人教A版高中数学选修人教二项式定理课件

• [点评] 在利用二项式定理证明整除问题或 求余数的问题时要进行合理的变形，常用 的变形手段与技巧是拆数，往往是将幂底 数写成两数之和，其中一数是除数或其倍 数，使被除式(数)展开后的每一项都含有除 式的因式．
• 如果今天是星期一，那么对于任意自然数 n，经过23n＋3＋7n＋5天后的那一天是星期
∴含 x 的一次幂的项为 T4＋1＝C48·2－4·x＝385x.
(2)令 4－34r∈Z(r≤8)，则只有当 r＝0、4、8 时，对应的 项才为有理项，有理项分别为：
T1＝x4，T5＝385x，T9＝2516x2.
• [点评] 利用二项式的通项公式求二项展 开式中具有某种特性的项是关于二项式定 理的一类典型题型．常见的有求二项展开 式中的第r项、常数项、含某字母的r次方 的项……等等．其通常解法就是据通项公 式确定Tk＋1中k的值或取值范围以满足题设 的条件．
一、选择题
1．(y－2x)8 展开式中的第 6 项的二项式系数为( )
A．C68
C．C85
• [答案] C
B．C58(－2)5 D．C86(－2)6
2．若x－1xn 展开的第 4 项为 x3 项，则 n 等于(
)
A．8
B．9
C．10
D．11
• [答案] B
[解析] Tr＋1＝Crnxn－r－1xr ＝Crn(－1)rxn－2r ∴T4＝C3n(－1)3xn－6 ∴n－6＝3，∴n＝9，故选 B.
[例 4]
若
x＋ 1 4
2
n x
展开式中前三项系数成等差数
列．求：
(1)展开式中含 x 的一次幂的项；
(2)展开式中所有 x 的有理项．
• [分析] 首先由“前三项系数成等差数 列”，得到关于n的方程，解得n的值，然 后根据题目的要求解答每一问．每问都与 二项展开式的通项公式有关．
二项式中的每一项只有两项的乘积，故需 添加“1”凑成二项展开式的形式．
• 设P＝1＋5(x＋1)＋10(x＋1)2＋10(x＋1)3＋ 5(x＋1)4＋(x＋1)5，则P等于
•( )
• A．x5
B．(x＋2)5
• C．(x－1)5
D．(x＋1)5
• [答案] B
• [解析] P＝[1＋(x＋1)]5＝(x＋2)5，故选B.

若

x＋1xn 的展开式中含有常数项，则指数 n 必为(
)
A．奇数
B．偶数
C．3 的倍数 D．6 的倍数
• [答案] C
[解析] Tr＋1＝Crn( x)n－r·1xr＝Crnxn－23r，要使展开式中含 有常数项，必须 n－3r＝0，即 r＝n3.由于 r∈N*，从而可知 n 为 3 的倍数．
[例 5] (1)在(x－ 3)10 的展开式中，求 x6 的系数． (2)求(1＋x)2·(1－x)5 的展开式中 x3 的系数．
[解析] (1)(x－ 3)10 的展开式的通项是 Tk＋1＝Ck10x10－k(－ 3)k. 令 10－k＝6，∴k＝4. 由通项公式可知含 x6 项为第 5 项，即 T4＋1＝C140x10－4(－ 3)4＝9C410x6. ∴x6 的系数应为 9C410.
• [点评] 要注意区分二项式系数与项的系数： 二项式系数与项的系数是两个不同的概念， 前者仅与二项式的指数及项数有关，与二 项式的构成无关，后者与二项式的构成、 二项式的指数及项数均有关．
(2009·全国Ⅱ·理 13)(x y－y x)4 的展开式中 x3y3 的系数为 ________．
• [答案] 6
[解析] 通项为 Tr＋1＝Crn·( x)n－r·241 xr. 由已知条件知：C0n＋C2n·212＝2C1n·12，解得 n＝8 或 n＝1(舍
去)．
(1)Tr＋1＝Cr8·(
x)8－r·2
1 4
xr＝Cr8·2－r·x4－34r.
令 4－34r＝1，解得 r＝4.
的展开式．
• [分析] 可直接应用二项式定理展开，也
可先化简再展开．
[解析] 解法 1：(直接法)
3
x＋
1 x
4
＝
(3
x
)4
＋
C
1 4
(3
x )3
1 x
＋
C
2 4
(3
x
)2

1 x
2
＋
C
3 4
(3 x) 1x3＋C44 1x4＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12. 解法 2：(化简后再展开)
1 9 x
的 展 开 式 中 ， 常 数 项 为 ________( 用 数 字 作
答)．
• [答案] 672
[解析] 利用通项公式求解．
∵Tr＋1＝Cr9(2x)9－r·－
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1 r x
＝(－1)r·29－rCr9·x9－32r，
∴令 9－32r＝0，得 r＝6.
∴T 常＝C96·(－1)6·23＝C93·23＝672.
[解析] 本题考查二项展开式的通项公式，以及二项展开 式中项的系数．
(x y－y x)4 的展开式中的第(r＋1)项 Tr＋1＝Cr4(－1)r(x y)4－r(y x)r
令 4－2r＝3，得 r＝2， ∴展开式中 x3y3 的系数为 C24(－1)2＝6.
• [例6] 试判断7777－1能否被19整除？
3．①Cknan－kbk 是二项展开式中的第 k＋1 项，不是第 k 项，a 与 b 不可随便更换；
②(a－b)n 的展开式通项为：Tk＋1＝Cknan－k(－b)k＝(－ 1)kCknan－kbk；
③取 a＝1，b＝x，则(1＋x)n＝1＋Cn1x＋C2nx2＋…＋ Crnxr＋…＋xn 在解题中是很有用的，要认真体会，熟练掌 握．
1．二项展开式的推导：(a＋b)n(n∈N*)是 n 个因式(a ＋b)的积，按多项式乘以多项式的法则，可知确定乘积 展开式中的每一项，需要看由多少个因式(a＋b)中取 a， 多少个因式(a＋b)中取 b，如果从 k 个因式中选取 b，则 就有 n－k 个因式中选 a.∴积式为 an－kbk(k＝0、1、2、…、 n)的形式的项共有 Ckn个．合并同类项后为 Cknan－kbk.
2．二项展开式的特点： ①它有 n＋1 项； ②各项的次数即 a 与 b 的指数的和都等于二项式的 次数 n； ③字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到 0；字母 b 按升幂排列，次数由 0 递增到 n； ④展开式中系数 Ckn(k＝0、1、2、…、n)叫做第 k＋1 项的二项式系数，它们仅与二项式次数 n 有关．
3 x＋ 1x4＝(3x＋ x2 1)4 ＝x12(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)
＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
• [点评] 解法2形式较为简单，在展开二项 式之前应根据二项式的结构特征进行必要 变形，这是使运算求得简化的途径．如求 (1－x)5·(1＋x＋x2)5的展开式，可根据anbn ＝(ab)n将原式变为(1－x3)5再展开较为方 便．记准、记熟二项式(a＋b)n的展开式， 是解答好与二项式定理有关问题的前提条 件，对较复杂的二项式，有时先化简再展 开会更简便．
(2)利用通项公式． ∵(1＋x)2 的通项为 Tr＋1＝Cr2·xr， (1－x)5 的通项 Tk＋1＝(－1)k·Ck5·xk. 其中 r∈{0,1,2}，k∈{0,1,2,3,4}． 令 k＋r＝3，则有kr＝＝21 ，或kr＝＝12 或kr＝＝03 . ∴x3 的系数为－C15＋C12·C25－C53＝5.
• 3．(2010·江西文，3)(1－x)10展开式中x3项 的系数为
• A．－720 • C．120 • [答案] D
•( ) B．720
D．－120
[解析] 本题考查了二项式展开定理，要认清项的系数与 二项式系数的区别 C310(－x)3＝－C130x3，故选 D.
二、填空题
4.2x－
• 1．二项式定理
• 公式(a＋b)n＝ 式定理．
所表示的规律叫做二项
• 2．(1)(a＋b)n的二项展开式中共有 n＋1 项．
• (2)二项式系数：
；
• (3)二项展开式的通项公式： (其中0≤k≤n，k∈N，n∈N＋)它是展开
式的第 k＋1 项．
[例 1]
求3
x＋
1 4 x
(－x－1)8
＝x8－8x6＋28x4－56x2＋70－5x62 ＋2x84 －x86＋x18.
[例 2] 设 n 为自然数，化简 Cn0·2n－C1n·2n－1＋…＋(－
1)k·Ckn·2n－k＋…＋(－1)n·Cnn.
• [分析] 由题目可获取以下主要信息： • ①展开式中“＋”与“－”相间隔； • ②2的指数最高为n，依次递减至0且每一
• [点评] 二项式的展开式的某一项为常数项， 就是这项不含“变元”，一般采用令通项Tr ＋1中的变元的指数为零的方法求得常数 项．
2x3＋
1 7 x
的展开式中常数项是(
)
A．14 B．－14
C．42 D．－42
[答案] A
[解析] 设 Tr＋1＝Cr7(2x3)7－r· 1xr＝27－r·Cr7·x21－72r. 令 21－72r＝0，得 r＝6.∴常数项为 2C67＝14.
• 1．3 二项式定理
• 1．3.1 二项式定理
• 1．理解用组合知识推导二项式定理，弄 清其运用范围．
• 2．理解通项的意义并会灵活应用．
• 3．区分项的系数与二项式系数．
• 4．会正用、逆用定理来解决一些简单的 问题．
• 本节重点：二项式定理的推导及通项公 式．
• 本节难点：如何利用计数原理推导出二项 展开式．
• [分析] 由题目可获取以下主要信息：
• ①76是19的倍数；
• ② 7777 ＝ (76 ＋ 1)77 可 用 二 项 式 定 理 展 开．解答本题可用二项式定理求得(76＋ 1)77－1能被19整除．
[解析] 7777－1＝(76＋1)77－1 ＝7677＋C717·7676＋C277·7675＋…＋C7767·76＋C7777－1 ＝76(7676＋C1777675＋C7277674＋…＋C7767) 由于 76 能被 19 整除，因此 7777－1 能被 19 整除．
项的指数等于对应的组合数的下标与上标 的差．
• 解答本题可先分析结构形式，然后逆用二 项式定理求解．
[解析]
原
式
＝
C
0 n
·2n·10
－
C
1 n
2n
－
1·11
＋
…
＋
(
－
1)k·C
k n
2n
－
k
＋…＋(－1)n·Cnn·20＝(2－1)n＝1.
• [点评] 解决这类问题要注意分析其结构 特点，a的指数是从高到低，b的指数是从 低到高，且a、b的指数和等于二项式的次 数n，正负相间是(a－b)n的形式，本例中，
求(x2＋x12－2)4 的展开式． [解析] (x2＋x12－2)4
＝(x－1x)8＝(x－x－1)8
＝
C
0 8
x8
＋
C
1 8
x7·( －
x
－
1)1
＋
C
2 8
x6·( －
x
－
1)2
＋
C
3 8
·x5·( －
x
－
1)3
＋
C48·x4·(－x－1)4＋C58·x3·(－x－1)5＋C68·x2·(－x－1)6＋C87·x(－x－1)7＋C88
几？(提示：转化为寻求对于任意自然数 n,23n＋3＋7n＋5被7除的余数)
[解析] 由于 23n＋3＋7n＋5＝8n＋1＋7n＋5 ＝(7＋1)n＋1＋7n＋5 ＝7n＋1＋Cn1＋17n＋C2n＋17n－1＋…＋Cnn＋17＋Cnn＋ ＋11＋7n＋5 ＝7(7n＋Cn1＋17n－1＋C2n＋17n－2＋…＋Cnn＋1＋n)＋6. 由此 23n＋3＋7n＋5 被 7 除所得余数为 6. ∴对于任意自然数 n，经过 23n＋3＋7n＋5 天后的那一天是 星期日．
[例 3] [分析]
求二项式x2＋2
1
10
x
的展开式中的常数项．
展开式中第 r＋1 项为 Cr10(x2)10－r21 xr，要使得
它是常数项，必须使“x”的指数为零，依据是 x0＝1，x≠0.
[解析] 设第 r＋1 项为常数项，则 Tr＋1＝Cr10(x2)10－r·21 xr＝Cr10x20－52r·12r(r＝0,1…，10)． 令 20－52r＝0，得 r＝8， ∴T9＝C810·128＝24556. ∴第 9 项为常数项，其值为24556.