一次函数公式

一次函数公式
函数的基本概念：一般地，在某一变化过程中，有两个变量X和Y，如果给定一个X值，有唯一确定的Y值与之对应，那么我们称X是Y的函数
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx+b 〔k≠0，b为任意实数〕
则此时称y是x的一次函数。

特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx 〔k≠0〕
定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；假设与实际相反。

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
即：y=kx+b〔k≠0) 〔k≠0,b取任何实数〕
2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tg角1(角1为一次函数图象与x轴正方向夹角)
一次函数图像的做法：
1．作法与图形：通过如下3个步骤
〔1〕列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]；
〔2〕描点；
〔3〕连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

〔通常找函数图像与x轴和y轴的交点〕
2．性质：〔1〕在一次函数上的任意一点P〔x，y〕，都满足等式：y=kx+b(k≠0)。

〔2〕一次函数与y轴交点的坐标总是〔0，b)，与x轴总是交于〔-b/k，0〕正比例函数的图像总是过原点。

3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。

4．k，b与函数图像所在象限：
y=kx时
当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；
当b=0时，直线必通过原点,经过一、三象限
当b＜0时，直线必通过三、四象限。

y=kx+b时：
当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。

当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。

当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。

当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O〔0，0〕表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

4、特殊位置关系
当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值〔即一次项系数〕相等
当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数〔即两个K值的乘积为-1〕
确定一次函数的表达式
已知点A〔x1，y1〕；B〔x2，y2〕，请确定过点A、B的一次函数的表达式。

〔1〕设一次函数的表达式〔也叫解析式〕为y=kx+b。

〔2〕因为在一次函数上的任意一点P〔x，y〕，都满足等式y=kx+b。

所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …和 y2=kx2+b ……
〔3〕解这个二元一次方程，得到k，b的值。

〔4〕最后得到一次函数的表达式。

1.求函数图像的k值：〔y1-y2)/(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2
3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2
4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 〔注：根号下〔x1-x2)与〔y1-y2)的平方和〕
5.求两一次函数式图像交点坐标：解两函数式
两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2令y1=y2得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2两式任一式得到y=y0则
(x0,y0)即为y1=k1x+b1与y2=k2x+b2交点坐标
6.求任意2点所连线段的中点坐标：[〔x1+x2〕/2，〔y1+y2〕/2]
7.求任意2点的连线的一次函数解析式：
〔X-x1〕/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2)(其中分母为0，则分子为0)
k b
+ + 在一、二、三象限
+ - 在一、三、四象限
- + 在一、二、四象限
- - 在二、三、四象限
8.假设两条直线y1=k1x+b1‖y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b2
9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2那么k1×k2=-1
一次函数的应用
一次函数y=kx+b的性质是：〔1〕当k>0时，y随x的增大而增大；〔2〕当k<0时，y随x的增大而减小。

【考点指要】
一次函数的定义、图象和性质在中考说明中是C级知识点，特别是根据问题中的条件求函数解析式和用待定系数法求函数解析
式在中考说明中是D级知识点.它常与反比例函数、二次函数及
方程、方程组、不等式综合在一起，以选择题、填空题、解答题
等题型出现在中考题中，大约占有8分左右.解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法.
例2.如果一次函数y=kx+b中x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的范围是-11≤y≤9.求此函数的的解析式。

解：〔1〕假设k＞0，则可以列方程组 -2k+b=-11
6k+b=9
解得k=2.5 b=-6 ，则此时的函数关系式为y=2.5x—6
〔2〕假设k＜0，则可以列方程组 -2k+b=9
6k+b=-11
解得k=-2.5 b=4，则此时的函数解析式为y=-2.5x+4
【考点指要】
此题主要考察了学生对函数性质的理解，假设k＞0，则y随x 的增大而增大；假设k＜0，则y随x的增大而减小。

一次函数y=kx+b的性质是：〔1〕当k>0时，y随x的增大而增大；〔2〕当k<0时，y随x的增大而减小。

利用一次函数的性质可解决以下问题。

一、确定字母系数的取值范围
例1. 已知正比例函数，则当m=______________时，y随x 的增大而减小。

解：根据正比例函数的定义和性质，得且m<0，即且，所以。

二、比较x值或y值的大小
例2. 已知点P1〔x1，y1〕、P2〔x2，y2〕是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是〔〕 A. x1>x2 B. x1<x2 C. x1=x2 D.无法确定
解：根据题意，知k=3>0，且y1>y2。

根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。

故选A。

三、判断函数图象的位置
例3. 一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过〔〕
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
解：由kb>0，知k、b同号。

因为y随x的增大而减小，所以k<0。

所以b<0。

故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。

故选A . 典型例题:
例1. 一个弹簧，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围.
分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.
解：由题意设所求函数为y=kx+12 则13.5=3k+12，得k=0.5
∴所求函数解析式为y=0.5x+12
由23=0.5x+12得：x=22
∴自变量x的取值范围是0≤x≤22。