而[]0,πα∈，∴π3α=或2π3．····10分 23．选修4-5：不等式选讲()1g x bx =+． （1）当1b =时，若()()12f xg x +的最小值为3，求实数a 的值； （2）当1b =-时，若不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围．【答案】（1）8a =-或4；（2）31,2⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】（1）当1b =因为()()12f x g x +的最小值为3，所以132a+=，解得8a =-或4．····5分 （2）当1b =-时，()()1f x g x +<即211x a x -+-<，当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，211x a x -+-<2112x a x x a x ⇔-+-<⇔-<，即3a x a <<，因为不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以1a >且132a <，即312a <<，故实数a 的取值范围是31,2⎛⎫⎪⎝⎭．····10分。
湖北省长沙市2018届高考冲刺第二次考试数学试题(理)含答案
理科数学答案B CCDA BADBC BA10. C 【解析】相当于将砝码分成了十一个小组，第 i 组有 i 个 i 克砝码。
若从 i 组中不取砝码相当于1，若从 i 组中取 一个砝码有 i 种取法，相当于 ix i 。
所以选C11．B12． A【解析】由题意可知 [ f ( x) f ( x)]e x 2x 3 ，即 [ f ( x)e x ] 2x 3 ，所以f ( x)e x x 2 3x C ， f (0) 1, f ( x) ( x 2 3x 1)e x ，由 f ( x) 的图像可以知道13. 114. 3a2018 15. 24 16.a2018 a2017 a2 a1 b2017 b2016 b1 a1 3 a2017 a2016 a134 ；因为 f ( x) 是奇函数，所以四边形的对角线交于坐标原点， ABCD 的面积为三角形 OAB 的四倍， 717.（ 【解析】 （1）当 n 1, S1 13; n 2且n Z , an Sn Sn1 2n 15 …………4 分 所以 an =2n 15 ……………………….6 分（2） 当n 7时，a , a 异号；n 7, a , a 同号 7 8 n n1T20 = 1 a1a2 1 1 a6 a7 a7 a81 a20 a211 a1a2 682 3511 2 1 1 1 ( )2 a20 a21 a7 a8 2 a1 a2118. 【 解 析 】 （Ⅰ）证明：AD // BC ，zAB BC ，BC AB 2 ，AD 3 .OC 5，OD 10，CD 5OD OC DC2 2 2P AO OC CD CD 平面POCD点 CD PO PA PB AB ，O 为 AB 中 BPO AB PO 底面 ABCDyx第 18 题图 平面 PAB 面 ABCD ……………6 分（ Ⅱ ） 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O xyz ， 则P(0,0, 3)， D(1,3,0) ，C (1,2,0) OP (0,0, 3), OD (1,3,0), CP (1, 2, 3), CD (2,1,0)设平面 OPD 的一个法向量为 m ( x1 , y1 , z1 ) ， 平面 PCD 的法向量为 n ( x2 , y2 , z 2 ) 则 由 OP m 0 OD m 0 CP n 0 CD n 0可得 3z1 0 x1 3 y1 0，取 y1 1 ，得 x1 3 ， z1 0 ，即 m (3,1,0) ，由可得 x 2 2 y 2 3z 2 0 2 x 2 y 2 0，取 x2 3 ，得 y2 2 3 ， z 2 3 4 5，即n (3,2 3,5) cos m, n m n mn5 3 10 40故二面角 O PD C 的余弦值为3 .……………12 分 4156 3 ---------1 分 364 719. 【解析】：（Ⅰ）在区间[30，60）的频率为频率 3 1 = = ， ----2 分 组距 7 30 70设在区间[0，30）上，1 1 1 1 频率 a ，则 (a ) 30 1 ，解得 a ，-----3 分 组距 210 70 105 210补充频率分布直方图如右图；----------------------------6 分（Ⅱ）记水电站日利润为 Y 元．由（Ⅰ）知：不能运行发电机的概率为1 3 ，恰好运行一台发电机的概率为 ， 7 7恰好运行二台发电机的概率为2 1 ，恰好运行三台发电机的概率为 ， 7 7①若安装 1 台发电机，则 Y 的值为-500，4000，其分布列为Y-5004000P E(Y )1 76 7＝ 500 1 6 23500 4000 ；----------8 分 7 7 7②若安装 2 台发电机，则 Y 的值为-1000，3500，8000，其分布列为Y P-1000350080001 73 73 7E(Y)＝ 1000 1 3 3 33500 3500 8000 ；---------10 分 7 7 7 73000 7500 12000③若安装 3 台发电机，则 Y 的值为-1500，3000，7500，12000，其分布列为Y P-15001 73 72 71 7E(Y)＝ 1500 1 3 2 1 34500 3000 7500 12000 ； 7 7 7 7 7∵34500 33500 23500 7 7 7∴要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装 3 台发电机．--------------12 分2 2 2 20. 【解析】 ： （1）由 BF1 F2 为等腰直角三角形可得 b c ，直线 BF 1 : y x b 被圆 x y b 所截得的x2 y 2 1 ……………4 分 弦长为 2，所以 a 2, b c 2 ，所以椭圆的方程为 4 2（2）若直线 l 的斜率不存在，则 S 1 3 6 6 3 2 2若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y kx m ，设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，4km 2(m2 2) 2m , x1 x2 则 x1 x2 ， y1 y2 k ( x1 x2 ) 2m 由题意点 O 为 PAC 重心， 2 2 1 2k 2 1 2k 1 2k设P( x0 , y0 )，则x1 x x 2 y y y 0 , 0 3 31，02 所以0x0 ( x1 x2 ) x2 y 2 4km 2m , y ( y y ) 1得 ，代入椭圆 0 1 2 1 2k 2 1 2k 2 4 2…………………………………8 分4k 2 m2 2m2 1 2k 2 2 ， 1 m (1 2k 2 )2 (1 2k 2 )2 2设坐标原点 O 到直线 l 的距离为 d，则 PAC 的面积S m 1 1 3 AC 3d 1 k 2 x1 x2 3 x1 x2 m 2 2 1 k 2 23 4km 2 2(m 2 2) ( ) 4 m 2 1 2k 2 1 2k 23 2 2 2(1 2k 2 ) m 2 m 2 1 2k 2 3 2 2(1 2k 2 ) 1 2k 2 2 2 1 2k 3 6 1 2k 2 2 23 6 2……………………………………………12 分综上可得 PAC 面积 S 为定值21. 【解析】 （Ⅰ）解：易知 f (ln a) | eln a a | a | ln a ln a | 0 ， 即 ln a 为函数 f ( x) 的一个零点； ………………………（2 分）当 x ≥ ln a 时，有 e x a ≥ 0 ，则 f ( x) e x a a( x ln a) ，从而 f ( x) e x a ≥ 0，在 [ln a， ) 上恒成立，ln a) 上恒成立． 当 x ln a 时，有 e x a 0 ，则 f ( x) a e x a( x ln a) ，从而 f ( x) a e x 0 在 (，综上，函数 f ( x) 在 R 上单调递增，有唯一零点 ln a ． ………………………（5 分）（ Ⅱ ） 证 明 ： 记 h( x) f1 ( x) f 2 ( x) ， 则 h( x) f1 ( x) f2 ( x) ， 当 x ≥ ln a2 ln a1 时 ，h( x )x( a e 1 xln a1 x ln a2 时， h( x) (ex a1 ) (e x a2 ) ，令 h( x) ≥ 0 得 ) a 2( a e a 0 2 ) 恒成立；当 1x ≥ lna1 a2 x ； 当 x≤ln a1 ln a2 时 ， h( x ) ( a1 e ) a ( 2 xe ) a 1 a 2 恒 0 成 立 ； 可 知 函 数 h( x ) 在 区 间 2 a1 a2 上单调递减，在区间 ln 2 ， 上单调递增，则函数 h( x) 的最小值为 a1 a2 ，ln 2 a a2 a a2 a a2 a1 a2 a a2 h ln 1 a1 a1 ln 1 a1 ln a1 1 a2 a2 ln 1 a2 ln a2 2 2 2 2 2 a1 ln a1 a2 ln a2 (a1 a2 )lna1 a2 ，………（8 分） 2从而只需证：a1 ln a1 a2 ln a2 (a1 a2 )ln a1 a2 (a2 a1 )ln 2 a1 ln a1 a2 ln a2 (a1 a2 )ln(a1 a2 ) 2a1 ln 2 0 ， 2记 g (a2 ) a1 ln a1 a2 ln a2 (a1 a2 )ln(a1 a2 ) 2a1 ln 2 ， 则 a2 a1 g (a2 ) 1 ln a2 (1 ln(a1 a2 )) ln a2 ln(a1 a2 ) 0 恒成立， 从而函数 g (a2 ) 在区间 (a1， ) 上 单 调 递 减 ， 则g (a2 ) g (a1 ) a1 ln a1 a1 ln a1 (a1 a1 )ln(a1 a1 ) 2a1 ln 2 2a1 ln a1 2a1 ln 2a1 2a1 ln 2 0 ．综上：存在 x R ，使得 f1 ( x) f 2 ( x) (a2 a1 )ln 2 ．………………………（12 分）22. 解： （ 1 ） C1 的普通方程为 ( x 2) 2 y 2 4 ， C1 的极坐标方程为 4 cos ， C2 的极坐标方程为 2sin …………………………………………………………………………4 分（2）联立 ( 0) 与 C1 的极坐标方程得 | OA | 2 16cos2 联立 ( 0) 与 C2 的极坐标方程得 OB 4 sin22| OA |2 | OB |2 4 12cos2 ， 0 a 2∴ | OA | 2 | OB | 2 (4,16) ………………………………………………………………………………….10 分 23.解析： （1）不等式 f x x 1可化为 x 2 x 1 x 1 ≤ 0 2 3x, x 1 设函数 y x 2 x 1 x 1 ，则 y x,1 ≤ x ≤ 2 . x 4, x 2. 令 y ≤ 0 ，解得2 ≤ x ≤ 4 ……………………….5 分 3（2） f x x 1 x 2 ≥ x 1 ( x 2) 1 当且仅当 ( x 1)( x 2) ≤ 0 即 1 ≤ x ≤ 2 时取等，故 k 1 . 假设存在符合条件的整数 a , b ，则 2a b 1b 4a 1 2 b 4a (2a b)(2a b) 4 ≥4 8 a b a b a bb 4a 1 1 1 2 即 a , b 时取等号，所以 的最小值为 8. a b a b 4 2 1 2 所以，不存在正数 a , b ,同时满足： 2a b k , 4 ……………10 分 a b当且仅当。
2018年全国高考新课标2卷理科数学试题(解析版)
2018年全国高考新课标2卷理科数学试题(解析版)2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知1+2i/(1-2i)，则结果为：A。
--iB。
-+iC。
--iD。
-+i解析：选D。
2.已知集合A={(x,y)|x+y≤3,x∈Z,y∈Z }，则A中元素的个数为：A。
9B。
8C。
5D。
4解析：选A。
问题为确定圆面内整点个数。
3.函数f(x)=2/x的图像大致为：A。
B。
C。
D。
解析：选B。
f(x)为奇函数，排除A。
当x>0时，f(x)>0，排除D。
取x=2，f(2)=1，故选B。
4.已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)=：A。
4B。
3C。
2D。
2-2xy解析：选B。
a·(2a-b)=2a-a·b=2+1=3.5.双曲线a^2(x^2)-b^2(y^2)=1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为：A。
y=±2xB。
y=±3xC。
y=±2x/abD。
y=±3x/ab解析：选A。
e=3，c=3ab=2a。
6.在ΔABC中，cosC=1/5，BC=1，AC=5，则AB=：A。
42B。
30C。
29D。
25解析：选A。
cosC=2cos^2(C/2)-1=-1/5，AB=AC+BC-2AB·BC·cosC=32，AB=42.7.为计算S=1-1/3+1/5-1/7+……+(-1)^n-1/(2n-1)，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入：开始N=0,T=1i=1是N=N+1/T=T+(-1)^N-1/(2N-1)i<100否S=N-T输出S结束A。
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(三)理科数学含答案解析
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(三)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，集合{}11A x x =-<，2511x B xx ⎧⎫-=≥⎨⎬-⎩⎭，则U A B =ð（ ）A B ．{}12x x <≤ C ．{}12x x ≤<D ．{}14x x ≤<【答案】C【解析】由题意得{}{}{}1111102A x x x x x x =-<=-<-<=<<，，∴(){}12UA B x x =≤<ð．选C ．2．欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当x =π时，i e 10π+=被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，4i e 表示的复数在复平面中位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由已知有4i e cos 4isin 4=+，因为3ππ42<<，所以4在第三象限，所以cos 40<，sin 40<，故4i e 表示的复数在复平面中位于第三象限，选C ．3．在区间[]02，上任取两个数，则这两个数之和大于3的概率是（ ）A ．18B ．14C ．78D ．34【答案】A 【解析】如图：不妨设两个数为x ，y ，故3x y +>，如图所示，其概率为11112228p ⨯⨯==⨯，故选A ．4．下列命题中：①“1x >”是“21x >”的充分不必要条件②定义在[],a b 上的偶函数()()25f x x a x b =+++最小值为5； ③命题“0x ∀>，都有12x x +≥”的否定是“00x ∃≤，使得0012x x +<” ④已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()282x g x f x =-的定义域为[]0,1． 正确命题的个数为（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】①211x x >⇒>或1x <-，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件；②因为()f x 为偶函数，所以5a =-，因为定义区间为[],a b ，所以5b =，因此()25f x x =+最小值为5；③命题“0x ∀>，都有12x x +≥”的否定是“00x ∃>，使得0012x x +<”； ④由条件得[]20,2 820xx ∈-≥⎧⎨⎩，[](]0,1,3x x ⎧∈⎪∴⎨∈-∞⎪⎩，[]0,1x ∴∈； 因此正确命题的个数为①②④，选C ．5．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为（）A ．90，86B ．94，82C ．98，78D ．102，74【答案】C【解析】执行程序：86x =，90y =，27s ≠；90x =，86y =，27s ≠；94x =，82y =，27s ≠；98x =，78y =，27s =，故输出的x ，y 分别为98，78．故选：C ． 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）22222正视图侧视图俯视图A B ．16+16π3C ．8+8π3D ．16+8π3【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体由两部分构成，一部分侧放的四棱锥，一部分为四分之一球体，∴该几何体的体积是311416+8π242+π2=3433⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故选：D ．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域(){},1,0,0A x y x y x y =+≤≥≥且，则平面区域）． A ．2 B ．1C ．12D ．14【答案】B【解析】设a x y =+，b x y =-，则2 2a b x a b y ⎧⎪⎪⎨+===⎪⎪⎩，(){},1,0,0A x y x y x y =+≤≥≥且，∴等价于10202a a ba b⎧⎪≤⎪+⎪≥⎨⎪-⎪≥⎪⎩，即100a a b a b ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩． 作出不等式组对应的平面区域如图：可知B 的面积为等腰直角三角形AOB 的面积，由10a a b =+=⎧⎨⎩解得11a b ==-⎧⎨⎩，即()11B -，，由10a a b =-=⎧⎨⎩解得11a b ==⎧⎨⎩，即()11A ，，∴三角形的面积()111112122S ⎡⎤=⨯⨯--=⨯=⎣⎦ 故选B ．8．若仅存在一个实数π0,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得曲线C ：πsin 6y x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭)0ω>关于直线x t =对称，则ω的取值范围是（ ）A ．17,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．410,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．410,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】π0,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,6626t ωωπ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，ππ3π2262ωπ∴<-≤，D ． 9．已知函数()()21202x f x x x =+-<与()()22log g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,2-∞- B ．(2-∞C ．(,2-∞D ．222,⎛- ⎝ 【答案】B【解析】()()21202x f x x x =+-<，当0x >时，0x -<，()()21202x f x x x --=+->， 当()f x 关于y 轴对称的函数为()()21202x f x x x -=+->，由题意得：()22212log 2x x x x a -+-=++，在0x >时有解，如图：当0x =时，21log 2a >，2a <，则a 的取值范围是(2-∞，，故选B ． 10．已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2142n n S S n n n -++=≥∈，N ，若对任意n +∈N ，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．163⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，B ．1653⎛⎫⎪⎝⎭，C ．1633⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．()35，【答案】D【解析】∵214n n S S n -+=，()2141n n S S n ++=+，∴1184n n S S n +--=+，即184n n a a n ++=+，即21812n n a a n +++=+，故28n n a a +-=，由1a a =知22124216a a +=⨯=，∴21162162a a a =-=-，23224336a S +=⨯=，()323623621642a S a a ∴=-=--=+，4242a a =-；若对任意n +∈N ，1n n a a +<恒成立，只需使1234a a a a <<<， 即16242242a a a a <-<+<-，解得35a <<．本题选择D 选项．11．设正三棱锥P ABC -的高为H ，且此棱锥的内切球的半径为R ，若二面角P AB C --的正HR=（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】C【解析】取线段AB 中点D ，设P 在底面ABC 射影为O ，设AB a =PDC ∠为二面角P AB C --的平面角，tan 35PDC ∠=，63PD OD a ==，7H R ∴=，故选C ．12．若函数()y f x =，x M ∈对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M []0,4=内的任意实数，都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的假周期，函数()y f x =是M 上的a 级假周期函数，若函数()y f x =是定义在区间[)0+∞，内的3级假周期且2T =，当[)0,2x ∈，，函数()212ln 2g x x x x m =-+++，若[]16,8x ∃∈，()20x ∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],12-∞C ．(],39-∞D ．[)12,+∞【答案】B【解析】根据题意，对于函数()f x ，当[)02x ∈，时，()()()21201 22(12)x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<<⎩，当12x <<时，()()2f x f x =-，函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则此时有()3122f x -<<， 又由函数()y f x =是定义在区间[)0+∞，内的3级类周期函数，且2T =；则在[)68x ∈，上，()()336f x f x ⋅=-，则有()812722f x -≤≤， 则函数()f x 在区间[]68，上的最大值为272，最小值为812-； 对于函数()212ln 2g x x x x m =-+++，有()()()12x x g x x -+'=， 分析可得：在()01，上，()0g x '<，函数()g x 为减函数， 在()1+∞，上，()0g x '>，函数()g x 为增函数， 则函数()g x 在()0+∞，上，得()g x 的最小值()312g m =+， 若[]168x ∃∈，，()20x ∃∈+∞，，使()()210g x f x ≤﹣成立， 必有()()min max g x f x ≤，即32722m +≤，得到m 范围为(],12-∞．故答案为：B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅等于________．【答案】232a【解析】∵菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，∴120BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，．∴233cos302BD CD a a a ⋅=⋅⋅︒=． 故答案为：232a ．14．抛物线28y x =的焦点为F ，点()6,3A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF△周长的最小值为____________． 【答案】13【解析】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF 等于这点到准线的距离d ，即FP d =．所以周长513l PA PF AF PA d AF PA d =++=++=++≥，填13．15．已知点O 是ABC △的内心，60BAC ∠=︒，1BC =，则BOC △面积的最大值为_______． 3【解析】由题意得180601801202BOC ︒-︒∠-=︒=︒，在OBC △中，2222cos120BC OB OC OB OC =+-⋅⋅︒，2213OB OC OB OC OB OC =++⋅≥⋅，即13OB OC ⋅≤，所以13sin120212OBC S OB OC =⋅︒≤△， 当OB OC =316．已知双曲线2222:1x y C a b -=()0,0a b >>的左、右顶点分别为A 、B ，点F 为双曲线C 的左焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C 于P ，Q 点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交QF 于点M ，若2FM MQ =，则双曲线C 的离心率为__________． 【答案】5【解析】根据题意，如图作出双曲线的草图：PQ 过左焦点F 且垂直于x 轴，假设P 在Q 的上方，则P Q x x c ==-，将x c =-代入双曲线的方程可得：2P b y a =，2Q b y a =-，则2b PF FQ a==，又由OE PM ∥，则EOB PFB △∽△，则有EO BO PFBF=，则EO c a =-，而EOA MFA △∽△，则有MF EO FA AO =，即223b c aa c a a-=-， 整理可得：5c a =，则5e =，故双曲线的离心率为5．故答案为：5．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，122n n S a +=-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()121log nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）112n n a -=；（2）1,2,2n nn T n n -⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数．【解析】（1）∵122n n S a +=-，11a =， ∴当1n =时，1222S a =-，得112111222S a a =-=-=；····1分 当2n ≥时，122n n S a -=-， ∴当2n ≥时，122n n n a a a +=-， 即112n n a a +=，····3分 又2112a a =，····4分 ∴{}n a 是以11a =为首项，12为公比的等比数列．····5分∴数列{}n a 的通项公式为112n n a -=．····6分（2）由（1）知，()()11nn b n =--，····7分()()012311nn T n =-+-+-⋯+--，····8分当n 为偶数时，2n nT =；····10分当n 为奇数时，()11122n n nT n --=--=，····12分 18．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2:1．监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同． （1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n （*n ∈N ）次．在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】（1）80243；（2）见解析． 【解析】（1）因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为13，用X 表示“抽取的5辆单车中蓝颜色单车的个数”，则X 服从二项分布，即X ～153B （，）， 所以抽取的5辆单车中有2辆是蓝颜色单车的概率32252180C 33243P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝＝．····4分 （2）ξ的可能取值为：0，1，2，…，n ．····5分()103P ξ==，()2121339P ξ==⨯=，()221233P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……，()121133n P n ξ-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭，()23nP n ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 所以ξ的分布列为：····8分ξ的数学期望为：()1n ++- ()2n ++-①－②得：()2311121212121221213333333333333n n n n E n n n ξ-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦23⎛⎫++ ⎪⎝⎭2312222233333n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221332212313nn ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-．所以2223nE ξ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．····12分19．如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD △折起，使得点D 在平面ABC 上的射影恰好落在边AB 上．（1）求证：平面ACD ⊥平面BCD ；（2）当2ABAD=时，求二面角D AC B --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）14．【解析】（1）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ，连接DE ，则DE ⊥平面ABC ，所以DE BC ⊥．因为四边形ABCD 是矩形，所以AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，····2分所以BC AD ⊥．····3分又AD CD ⊥，所以AD ⊥平面BCD ，····4分而AD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BCD ．····5分（2）以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设AD a =，则2AB a =，所以()020A a -，，，()00C a -，，．····6分由（1）知AD BD ⊥，又2ABAD =，所以30DBA ∠=︒，60DAB ∠=︒，，32BE AB AE a =-=，····8分 所以3302D a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，所以13022AD a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，()20AC a a =-，，． 设平面ACD 的一个法向量为()x y z =m ,,，则00AD AC ⎧⎪⎨⎪=⋅⎩⋅=m m ，即1302220ay az ax ay ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩． 取1y =，则2x =，3z =，所以321,3⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭m ,．····10分 因为平面ABC 的一个法向量为()001=n ，，，····11分所以二面角D AC B --的余弦值为4．····12分20．已知点()1,0A 和动点B ，以线段AB 为直径的圆内切于圆22:4O x y +=． （1）求动点B 的轨迹方程；（2）已知点()2,0P ，()2,1Q -，经过点Q 的直线l 与动点B 的轨迹交于M ，N 两点，求证：直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值．【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析．【解析】（1）如图，设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取()1,0A '-．xyA OBC DA依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线，O 为AA '的中点，C 为AB 中点，2A B OC ∴'=．····1分 ∴动点B 的轨迹是以A ，A '为焦点，长轴长为4的椭圆，····3分设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则24a =，22c =，2a ∴=，1c =，2223b a c ∴=-=，∴动点B 的轨迹方程为22143x y +=．····5分（2）①当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为2x =，此时直线l 与椭圆22143x y +=相切，与题意不符．····6分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()12yk x +=-．y 整理得()()222243168161680k x k k x k k +-+++-=．····7分 ∵直线l 与椭圆交于M ，N 两点， ∴()()()2222168443161680k kk k k ∆=+-++->，解得12k <．····8分 设()11,M x y ，()22,N x y ，则212216843k k x x k ++=+，21221616843k k x x k +-=+，····9分()()()121212121244222224x x x x k k x x x x x x +-+-=-=----++2222221684432232316168168244343k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭=-=+-=⎛⎫+-+-+ ⎪++⎝⎭（定值）．····12分 21．已知函数()()21e x f x x ax =--（e 是自然对数的底数） （1）判断函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （2）若x ∀∈R ，()3e x f x x x +≥+，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）(],e 2-∞-． 【解析】（1）∵()()21e x f x x ax =--， ∴()()e 2e 2x xf x x ax x a '=-=-，····1分当0a ≤时，()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f x ∴有1个极值点；····2分 当102a <<时，()f x 在(),ln 2a -∞上单调递增，在()ln 2,0a 上单调递减， 在()0,+∞上单调递增，()f x ∴有2个极值点；····3分当12a =时，()f x 在R 上单调递增，此时()f x 没有极值点；····4分 当12a >时，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,ln2a 上单调递减，在()ln2,a +∞上单调递增，()f x ∴有2个极值点； 综上可得：当0a ≤时，()f x 有1个极值点； 当0a >且12a ≠时，()f x 有2个极值点； 当12a =时，()f x 没有极值点．····5分 （2）由()3e x f x x x +≥+得32e 0*x x x ax x ---≥（）．①当0x >时，由不等式*（）得2e 10x x ax ---≥，0x ∀>在0x >上恒成立．，则()()()21e 1xx x g x x---'=． 设()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-．0x >，()0h x '∴>，()h x ∴在()0,+∞上单调递增，()()00h x h ∴>=，即e 1x x >+，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()1e 2g x g ∴≥=-，e 2a ∴≤-．····8分②当0x =时，不等式*（）恒成立，a ∈R ；····9分 ③当0x <时，由不等式*（）得2e 10x x ax ---≤． 设()2e 1x h x x ax =---，则()e 2x h x x a '=--．设()e 2x x x a ϕ=--，则()e 20x x ϕ'=-<，()h x '∴在(),0-∞上单调递减，()()01h x h a ''∴≥=-．若1a ≤，则()0h x '≥，()h x ∴在(),0-∞上单调递增， ()()00h x h ∴<=．若1a >，则有()010h a '=-<，00x ∴∃<，使得()0,0x x ∈时，()0h x '<，即()h x 在()0,0x 上单调递减，()()00h x h ∴>=，舍去．1a ∴≤．综上可得，a 的取值范围是(],e 2-∞-．····12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θθ==⎧⎨⎩（θ为参数，[]0,θ∈π），将曲线1C 经过伸缩变换： 3x xy '⎧='=⎪⎨⎪⎩得到曲线2C ． （1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程；（2）若直线cos : sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）与1C ，2C 相交于A ，B 两点，且21AB =-，求α的值．【答案】（1）[]()2230,π2cos 1ρθθ=∈+；（2）π3α=或2π3． 【解析】（1）1C 的普通方程为()2210x y y +=≥，把x x ='，3y y ='代入上述方程得，()22103y x y +=''≥'， ∴2C 的方程为()22103y x y +=≥，令cos x ρθ=，sin y ρθ=， 所以2C 的极坐标方程为[]()2222230,π3cos sin 2cos 1ρθθθθ==∈++；····5分 （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，由1ρθα==⎧⎨⎩，得1A ρ=，由223 2cos 1ρθθα=+=⎧⎪⎨⎪⎩，得2312cos 1B ρα=>+，121-=，∴1cos 2α=±，而[]0,πα∈，∴π3α=或2π3．····10分 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x a =-，()1g x bx =+． （1）当1b =时，若()()12f xg x +的最小值为3，求实数a 的值； （2）当1b =-时，若不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围．【答案】（1）8a =-或4；（2）31,2⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】（1）当1b =时，()()11112222a a af xg x x x x x +=-++≥---=+， 因为()()12f x g x +的最小值为3，所以132a+=，解得8a =-或4．····5分 （2）当1b =-时，()()1f x g x +<即211x a x -+-<，当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，211x a x -+-<2112x a x x a x ⇔-+-<⇔-<，即3a x a <<，因为不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以1a >且132a <，即312a <<，故实数a 的取值范围是31,2⎛⎫⎪⎝⎭．····10分。
2018年高考数学冲刺卷(3) (江苏版含答案)
2018年高考数学冲刺卷（3） (江苏版含答案)数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答．题．卡相应位置上．．．．．．． 1．设集合P ={﹣3，0，2，4]，集合Q ={x |﹣1＜x ＜3}，则P ∩Q = ． 2．设复数22i(1i)z +=+（i 为虚数单位），则z 的虚部是_____________． 3．如图是一个算法的流程图，它最后输出的k 值为 ．4．已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如右图所示．则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是 ．5．将函数()sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移4π个单位长度得到sin y x =的图象，则()6f π= ． 6．从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 ．7．一个正四棱柱的侧面展开图是一个边长为8cm 的正方形，则它的体积是 cm 2． 8．数列{}n a 中，12a =，23a =，12n n n a a a --=（n *∈N ，3n ≥），则2011a = ．9．抛物线24y x =上的一点到其焦点距离为3，则该点坐标为 ．10．已知向量a ，b ，c 满足||=2a ，||3b a b =⋅= ，若(2)(23)0c a b c -⋅-= ，则||b c -的最大值是 ．11．设过曲线()xf x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总有过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为 ．12．若)(x f 满足对于)](,[n m m n x >∈时有km x f kn≤≤)(恒成立，则称函数)(x f 在],[m n 上是“被k 限制”，若函数22)(a ax x x f +-=在区间)0](,1[>a a a上是“被2限制”的，则a 的取值范围为 ． 13．已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211ab+--的最小值为 ．14．已知f （x ）是定义在[1，+∞]上的函数，且()f x =123,1211(),222x x f x x ⎧--≤<⎪⎨≥⎪⎩，则函数2()3y xf x =-在区间（1，2015）上零点的个数为 ．二、解答题 ：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）若A B C 、、为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a b c 、、．若向量2(cos,cos 1)22A A m =- ，向量(1,cos 1)2A n =+ ，且21m n ⋅=- ． （1）求A 的值；（2）若23a =，三角形面积3S =，求b c +的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 为菱形，⊥PD 平面ABCD ，8,6==BD AC ，E 是棱PB 上的动点，AEC ∆面积的最小值是3． （1）求证：DE AC ⊥；（2）求四棱锥ABCD P -的体积．17．（本小题满分14分）我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S （平方米）的矩形AMPN 健身场地．如图，点M 在AC 上，点N 在AB 上，且P 点在斜边BC 上．已知 60=∠ACB ，30||=AC 米，=AM x 米，]20,10[∈x ．设矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为Sk37元，再把矩形AMPN 以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为Sk12元（k 为正常数）． （1）试用x 表示S ，并求S 的取值范围； （2）求总造价T 关于面积S 的函数)(S f T =；（3）如何选取||AM ，使总造价T 最低（不要求求出最低造价）．18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）经过点31,2⎛⎫P ⎪⎝⎭，离心率12e =，直线l 的方程为4x =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）AB 是经过椭圆右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为123,,k k k ，问：是否存在常数λ，使得123k k λk +=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由． 19．（本小题满分16分）已知函数x a x x f ln 21)(2+=． （1）若1-=a ，求函数)(x f 的极值，并指出极大值还是极小值； （2）若1=a ，求函数)(x f 在],1[e 上的最值；（3）若1=a ，求证：在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在332)(x x g =的图象下方．CMABNP。
【新课改-全国通用】2018最新高考总复习数学高考冲刺压轴卷(文卷三)及答案解析
2018年高考冲刺压轴卷·全国数学（文卷三）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 共 4页．满分150分，考试时间120分钟． 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回．第Ⅰ卷 选择题（共50分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．3．第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. （2015·山东青岛市二模·1)已知11abi i=-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -=（ ）A ．3B ．2C ．5D ．52．（2015·山东济宁市二模·2)已知集合{}2|1A x x =≥，{}2|1log B x y x ==-，则()R A B = ð（ ）A ．(2,)+∞B ．(],1(2,)-∞-+∞C ．(,1)(2,)-∞-+∞D ．[][)1,02,-+∞3．（2015·山东德州市二模·3)给出下列两个命题，命题:p “3x >”是“5x >”的充分不必要条件；命题q ：函数()22log 1y x x =+-是奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨⌝C ．p q ∨D ．p q ∧⌝4．（2015·山东淄博市二模·4)某工厂生产的甲、乙、丙三种型号产品的数量之比为2：3：5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，其中甲种产品有20件，则n=（ ）A ．50B ．100C ．150D ．2005. （2015·山东聊城市二模·5)函数()1x xa y a x=>的图象的大致形状是（ ）6．（2015·山东菏泽市二模·6)已知函数))(2sin()(πφφ<+=x x f 的图象向左平移6π个单位后得到()cos(2)6g x x π=+，则φ的值为（ ）A ．23π-B ．3π-C ．3π D ．23π （2015·山东烟台市二模·7)8．（2015·山东潍坊市二模·8)设实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-+≥+-04040423ay x y x y x ，已知y x z +=2的最大值是8，最小值是－5，则实数a 的值是（ ）A ．6B ．－6C ．－61 D ．61 9．（2015·山东日照市高三校际联合检测·9)函数()12sin 241y x x xπ=--≤≤-的所有零点之和为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．810. （2015·山东青岛市二模·10)如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数()y f x =是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”，若函数213()22f x x x =-+是区间I 上的“缓增函数”，则其“缓增区间”I 为（ ） A ．[1)+∞，B ．[0,3]C ．[0]1，D ．[1,3] 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（2015·山东济宁市二模·11)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若s i n 3s i n b A cB=，3a =，2cos 3B =，则边长b 等于． 12．（2015·山东德州市二模·12)已知：P 是直线:34130l x y ++=的动点，PA 是圆22:2220C x y x y +---=的一条切线，A 是切点，那么PAC ∆的面积的最小值是____________．13．（2015·山东淄博市二模·13)已知0,0a b >>，方程为22420x y x y +-+=的曲线关于直线10ax by --=对称，则2a bab+的最小值为________． 14. （2015·山东聊城市二模·14)记集合(){}()221,1,,0x y A x y x y B x y x y ⎧+≤⎧⎫⎪⎪⎪=+≤=≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≥⎩⎭⎩构成的平面区域分别为M,N ，现随机地向M 中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N 中的概率为_________.15．（2015·山东省济宁市曲阜市第一中学三模·13)已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ___ ．三、解答题：本大题共6小题，共75分． 把解答写在答题卡中．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（2015·山东菏泽市二模·16)（本小题满分12分）已知函数()sin cos 6f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若α是第一象限角，且435f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．17．（2015·山东济宁市二模·16)（本小题满分12分）近年来，我国许多省市雾霾天气频发．为增强市民的环境保护意识，我市面向全市征召n 名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[]40,45，得到的频率分布直方图如图所示．已知第2组有35人． （Ⅰ）求该组织的人数；（Ⅱ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，用列举法求出第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．18．（2015·山东淄博市二模·17) （本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，90,2,3,//A B AD BC EF AB ∠=∠===，且AE=1，M,N 分别是FC,CD 的中点．将梯形ABCD 沿EF 折起，使得1,BM =连接AD,BC,AC 得到（图2）所示几何体． （I ）证明：BC ⊥平面ABFE ； （II ）证明：AF//平面BMN ．19. （2015·山东聊城市二模·19) （本小题满分12分）在公比为2的等比数列{}n a 中，2121a a a +是与的等差中项.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）记数列{}n a 前n 项的和为n S ，若数列{}n b 满足()2log 2n n n b a S =+，试求数列{}n b 前n 项的和n T .20．（2015·山东潍坊市二模·20)（本小题满分13分）已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，其焦点与双曲线C ：1222=-y x 的焦点重合，且椭圆E 的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过双曲线C 的右顶点A 作直线l 与椭圆E 交于不同的两点P 、Q 。
2018年高考数学冲刺卷(2)【新课标Ⅱ卷含答案】
2018年高考数学冲刺卷（2）【新课标Ⅱ卷含答案】第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(){}ln 21A x y x ==- ,{}13B x x =-<<,则A B = （ ） A ．()1,3-B ．()1,3C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,32⎛⎫⎪⎝⎭2. 已知i 为虚数单位,则复数21i-所对应的点在（ ） A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知菱形ABCD 的边长为a ,∠ABC =60°,则BD CD ⋅=（ ）A ．232a -B ．234a - C ．234a D ．232a4. 已知等差数列{}n a 的公差为2,若1a 、3a 、4a 成等比数列,则6a 等于（ ） A ．－2 B ．－4 C ．0 D ．25. 在区间[]0,π上随机地取一个数x ,则事件“1sin 2x ≤”发生的概率为（ ） A.34 B.23 C.12 D.136. 已知()221xxf x ax =++若()ln3f =2,则1ln 3f ⎛⎫⎪⎝⎭=（ ） A ．2- B.1- C.0 D. 17. 直线:l 1y kx =-与曲线:C ()22430x y x y +-+=有且仅有2个公共点,则实数k 的取值范围是（ ）A ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．14,1,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D ．1,13⎧⎫⎨⎬⎩⎭8.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．59. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是（ ）A ．2B ．1C ．23 D ．1310. 设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩,若z x y =-,则z 的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．111. 设1F ,2F 分别为椭圆1C ：22221(0)x y a b a b+=>>与双曲线2C ：2222111x y a b -=()1100a b >>，的公共焦点,它们在第一象限内交于点M ,1290F MF ∠=︒,若椭圆的离心率3=4e ,则双曲线2C 的离心率1e 的取值范围为( ) A ．92 B ．322C ．32D ．54 12. 已知函数()()2ln x x b f x x +-=（b ∈R ）．若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得)(x f ＞－)(x f x '⋅,则实数b 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞ B ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),3-∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n = .14. 抛物线28y x =的准线与x 轴相交于点P ,过点P 作斜率为()0k k >的直线交抛物线于A 、B 两点,F 为抛物线的焦点,若||2||FA FB =,则k = ．15. 已知函数e ,0()()31,0x a x f x a x x ⎧+≤=∈⎨->⎩R ,若函数()f x 在R 上有两个零点,则a 的取值范围是 ．16. 已知数列{}n a 中,对任意的*n ∈N ,若满足12n n n a a a s ++++=（s 为常数）,则称该数列为3阶等和数列,其中s 为3阶公和；若满足1n n a a t +⋅=（t 为常数）,则称该数列为2阶等积数列,其中t 为2阶公积,已知数列{}n p 为首项为1的3阶等和数列,且满足32212p p p p ==；数列{}n q 为首项为1-,公积为2的2阶等积数列,设n S 为数列{}n n p q ⋅的前n 项和,则2016S =___________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. （本小题满分12分）ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知点),(b a 在直线C c B y B A x sin sin )sin (sin =+-上．（1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆为锐角三角形且满足BA C m tan 1tan 1tan +=,求实数m 的最小值．。
2018年普通高等学校招生全国统一考试押题卷 理科数学(三)解析版(含答案)
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试押题卷理 科 数 学（三）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}1,2,3A =，{}34xB x =>，则AB =（ ）A ．{1，2}B ．{2，3}C ．{1，3}D ．{1，2，3}【答案】B【解析】{}1,2,3A =，{}34xB x =>()3log 4,=+∞，{}2,3AB ∴=，选B ．2．在ABC △中，“0AB BC ⋅>”是“ABC △是钝角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0AB BC ⋅>，则B ∠为钝角，故ABC △为钝角三角形；若ABC △为钝角三角形，则B ∠可能为锐角，此时0AB BC ⋅<，故选A ．3．已知实数a ，b 满足：122ab<<，则（ ） A ．11a b< B ．22log log a b <C>D ．cos cos a b >【答案】B【解析】函数2xy =为增函数，故0b a >>．而对数函数2log y x =为增函数，所以22log log a b <，故选B ． 4．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<()y f x =y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ）ABCD【答案】A【解析】πT ∴=，22T ωπ==，因为函数()y f x =图象关于yy2ϕπ<，6ϕπ∴=-A ．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若675S S S >>，则满足10n n S S +<⋅的正整数n 的值为（ ） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】∵675S S S >>，∴111657654675222a d a d a d ⨯⨯⨯+>+>+，∴70a <，670a a +>，∴()113137131302a a S a +==<，()()112126712602a a S a a +==+>，∴满足10n n S S +<⋅的正整数n 的值为12，故选C ． 6．将函数πsin 6y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上所有的点向右平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为（ ） A ．5πsin 212y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．πsin 212x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．5πsin 212x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．5πsin 224x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】向右平移π4个单位长度得带5πsin 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)班级 姓 准考证号 考场 座位号得到5πsin 212x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭，故选C ． 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）ABCD【答案】B【解析】由三视图得该几何体是由半个球和半个圆柱组合而成，根据图中所给数据得该几何体的体积为B ． 8．函数()()22cos x x f x x -=-在区间[]5,5-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <；当352x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >．所以选D ．9．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n =，则p 的值可以是（ ）（参考数据：sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈）A ．2.6B ．3C ．3.1D ．3.14【答案】C【解析】模拟执行程序，可得：6n =，，不满足条件S p ≥，12n =，6sin303S =⨯︒=，不满足条件S p ≥，24n =，12sin15120.2588 3.1056S =⨯︒=⨯=，满足条件S p ≥，退出循环，输出n 的值为24．故 3.1p =．故选C ．10．已知点()0,1A -是抛物线22x py =的准线上一点，F 为抛物线的焦点，P 为抛物线上的点，且PF m PA =，若双曲线C 中心在原点，F 是它的一个焦点，且过P 点，当m 取最小值时，双曲线C 的离心率为（ ） ABC1D1【答案】C【解析】由于A 在抛物线准线上，故2p =，故抛物线方程为24x y =，焦点坐标为()0,1．当直线PA 和抛物线相切时，m 取得最小值，设直线PA 的方程为1y kx =-，代入抛物线方程得2440x kx -+=，判别式216160k ∆=-=，解得1k =±，不妨设1k =，由2440x x -+=，解得2x =，即()2,1P ．设双曲线方程为22221y x a b -=，将P 点坐标代入得22141a b-=，即222240b a a b --=，而双曲线1c =，故221a b =+，221b a =-，所以()22221410a a a a ----=，解得1a =，故离心率为1ca ==，故选C ． 11．在三棱锥S ABC -中，SB BC ⊥，SA AC ⊥，SB BC =，SA AC =，12AB SC =，且三棱锥S ABC -，则该三棱锥的外接球半径是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】取SC 中点O ，则OA OB OC OS ===，即O 为三棱锥的外接球球心，设半径为r，则3r ∴=，选C ． 12．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x x =∈R ，()2eln h x x =，有下列命题： ①()()()F x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是](40 -，； ④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线其中真命题的个数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】①()F x f =x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()2120F x x x '∴=+>，()()()F x f x g x ∴=-，在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增，故①正确；②，③设()(),f x g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 成立，即有10∆≤，240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <成立，则210kx bx +-≤，即20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，40k -≤≤，同理421664b k b ≤≤-，可得40b -≤≤，故②正确，③错误，④函数()f x 和()h x()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，当x ∈R恒成立，则时，()0G x'=；当0x <<时，()'0G x <；当x >()'0G x >；当x =时，()G x '取到极小值，极小值是0，也∴函数()f x 和()h x 存在唯一的隔离直线C ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年高考数学冲刺卷(3)(新课标Ⅱ卷含答案)
2018年高考数学冲刺卷（3）（新课标Ⅱ卷含答案）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+===12|,|222y x x N x y y M ，则=⋂N M （ ） A ．{})1,1(),1,1(- B ．{}1 C ．]2,0[ D ．[]1,0 2. 复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且132z i =+，则2z =（ ）A ．32i -B ．23i -C ．32i --D ．23i +3．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a 、3a 、4a 成等比数列，则6a 等于（ ）A ．－2B ．－4C ．0D ．24．已知向量a ，b 满足()2a b a ⋅+= ，且||1a = ，||2b = ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π 5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（ ）A ．3-B ．0C ．3D ．33366．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) 开始 s =0，n =1n ≤2016s =s +sin 3n π n = n +1输出s结束 是否 第8题图A ．75+B ．725+C ．422+D ．45+7．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若,a R b R ∈∈且0ab ≠，则2211a b +的最小值为（ ） A ．1 B ．3 C ．19 D ．498. 已知x ，y 满足约束条件1,1,49,3,x y x y x y ≥⎧⎪≥-⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，若24m ≤≤，则目标函数+z y mx =的最大值的变化范围是（ ）A ．[]1,3B ．[]4,6C ．[]4,9D ．[]5,99. 若函数2(2)()m x f x x m-=+的图象如图所示，则m 的范围为（ ） O-11y xA ．)1,(--∞B ．)2,1(-C ．)2,0(D ．)2,1(10. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，若AB 的中点坐标为（1，-1），则E 的方程为（ ） A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189x y +=11．已知在三棱锥P ABC -中，433P ABC V -=，4APC π∠=，3BPC π∠=，PA AC ⊥，PB BC ⊥，且平面PAC ⊥平面PBC ，那么三棱锥P ABC -外接球的体积为( )A ．43πB ．823πC ．1233π D ．323π 12. 已知函数()=x a f x x e -+，()()ln 24a x g x x e -=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使00()()3f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ）A ．ln 21--B ．1+ln2-C ．ln2-D ．ln 2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ．14．若21()n x x-展开式的二次项系数之和为128，则展开式中2x 的系数为 ． 15．已知x ，R y ∈，满足22246x xy y ++=，则224z x y =+的最小值为 ． 16．对R α∀∈，[0,2]n ∈，(23cos ,3sin )e n n αα=+- 的长度不超过6的概率为________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. （本小题满分12分）已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><经过点7(,2),(,2)1212ππ-，且在区间7(,)1212ππ上为单调函数． （Ⅰ）求,ωϕ的值； （Ⅱ）设*()()3n n a nf n N π=∈，求数列{}n a 的前30项和30S ．。
2018年招生全国统一考试数学理科临考冲刺卷(二)含解析
第 Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 ．
1．已知集合 A= x x 2 x 3 0 ， B = x y ln 2 x ，则 A B （
2
）
A． 1,3 【答案】C
B． 1,3
C． 1, 2
D． 1, 2
2．下列命题中，正确的是（ A． x0 R ， sin x0 cos x0
）
3 2
2 2
B．复数 z1 ， z2 ， z3 C ，若 z1 z2 z2 z3 0 ，则 z1 z3 C．“ a 0 ， b 0 ”是“
b a 2 ”的充要条件 a b
）
f a f b f c ，则 a b c 的取值范围是（
A． e, 2e e
2
B．
1 2e, 2 e 2 e
C．
1 e, 2 e 2 e
D．
1 e, 2e e 2 e
2
D．命题“ x R ， x x 2 0 ”的否定是：“ x R ， x x 2 0 ”
2
【答案】D
3．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、 《孙子算经》、……《缉古算经》等 10 部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古 代数学的重要文献．这 10 部专著中有 7 部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这 10 部专著 中选择 2 部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选 2 部专著中至少有一部是魏晋南北 朝时期专著的概率为（ A． ） B．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018年高考数学冲刺卷（3）（新课标2卷含答案）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合{}
|128x P x =≤<,{}1,2,3Q =,则P Q = （ ） A ．{}1,2 B ．{}1 C ．{}2,3 D ．{}1,2,3
2. 复数z 为纯虚数，若()3i z a i -⋅=+（i 为虚数单位），则实数a 的值为（ ）
A ．
13 B ． 3 C ．13
- D ．3- 3．在等差数列{}n a 中，621129+=a a ，则数列{n a }的前11项和11S 等于（ ） A ．24 B ． 48 C ．66 D ．132
4．已知函数()1
2log 030
x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，，，则((4))f f 的值为（ ）
A ．91-
B ．9-
C ．91
D ．9 5．已知向量a ，b 满足
()1,3a b +=- ，()3,7a b -= ，则a b ⋅= （ ） A ．12- B ．20- C ．12 D ．20
6．运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为
A. 99212-
B. 99212+
C. 1010212-
D. 10
10221
+ 是 否 开始
1,0
k S ==10
k < 2k S S -=+
1k k =+
输出S
结束
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．96
B ．8042π+
C ．964(21)π+-
D ．964(221)π+-
8．已知直线l 的方程为230ax y +-=，且[5,4]a ∈-，则直线l 的斜率不小于1的概率为（ ）
A ．29
B ．79
C ．13
D ．23
9. 已知x ，y 满足约束条件1,1,49,
3,
x y x y x y ≥⎧⎪≥-⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，若目标函数()0z y mx m =->的最大值为1，
则m 的值是（ ）
A ．209
- B ．1 C ．2 D ．5 10. 已知半径为1的圆1O 是半径为R 的球O 的一个截面，若球面上任一点到圆面1O 的距离
的最大值为54R ，则球O 的表面积为（ ） A ．1615π B ．6415π C ．154π D ．152
π 11．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，若1212
OP F F =，且212PF PF a ⋅=，则该椭圆的离心率为（ ） A ．34 B ．32 C ．22
D ．12 12. 已知函数()()2ln x x b f x x +-=（R b ∈）．若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，使得)(x f ＞－
)(x f x '⋅，则实数b 的取值范围是（ ）
A ．(),2-∞
B ．3,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．(),3-∞ 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知函数2()ln f x x ax =-在点(2,(2))f 处的切线的斜率是32-
，则a =________． 14．已知0θπ<<，1tan()47
π
θ+=，那么sin cos θθ+= ． 15．已知x ，R y ∈，满足22246x xy y ++=，则224z x y =+的最小值为 ．
16．已知函数)(x f 定义在R 上的奇函数，当0<x 时，()(1)x f x e x =+，给出下列命题：
①当0>x 时，()(1)x f x e x =-
②函数)(x f 有2个零点
③0)(>x f 的解集为),1()0,1(+∞-
④R x x ∈∀21,，都有2)()(21<-x f x f ，
其中正确的命题是_________．
A ．①③
B ．②③
C ．
D ．②④
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. （本小题满分12分）已知向量113,sin cos 222a x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭
与(1,)b y = 共线，设函数()y f x =．
（I ）求函数()f x 的周期及最大值；
（II ）已知△ABC 中的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，若锐角A 满足()33f A π
-=，且7a =，133sin sin 14
B C +=，求△ABC 的面积． 18. （本小题满分12分）2015年“双十一”当天，甲、乙两大电商进行了打折促销活动，某公司分别调查了当天在甲、乙电商购物的1000名消费者的消费金额，得到了消费金额的频数分布表如下：
甲电商：。