第四章 4.2 4.2.1 4.2.2 第二课时 指数函数的图象和性质的应用2019(秋)数学 必修 第一册 人教A版(新教)

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2.解指数不等式的类型及应注意的问题 (1)形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，要对a分 为0<a<1和a>1两种情况分类讨论. (2)形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax 的单调性求解. 3.函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧 当a>1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相同，当0<a<1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相反.
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题型二 指数型函数的定义域、值域问题 定义域是指函数有意义的x的范围
【例 2】 (1)函数 f(x)＝ 1－2x＋ x1＋3的定义域为(
)
A.(－3，0]
B.(－3，1]
C.(－∞，－3)∪(－3，0] D.(－∞，－3)∪(－3，1]
(2)函数 f(x)＝13x－1，x∈[－1，2]的值域为________. (3)函数 y＝4x＋2x＋1＋1 的值域为________.
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∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， ∴y＝13u，u∈[－1，＋∞)， ∴0<13u≤13－1＝3， ∴原函数的值域为(0，3].
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规律方法 1.比较幂值大小的三种类型及处理方法
较数的大小、解不等式.
算及数学抽象素养.
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教材知识探究
电视剧《西游记》中的孙悟空，是我们老幼观众都喜爱的除妖英雄，他的如意金箍 棒更是神奇无比，说大就大，说小就小.假设他手中的金箍棒长1.8米，他喊一声变， 就将金箍棒变为原来的2倍，那么孙悟空喊多少声“变”能将金箍棒变得比珠穆朗 玛峰还高？
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2.如何判断形如y＝f(ax)(a>0，a≠1)的函数的单调性？ 提示 (1)定义法，即“取值－作差－变形－定号”.其中，在定号过程中需要 用到指数函数的单调性；(2)利用复合函数的单调性“同增异减”的规律.
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题型一 指数函数图象的辨识 【例1】 如图所示是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，
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【训练1】 已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为( )
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解析 由于0<m<n<1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A，B，作直 线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C. 答案 C
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A.a<b<c
B.a<c<b
C.b<a<c
D.b<c<a
解析 (1)0.43<0.40＝1＝π0＝30<30.4，故选B.
(2)∵1.50.6>1.50＝1，0.60.6<0.60＝1，故1.50.6>0.60.6，又函数y＝0.6x在(－∞，＋∞)
上是减函数，且1.5>0.6，所以0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6，选C.
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1.底数与指数函数图象的关系 记忆口诀：y轴右侧，底大图高 (1)由指数函数 y＝ax 的图象与直线 x＝1 相交于点(1，a)可知，在 y 轴右侧，图象 从___下___到__上____相应的底数由小变大. (2)由指数函数 y＝ax 的图象与直线 x＝－1 相交于点－1，1a可知，在 y 轴左侧， 图象从下到上相应的底数___由__大__变__小___. 如图所示，指数函数底数的大小关系为 0<a4<a3<1<a2<a1.
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规律方法 指数型函数y＝af(x)的定义域、值域的求法 (1)定义域：函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同. (2)值域：①换元，t＝f(x). ②求t＝f(x)的定义域为x∈D. ③求t＝f(x)的值域为t∈M. ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域.
答案 (1)B (2)C
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方向 2 解简单的指数不等式 【例 3－2】 (1)不等式123x－1≤2 的解集为________. (2)已知 a－5x>ax＋7 (a>0，且a≠1)，求x的取值范围.
当底数为字母时，通常分为a>1或0<a<1两种情况进行讨论 (1)解析 ∵2＝12－1，∴原不等式可化为123x－1≤12－1，∵函数 y＝12x在 R 上是减函数，∴3x－1≥－1，∴x≥0，故原不等式的解集是{x|x≥0}.
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【训练 2】 求下列函数的定义域和值域：
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(1)y＝2x－4；(2)y＝ 1－2x；
(3)y＝12x2－2x－3；(4)y＝5
1
2x－4.
解 (1)由x－4≠0，得x≠4，
1
故 y＝2x－4的定义域为{x|x∈R，且 x≠4}.
又x－1 4≠0，即
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π－3<π3.
答案 <
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[微思考] 1.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性取决于哪个量？
提示 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性与其底数a有关，当a>1时，y＝ax 在定义域上是增函数，当0<a<1时，y＝ax在定义域上是减函数.
1
2x－4>1，故函数的值域为{y|y>1}.
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题型三 指数函数单调性的应用 方向1 比较两数的大小 利用指数函数的单调性求解 【例3－1】 (1)下列大小关系正确的是( )
A.0.43<30.4<π0 B.0.43<π0<30.4
C.30.4<0.43<π0 D.π0<30.4<0.43 (2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
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解析 (1)由题意得自变量 x 应满足1x＋－32>x≥0，0，解得－3<x≤0. (2)∵－1≤x≤2，∴19≤13x≤3，∴－89≤13x－1≤2，∴值域为－89，2. (3)函数的定义域为R，又y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2，易知2x>0，故 y>1，即函数的值域为(1，＋∞). 答案 (1)A (2)－89，2 (3)(1，＋∞)
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问题 (1)你能写出金箍棒长度y与孙悟空喊的次数x之间的函数关系吗？ (2)若喊一声“变”，就将金箍棒变为原来的3倍呢？与第一种情况相比，哪种情 况金箍棒增长的更快？ 提示 (1)y＝1.8×2x(x∈N*). (2)y＝1.8×3x(x∈N*). 通过画出y＝1.8×2x与y＝1.8×3x的图象可观察得出y＝1.8×3x增长的更快.
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【训练 3】 比较下列各组数的大小：
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(1)56－0.24与56－4；(2)1π－π与 1；
1
(3)(0.8)－2 与54－2. 解 (1)考查函数 y＝56x. ∵0<56<1，
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方向3 指数型函数的单调性 【例3－3】 求 f(x)＝13x2－2x 的单调区间，并求其值域.
复合函数的单调性利用“同增异减”求解
解 令 u＝x2－2x，则原函数变为 y＝13u. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增， 又∵y＝13u在(－∞，＋∞)上递减， ∴y＝13x2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减.
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3.与指数函数复合的函数单调性 一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质有： (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有 相同 的定义域. (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有 相同 的单调性；当0<a<1时， 函数y＝af(x)与y＝f(x)具有 相反 的单调性.
答案 {x|x≥0}
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(2)解 当 a>1 时，∵a－5x>ax＋7，∴－5x>x＋7，解得 x<－76； 当 0<a<1 时，∵a－5x>ax＋7，∴－5x<x＋7，解得 x>－76.
综上所述，当 a>1 时，x<－76；当 0<a<1 时，x>－76.
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教材拓展补遗 [微判断] 1.y＝21－x是R上的增函数.( × )
提示 函数 y＝21－x＝12x－1是 R 上的减函数. 2.若0.1a>0.1b，则a>b.( × )
提示 因为0<0.1<1，∴y＝0.1x为减函数，∴由0.1a>0.1b得a<b. 3.由于y＝ax(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也
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2.解指数型不等式
(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的 单调性 求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再 借助y＝ax的 单调性 求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解.
第二课时 指数函数的图象和性质的应用
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课标要求
素养要求
1.进一步熟练掌握指数函数的图象、 1.通过例题进一步深入理解指数函数
性质.
的单调性及其应用，发展学生的逻辑
2.会求指数形式的函数定义域、值域、推理素养.
最值，以及能判断与证明单调性.
2.借助指数函数的性质，研究指数型
3.能够利用指数函数的图象和性质比 函数的相关问题，发展学生的数学运
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2.若2x＋1<1，则x的取值范围是________. 解析 ∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，∴x＋1<0，∴x<－1. 答案 (－∞，－1)
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3.比较大小：π－43________1π－3.
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解析
因为1π－3＝π43，所以利用指数函数的单调性有
c，d与1的大小关系是( ) A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 解析 在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上底数依次增大.由指数函数图象的升 降，知c>d>1，b<a<1，所以b<a<1<d<c. 答案 B
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规律方法 解决指数函数图象问题的注意点 (1)熟记当底数a>1和0<a<1时，图象的大体形状. (2)在y轴右侧，指数函数的图象底大图高.
组不成具有பைடு நூலகம்偶性的函数.( × ) 提示 函数y＝ax＋a－x是偶函数.
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[微训练] 1.函数 y＝2 x－1的定义域为________，值域为________.
解析 由 x－1≥0 得 x≥1，因为 x－1≥0，所以 y≥1. 答案 [1，＋∞) [1，＋∞)
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∴12x2－2x－3≤12－4＝16.
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又∵12x2－2x－3>0，
故函数 y＝12x2－2x－3的值域为(0，16]. (4)由2x－4>0，得x>2，故函数的定义域为{x|x>2}，
因为
2x1－4>0，所以 y＝5
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2x－4≠1.
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故 y＝2x－4的值域为{y|y>0，且 y≠1}.
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(2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0， ∴y＝ 1－2x的定义域为(－∞，0]. 由0<2x≤1，得－1≤－2x<0，∴0≤1－2x<1， ∴y＝ 1－2x的值域为[0，1). (3)y＝12x2－2x－3的定义域为 R. ∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，