816.几何不等式初步-奥数精讲与测试8年级

例1．如图，P是△ABC内任一点，求证：

1

2

(a+b+c)＜PA+PB+PC＜a+b+c。

例2．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，求证：AC＜2AB 。

例3．如图，设正△AB C的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上

的任意一点，PA+PM的最大值和最小值分别为S和t，求S2−t2的值。

例4．如图，△ABC中，BC为最大边，AB=AC，CD=BF，BD=CE，求∠

DEF的取值范围。

例5．已知一平面内的任意四点，其中任何三点都不在一条直线上，试问：

是否一定能从这样的四点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至

少有一内角不大于45°？请证明你的结论。

A

卷

一、填空题

01．在周长为a 的等腰三角形中，腰长x 的取值范围是__________。

02．如图260，在△ABC 中，若AB=5，AC=3，则BC 边上的中线MA 的取值范围是__________。

03．在△ABC 中，若∠A=58°，AB ＞BC ，那么∠B 的取值范围是__________。

04．根据绝对值的几何意义，代数式321x x x ++-++的最小值为__________。

05．在锐角△ABC 中，a=1，b=3，则第三边。的变化范围是__________。

06．在△ABC 中AB ＞AC ，∠A 的平分线交BC 于D ，则BD_____CD （填“＞”或“＜”）。

07．如图261，设△ABC 为等边三角形，P 是任意点，则PB +PC ____PA （填“＜”、“＞”或“＝”）。

08．已知直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，∠DAB=∠CBA=90°，O 为DC 的中点，则OA _____OB （填“＞”、“＝”或“＜”）。

09．如图262，五边形ABCDE 中，AB=AE ，BC +DE=CD ，∠ABC +∠AED=180°，连结AD ，则∠ADE_______∠ADC(填“＞”、“＝”或“＜”）。

10．如图263，△ABC 中，AB ＞AC ，P 是∠A 平分线AD 上一点，则PB −PC_______（填“＞”或“＜”）AB −AC 。

二、解答题

11．如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE +CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论。

12．如图，已知∠MON 内有一点P ，分别在OM 与ON 上，求作点A 与点B ，使△APB 的周长最小。

B 卷

一、填空题

01．已知△ABC 中∠A ≤∠C ≤∠B ，且2∠B=5∠A ，则∠B 的取值范围是__________。

02．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边为a 、b 、c 。已知a=b (b ＋c)，为钝角，则a 、2b 、c 的大小__________。

03．如图266，设四边形ABCD 对角线AC 、BD 垂直相交于O ，又OC ＜OA ，OD ＜OB ，则BC +AD_______AB +CD （填“＞”、“＝”或“＜”）。

04．如图267，设a 、b 、c 分别表示△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对的边h 示AB 边上的高。设M=a +b ，N=2

2

4c h +，其中较大者为__________。

05．如图268，H 为△ABC 的垂心，则__________＜AD BE CF

AB BC CA

++++＜

__________。

06．如图269，P 为边长为1的等边△ABC 内任意一点．设t=PA +PB +PC ，则t 的取值范围为__________。

07．如图270，已知直线l 的同侧有两点A 与B ，AB=62，A 到l 的距离为1，B 到l 的距离为7，那么l 上存在一点P ，则AP +BP 的最小值是__________。

08．从n ×n 的正方形的一个角上剪去1个1×1的小方块(n ＞1），则所得图

形最少可分成_________个面积相等的三角形。

09．在△ABC 中，一边是另一边的两倍，该三角形的周长为P ，则最小边长c 的取值范围为__________。

10．若直角三角形两直角边上中线长度之比为m ，则m 的取值范围是__________。

二、解答题

11．已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，且()

222a b -=，求证：1＜2c b

b

-＜3。

12．如图，将面积为1的矩形纸片ABCD 沿一条直线对折，使得C 与A 重合，证明：所得的五边形的面积小于34

。

C 卷

解答题

01. 在直角坐标系xoy 中，x 轴上的动点M(x ，0)到定点P(5，5)和Q(2，1)的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP +MQ 取最小值时，求点M 的横坐标x 。

02．已知∠MON=40°，P 为∠MON 内一点，A 为OM 上的点，B 为ON 上的点，则当△PAB 的周长取最小时，求∠APB 的度数。

03. 若x ＋y=12，求2249x y +++的最小值。

04. 设∠MON=20°，A 为OM 上一点，OA=43，D 为ON 上一点，OD=83，C 为AM 上任一点，B 是OD 上任意一点，求折线ABCD 长的最小值。

05．点P 与边长为2的正方形ABCD 在同一平面内，且PA 2+PB 2=PC 2，求PD 的最大值。

06. 在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边向外作正DABD ，问当∠ACB 多少时，C 与D 两点间的距离最大，最大值是多少？

07. 已知一平面内的任意四点，其中任何三点都不在一条直线上，试问是否一定能从这样的四点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至少有一内角不大于45°？请证明你的结论。

08．在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=80°，P 点在△ABC 内，，∠PBC=10°，∠PCB=30°，求∠BAP 。

09．△ABC 中，最大角小于120°，在△ABC 内取一点P ，使P 到三个顶点距离之和PA +PB +PC 为最小。

10．如图，ABCD 是一个边长为1的正方形，U 、V 分别是AB 、CD 上的点，AV 与DU 相交于点P ，BV 与CU 相交于点Q ，求四边形PUQV 面积的最大值。