精品解析：黑龙江省哈三中2012届高三10月月考数学(理)试题解析(教师版)

哈三中2011—2012学年度高三十月月考
数学试卷解析（理工类）（解析版）
考试说明：本试卷分第I 卷（选择题)和第II 卷（非选择题）两部分，
满分150分,考试时间120分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂， 非选择题必须使用
0。

5毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整, 字迹清楚;
（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出
答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；
（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准
使用涂改液、刮纸刀．
第I 卷 （选择题， 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给
出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．）
1. )510cos(︒-的值为
A. 23
B.
2
3
-
C.
2
1
D.
2
1-
【答案】B
【解析】..2
3
150cos )150360cos(510cos )510cos(B 选∴-
=︒=︒+︒=︒=︒-
2. 下列各数集及对应法则,不能构成映射的是 A. {}Z n n x ∈∈|2,{}Z n n y ∈+∈|12,1:-=→x y x f
B. Z x ∈，{}Z n n y ∈∈|2，x y x f 4:=→
C.
N x ∈，Q y ∈，x
x y x f 1
:+=
→ D 。

⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈43,4ππx ，[]2,0∈y ，x y x f sin :=→
【答案】C
【解析】.1:0不能构成映射下没有像，
在对应中元素∴+=→∈x
x y x f N x 故选C 。

3. 扇形的中心角为︒120，半径为3，则此扇形的面积为
A 。

π
B 。

4
5π C 。

3
3π
D 。

2
9
32π 6.
已知
3
3
)6cos(-=-πx ,则=-+)3cos(cos πx x A.3
32
- B.
3
32±
C. 1-
D.1±
【答案】C
【解析】,3
3sin 21cos 2333)6
cos(-=+∴-
=-x x x π ..1)3
3
(3)sin 21cos 23(3sin 23cos 23)3cos(cos C x x x x x x 选∴-=-⨯=+=+=-+π
7. 已知集合⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧∈==Z k k x x A ,6
sin π，集合⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧∈==Z k k x x B ,6
cos π
,则A 与B 的关系
是 A 。

φ=⋂B A B. B A ⊆ C. A B ⊆ D 。

B A =
【答案】D 【解析】
.,,6
cos 6)3(cos 6)3(cos )62cos(6sin
D B A k k Z k k k k x 故选，且=∴=-∴∈-=-==π
πππππ 8.
已知3
4tan =α，且α为第三象限角，则2cos α
的值为
A 。

5
5
B.
5
52-
C 。

5
5±
D.
5
5
2±
【答案】C
【解析】3
4tan =α ，且α为第三象限角
..5
5
2cos 12cos ,53cos C 故选±=+±=∴-=∴ααα
9。

已知函数m x A y ++=)sin(ϕω的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π，直线6π=x 是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是
A 。

)6
2sin(4π
+=x y B.2)62sin(2++-=π
x y
C 。

2)3
sin(2++-=πx y
D.
2)3
2sin(2++
=π
x y
【答案】B
【解析】因为最小正周期为π，所以，22==π
π
ω又函数最大值为4，最小
值为0，A+m=4,—A+m=0,22=-=∴m A ，，而对称轴为6
π=x ，.6
B 选，
∴=πϕ 10. 已知函数2sin y x =的定义域为[]b a ,，值域为[]1,2-,则a b -的值不可能是 ］ A 。

6
5π
B 。

6
7π
C 。

3
4π D 。

2
3π
【答案】D
【解析】因为值域为[]1,2-，所以
.2
3,,62672,21sin 1-πππππ不可能是取值得分别给a b k z k k x k x -∈+≤≤-∴≤
≤ 故选D 。

11. 现有四个函数①x x y sin ⋅= ②x x y cos ⋅= ③|cos |x x y ⋅= ④x
x y 2⋅=的部分
图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是
A.
①④②③ B. ①④③② C 。

④①②③
D 。

③④②① 【答案】A
③若角α的
终边上一点P 的坐标为∴-=-⎪⎭
⎫ ⎝
⎛2
3
sin )23,2
1
65cos ,6
5sin
αππ 在第四象限，即（角α的最小正值为53π
，正确;
④将函数)3
2cos(22sin 32cos π
-=+
=x x x y 的图象向左平移
6π个单位可得函数
x y 2cos 2=的图象，正确。

故选D.
第Ⅱ卷 （非选择题， 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分，将答案填在题后的横线上。

） 13. 函数2
11tan )(x x x f -+-=
的定义域为________.
【答案】⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡1,4π
【解析】⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈∴⎪⎩
⎪⎨⎧
≤≤-+<≤+∴⎩⎨⎧≥-≥-1,41124,0101tan 2πππππx x k x k x x
30°
θB
P
O
A
14. 在ABC ∆中,c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，如果a c 3=,︒=30B ,那么角C 等
于________。

【答案】3
2π 【解析】
.
3
2,3tan ,sin 23cos 23sin ),
150sin(3sin 3sin 3π=∴-=∴+=∴-︒==∴=C C C C C C A C a c
15。

已知函数()ϕω+=x y cos [))2,0,0(πϕω∈>的部分图象
如右图所示，则ϕ的值为________。

【答案】47π
【解析】
），，图像过（，又08322,2)8387(
π
ππωπππ ==∴=⨯-=T
[).4
7,2,00)832cos(π
ϕπϕϕπ=∴∈=+⨯∴且
16.
若方程
44=-+ax x 的各个实根
k x x x ,,,21 )
4(≤k 所对应的点
)4
,
(i
i x x ),,2,1(k i =均在直线x
y =的同侧，则实数a 的取值范围是
__________。

【答案】()()+∞⋃-∞-,66, 【解析】
.66,2
4
22
4
)2(),2,2)2,24
,4043334-<>∴>
+->+-=--===
+∴=-+a a a a x y x
y x y x a x ax x 或或的同侧，则满足要是交点都在直线和（（交点为和双曲线直线又
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出
文字说明,证明过程或演算步骤．） 17. (本小题满分12分）
现有四分之一圆形的纸板(如右下图），︒=∠90AOB ，圆半径为1，要裁剪成四边形OAPB ，且满足OB AP //，︒=∠30OAB ，θ=∠POA ，记此四边形的面积为()θf ，求()θf 的最大值． 【答案】
3
4
【解析】依题意：
()1
2
OAPB S OB AP OA =
+⋅ 已知函数
22()3sin 2sin cos 3cos f x x x x x ωωωω=-+⋅+，其中0ω>，且()x f 的最小正周期为π。

（Ⅰ） 求()x f 的单调递增区间；
(Ⅱ） 利用五点法作出()x f 在⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-65,6
ππ上的图象。

【答案】（1）()f x 的单调递增区间为5,12
12k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝
⎭
，k Z ∈
（2）()x f 在⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-65,6
ππ上的图象如图。

【解析】（1)()3cos2sin 2f x x x ωω=
+2sin(2)3
x π
ω=+
∵周期为π ∴1ω= ∴()2sin(2)3
f x x π=+ ∴()f x 的单调递增区间为
5,1212k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
，k Z ∈
（2)列表如下：
23
x π
+
2π
π
32π 2π
x 6
π
-
12
π 3
π 712
π 56
π y
0 2
2-
作图如下：
19. （本小题满分12分）
在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别a 、b 、c ，已知5a b +=，7c =，
且12cos sin 2sin 2sin
2
=+⋅+C C C C 。

（Ⅰ) 求角C 的大小; （Ⅱ) 求ABC ∆的面积。

6
π-
12
12
7π6
x
y
3
π
(Ⅱ）2221cos cos 322a b c C ab
π
+-===22
()22a b ab c ab +--=
又∵5a b +=，7c =
∴6ab =
∴113sin 62
2
2
S ab C ==⨯⨯
33
2= 。

即33
2
ABC
S
∆=。

[来
源：高＆考%资（源#网]
∴
22
k π
θφπ-=+时y
此时22
k πθπφ=++,cos sin θφ=-=，sin cos 5
θφ==
∴最高点坐标为
(5
-；
(2)∵
3
2cos cos sin 4θθθ--+=3
2cos )404
π
θθ++>
∴3
sin 2cos 2cos cos sin 4y θθθθθ=-+--+
=3
2cos 3cos 4θθ-+
令[]cos 1,1t θ=∈-
则3
234y t t =-+ 则2
630y t
'=-=得t = 则
∴最高点为
(42
-
［来源:高&考％资（源
＃网 ］
21. （本小题满分12分)
已知函数()x
a x
x f sin cos += （a 为实数）
（Ⅰ) 当2=a 时，求函数()x f 的单调递增区间;
若1-=a ，
则()0≤'x f 恒成立，()02=⎪⎭⎫
⎝⎛-<πf x f ，而()0>x g ，故()()x g x f <成立
若1-<a ，令()a x x f 1
sin 0-=⇒='，
a x 1
sin 1-<<-,()0<'x f ，()x f 递减；1sin 1
<<-x a ，()0>'x f ,()x f 递增，又022=⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫
⎝⎛-ππf f ,()0<x f ，而()0>x g ，故()()x g x f <成立
11.当π6
>a 时，令()()()x g x f x F -=
()()22
2
sin 33
4
32sin x a a a x x F +-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-='
若2≥a ，则()0>'x F ，而02=⎪⎭⎫
⎝⎛πF
∴()()x g x f <<0，此时成立
若26<<a π，设()1,1,sin -∈=t t x ，令()343222
-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a t t G ()4
33202
a a t t G -±=⇒=，由26
<<a π知4143322a a a +->- 即214332a a ->-，∴14
3322>-+a a ，又()1,043322
∈--a a ∴)4
332,0(2a a t --∈,()0>t G )1,4
332(2
a a t --∈,()0<t G ∴()x F 先增后减，而02=⎪⎭⎫ ⎝⎛πF ，必存在0x 使()00
>x F ，不成立 综上，(][)+∞⋃-∞-∈,21,a
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分）
选修4—1：几何证明选讲
如图，CB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，AP 与CB 的延长线交于点P ，
A 为切点．
若10=PA ，5=PB ，BAC ∠的平分线AE 与BC 和⊙O 分别交于点D 、E ，求AE AD ⋅的值．
22.【证明】证明:连结CE ，PC PB PA ⋅=2 ,10=PA ，5=PB ,
C E P
20=
PC ,15=BC ．
PA 与⊙O 相切于点A ，ACP PAB ∠=∠∴，
PAB ∆∴∽PCA ∆，21
==∴PA PB AC AB ．
BC 为⊙O 的直径，︒=∠∴90CAB ，
225222==+BC AB AC ．
可解得56=AC ,53=AB ．
又AE 平分BAC ∠，EAB CAE ∠=∠∴,
又E ABC ∠=∠ ，ACE ∆∴∽ADB ∆,
AC AD
AE AB
=∴
905653=⨯=⋅=⋅AC AB AE AD
23. （本小题满分10分）［来源：高＆考%资（源＃网KS5U 。

COM]
选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线⎩⎨⎧==ϕϕ
sin 3cos 4:y x C （ϕ为参数）．
(Ⅰ）将C 的方程化为普通方程；
（Ⅱ）若点),(y x P 是曲线C 上的动点，求y x +2的取值范围． C P
【解析】（Ⅰ）2|4||3|2<-+-x x , ① 若4≥x ,则2103<-x ,4<x ,∴舍去．
② 若43<<x ，则22<-x ，43<<∴x ． ③ 若3≤x ，则2310<-x ，338≤<∴x ． 综上，不等式的解集为}43
8|{<<x x ． （Ⅱ）设|4||3|2)(-+-=x x x f ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧≤-<<-≥-=3,3104
3,24,103)(x x x x x x x f ，1)(≥∴x f
12>∴a ，21>a ．。