3 结构地震反应分析与抗震验算

基 本 烈 度 6
789
设 计 基 本 地 震 加 速 度 值 0.05g 0.1g 0.2g 0.4g
0.05 0.1 0.2 0.4
3、β，称为动力系数。
sa
与结构的动力特性和外激励有关。
x g max
βv 3
0
0.1
0.2
2
0.3
β
0.4 0.707
1
1
0
1
2
λ
简谐激励
地震激励
β与地震作用频率组成（场地）有关；与结构的自振周期 有关；与结构的阻尼有关。
现在可计算单自由度结构的地震作用 单自由度体系的水平地震作用的计算
F1
F1
FEKF 1G
G
பைடு நூலகம்
FEK
0.45
计算G
计算结构的自振周期T和阻尼比ζ
确定建设场地及地震分组（Tg）
确定设防烈度max
计算α
计算FEK
进行后续计算
作业：单质点体系，质点的重量为1000kN. 分别计算下列 情况结构的多遇烈度地震作用（用表格计算），并将计算 结果表示在图上。根据计算结果讨论不同因素对地震作用 大小的影响。设计地震分组为1组。 1.设防烈度分别为7、8、9度。 2.场地类型分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类。 3.结构的自振周期分别为0.3S、0.6S、1.2S。 4.结构的阻尼比分别为0.05、0.1、0.15。
T ( )
当地面运动 x g ( t ) 及结构的阻尼 确定后，可 以看出结构的反应仅与结构的自振周期 T ( ) 有关。
绘出的曲线称为反应谱。加速度反应谱，速度反应谱， 位移反应谱。
四、反应谱理论的意义
根据已有的大量地震地面运动的记录，再运 用结构动力学中弹性振动理论，通过计算结构的 地震反应来确定地震作用。
x (t)2 2
c k m
m k x (t)
m k 2x (t)xg(t)
x(t)m c x(t)m kx(t)xg(t)
x(t)2 2
c km
m k x(t)
ζ
k2 m x(t)xg(t)
ω
这是一个二阶线性非齐次微分方程，其解为齐次 方程的通解与非齐次方程通解之和。
（2）、α为一无量纲系数，
T的量纲为秒。
（3）、Tg为特征周期值，与场地类别和地震分组有关。
设计地震
分组
I
场地类别
II
III
IV
第一组
0.25
0.35
0.45
0.65
第二组
0.30
0.40
0.55
0.75
第三组
0.35
0.45
0.65
0.90
（4）γ衰减指数。与阻尼比有关。 0.90.05 0.55
（0）
ζ=0
无阻尼自由振动
ζ =0.05 ζ =0.2
有阻尼自由振动
4、非其次方程的特解
非齐次方程的特解——杜哈米积分
x 2 x 2x x g
思路： 1、利用齐次方程的通解 2、将地震的地面加速度分成有限个脉冲 3、讨论在单一脉冲作用后结构的响应 4、单一脉冲作用后结构的响应为自由振动，解的形 式已知（只是初速度不同）。 5、在所有脉冲作用下结构的响应为每一自由振动的 叠加（积分）
（5）η1 斜率调整系数。
1 0 .0 2 (0 .0 5 )/8
（6）η2 阻尼调整系数。 0.45 2 10.00.605 1.7
注意： 计算一下阻尼比分别为0.05、0.1、0.2时 的γ值和η2值。γ=0.9、0.85、0.8
η2=1、0.78、0.625
3、抗震设计反应谱（ 谱）的特点
多遇烈度=基本烈度-1.55度(1/2.82)
罕遇烈度=基本烈度+1度左右(相当于2.13倍、 1.88倍和1.56倍）
四、计算地震作用时结构重量G的计算 计算地震作用时，采用的建筑结构的重量称
为重力荷载代表值。
重力荷载代表值 = 结构自重标准值 + Ei 可变荷载标准值
Ei为组合系数，考虑地震与可变荷载同时出现 的可能性。 Ei见P75表3-11
程曲线。用于设计的反应谱应该是一个典型的具 有共性的可以表达的一个谱线。
加速度（ ） 周期（ ）
标准化
加速度（） 周期（）
规范给出的设计反应谱，考虑了场地的类型、地震分
组、结构阻尼等影响。
1、抗震设计反应谱（地震影响系数）
注意书上的错 误
0.45
2、各系数意义
（1）、反应谱是α-T关系谱，
实质是加速度谱。 0.45
一、单自由度弹性体系的水平地震作用
F (t ) a m m( x kx( t ) cx( t ) kx( t ) x(t ) F (t ) / k
x g)
（一）、水平地震作用的表示
(1) 地震作用是时间的函数.
(2)利用它 的最大值来对结构进行抗震计算,把动 力问题转化为静力问题计算.
反应谱理论 弹性全过程分析 弹塑性全过程分析
简化的底部剪力法 振型分解反应谱法
本科生学习内容
整理后
m x ( t ) c x ( t ) k x ( t ) m x g ( t )
式中 mxg相 强当 迫于 力由。地震产生的作用于结构上的
c
k
x (t)mx (t)mx (t)xg(t)
在脉冲下结构的响应
地面运动的加速度 x g 曲线是一个不能用数
学表达式表示的曲线。我们可以将其分为无限 个微分脉冲。每一个微分脉冲将产生一个自由 振动（一个位移dx ），无限个微分脉冲产生 的位移积分即是方程的特解。
由dt时间的脉冲 xg()d 产生的自由振动在
t时刻的位移为：
dx(t)e(t)[x()cos'(t)
m(x xg )max
m Sa
m
Sa
x g max g
x g max
g
G K G
G为重力，质点的重力 荷载，单位KN（力）
F
F(t ) max
m( x xg )max
m Sa
m
Sa
x g max
x g max g g
α大致为多少？
G K G
（二）、影响水平地震作用的因素
加速度（）
周期（）
软土层 厚无粘性土 层 坚硬场地 岩石
加 速 度 反 应 谱
场 地 影 响
六、反应谱的特征 1.加速度反应随结构自振周期增大而减小。 2.位移随周期增大而增大。 3.阻尼比的增大使地震反应减小。 4.场地的影响，软弱的场地使地震反应的峰值 范围加大。
§3.3 单自由度弹性体系的水平地震作用及 其反应谱
求出位移反应的解后，微分后还可求出速度 反应。
x(t)dxd(tt)0t xg()e(t)cos'(t)d ' 0t xg()e(t)sin'(t)dt
同理可写出加速度反应 axxg
进一步求出 axxg
得到结构的地震作用
三、关于反应谱的计算
由于地震的运动是一个复杂的问题，我们关 心地震反应的最大值比随时间的反应更有意义。
一个竖向。
一般分别计算三个方向的 地震作用。
结构的地震反应： 结构的 位移、速度、加速度 及内力和变形 。
结构的地震反应分析： 是结构地震作用的计算方法 （应属于结构
动力学的范畴）
地震作用下结构的计算方法
确定性方法
非确定性方法——随机振动分析
静态分析（最不利状态分析）
动态分析（全过程时程分析）
等效静力法
齐次方程的通解
x (t)e t[x (0 )co s'tx (0 ) 'x (0 )sin 't] '1 2
非齐次方程的特解
x (t) 1 '0 tx g ()e (t )s in'(t)d
非齐次方程的特解与齐次方程的通解相加构成非齐次 方程的通解，一般情况下，初位移和初速度均为零，故 其解为杜哈米积分。
2、关于单自由度振动的几个概念
圆频率 周期 频率 阻尼比
k
m
T 2
f 1 T
c
2 km
c
2 m
一般结构的阻尼比0.01~0.1之间，一般取0.05。
非齐次微分方程的解为齐次方程的通解与非齐次 方程的特解之和。
3、齐次方程的通解（有阻尼自由振动）
x ( t) 2x ( t)2 x ( t) 0
F F
F(t ) max
m( x xg )max
m
Sa
x g max
x g max
g
G
K
G
g
m Sa
1、G，结构的重量（或称为重力荷载代表值）。
G越大，地震作用越大。
2、K，称为地震系数。表示地面震动的大小。
K与烈度有关。规范根据烈度所对应的地面加速 度峰值进行调整后得到。
K x g max g
地震 作用
影响 因素
α
α
设防 烈度
自振 周期
α
场地 类型
§3.4 多自由度弹性体系地震反应分析的 振型分解法
一、多自由度体系振动微分方程建立
二、多自由度体系无阻尼自由振动方程求解 （自振周期和振型）
三、多自由度体系振动微分方程求解（振型分 解法）
一、多自由度弹性体系的运动方程
1、计算模型 一般n层结构有n个质点，n个自由度
将惯性力看为反映地震对结构影响的等 效力，取最大值。
F
F(t ) max
m( x xg )max
m
Sa
x g max
x g max
g
G
K
G
g
m Sa
F
F(t ) max
m( x xg )max
m Sa
m
Sa
x g max
x g max g g
G K G
F
F(t ) max
0.45
三、用于设计的max 值（多遇烈度，罕遇烈度）
烈度
6
7
8
9
设计基本地震加速 0.05g 0.1g 0.2g 0.4g
度值
K
0.05
0.1
0.2
0.4
max（设防烈度） 0.113 0.23 0.45 0.90
max（多遇烈度）
0.04
0.08 0.16 0.32
max（罕遇烈度）
0.50 0.90 1.40
解为 x(t)et[x(0)cos'tx(0) 'x(0)sin't] '12 为有阻尼的圆频率
当 很小时 '
注意其解与结构的初位移和初速度有关。
x ( t) 2x ( t)2 x ( t) 0齐次方程的通解
x (t)e t[x (0 )co s'tx (0 ) 'x (0 )sin 't] '1 2
1）、T的区间，0 —6 s。一般建筑T 都小于6.0s。
2）、α存在最大值，T=0.1~Tg 之间， = max。
3）、T＞Tg后， 随T而减小。 4）、T=0，α=0.45 max。T —0.1S 之间，α按直线增大。 5）、特征周期Tg ，坚硬场地Tg 小，软 弱的场地Tg 大。
6）、α的大小与地震烈度 （ max）、结构的自振 周期T、特征周期Tg 及结构的阻尼等有关。
x()'x()sin'(t)]
初位移 x() 0
初速度 x()xg()d
d x () e (t )x g ()s in'(t)d '
将所有脉冲积分
x(t) t dx() 0
x (t) 1 '0 tx g ()e (t )s in'(t)d
—— 非齐次方程的特解也称为杜哈米积分
可写出最大反应：简化时取 '
加速度 最大值
速度 最大值
位移 最大值
Sa
t 0
xg
( )e(t)
sin(t
)d
xg(t)max
Sv
t 0
xg
( )e(t)
sin(t
)d
max
1
Sd
t 0
xg
( )e(t)
sin(t
)d
max
Sa
t
0 xg (
)e(t ) sin
(t )d
通过大量的分析计算，
β
我国地震规范取最大的
动力系数βmax为2.25。
4、为计算简便令α=kβ。是一个无量纲的系数， 称为水平地震影响系数。
问题：如何减小结构的地震作用？
二、抗震设计反应谱（标准反应谱） 地震是随机的，每一次地震的加速度时程曲
线都不相同，则加速度反应谱也不相同。 抗震设计时，我们无法预计将发生地震的时
（将计算结果以地震反应随结构自振周期的变化规 律曲线的方式表达，供设计时查用。有最大加速 度反应谱、最大速度反应谱、最大位移反应谱 等。）
加速度反应谱的意义
加
速
度
反
应
加速度反应谱
周期T
五、地震反应谱示例（ Elcentro波 ）
速 度 反 应 谱
速度（ ）
周期（）
位 移 反 应 谱
位移（ ） 周期（）
I11 mx g1 x ( )
2、运动微分方程（以两自由度为例） 1）作用于质点上的力 作用于1质点上的惯性力为
xg(t)m ax
Sv
t
0 xg (
)e(t ) sin
(t )d
m ax
1
Sd
t
0 xg (
)e(t ) sin
(t )d
m ax
Sa
t 0
xg()e(t)sin(t)dxg(t)max
Sv
t 0
xg()e(t)sin(t)dmax
Sd
1
0txg()e(t)sin(t)dmax
3 结构地震反应分析与抗震验算
§3.1 概述
基本概念： 地震作用与地震作用效应
地震作用：是指地面震动在结构上产生动力荷 载，俗称为地震荷载。 注意：是间接作用
地震作用效应：地震作用产生结构的内力和变 形 结构动力特性
结构的自振周期、阻尼、振型等。
地震作用的简化： 地震作用简化为三个方向：两个水平方向，