人教A版高中数学高二选修2-3 1.3杨辉三角---求展开式系数的六种常见类型

杨辉三角---求展开式系数的六种常见类型
求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。

一 、)()(*
∈+N n b a n 型
例1．10()x 的展开式中64
x y 项的系数是（ ）
（A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210
解析：在通项公式1r T +=1010()r
r r C x -中令r =4，
即得10()x 的展开式中64x y
项的系数为4410(C =840,故选A 。

例2．8)1(x
x -
展开式中5x 的系数为 。

解析：通项公式r r r
r r
r
r x
C x
x
C T 2
388
88
1)1()1(--+-=-
= ，由题意得52
3
8=-
r ，则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(282=-C 。

评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。

二 、),()()(*
∈+±+N m n d c b a m
n
型
例3．8
43)1()2(x
x x x +
+-的展开式中整理后的常数项等于 .
解析；342()x x
-的通项公式为3412414
42()()(2)r r r r
r r r T C x C x x --+=-=-,令0412=-r ，则3=r ,这时得342()x x -的展开式中的常数项为33
42C -=－32, 81()x x
+的通项公式为
8821881()k k k k k k T C x C x x --+==,令028=-k ，则4=k ,这时得81
()x x
+的展开式中的常数
项为4
8C =70，故843)1()2(x
x x x ++-的展开式中常数项等于387032=+-。

例4．在6
5
)1()1(x x ---的展开式中，含3
x 的项的系数是（ ）
(A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 10
解析：5)1(x -中3x 的系数35C -=10-, 6)1(x --中3
x 的系数为336(1)C -⋅-=20,
故6
5)1()1(x x ---的展开式中3
x 的系数为10,故选D 。

评注：求型如),()()(*
∈+±+N m n d c b a m
n
的展开式中某一项的系数，可分别展开
两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数。

三 、),()()(*
∈++N m n d c b a m n 型
例5．7
2)2)(1(-+x x 的展开式中3
x 项的系数是 。

解析：7)2(-x 的展开式中x 、3
x 的系数分别为617)2(-C 和437)2(-C ，故72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数为617
)2(-C +437)2(-C =1008。

例6．()()8
11x x -+的展开式中5
x 的系数是（ ）
（A ）14- （B ）14 （C ）28- （D ） 28 略解：8
)1(+x 的展开式中4x 、5x 的系数分别为48C 和5
8C ,故()()8
11x x -+ 展开式中
5x 的系数为458814C C -=,故选B 。

评注：求型如),()()(*
∈++N m n d c b a m
n
的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式乘法求得所求项的系数。

四 、)()(*∈++N n c b a n
型 例7．5)21
2(
++x
x 的展开式中整理后的常数项为 . 解法一：5
)212(++x x =5
2)12(⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++x x ，通项公式521512()2k
k k k x T C x -+=+,
51
()2k x x
-+的通项公式为5(5)152r r k r k r r k T C x x ------+-=52552r r k k r k C x --+--=,令025=--k r ，则52=+r k ，可得2,1==r k 或1,3==r k 或0,5==r k 。

当2,1==r k
时，得展开式中项为1122
2
5
4
22
2
C C -=
； 当1,3==r k 时,
，得展开式中项为31
1522C C -= 当0,5==r k
时，得展开式中项为55C =。

综上，5)21
2(
++x
x
+=。

解法二：5
)212(++x x =52)2222(
x x x ++=[]
5
5
2)2()2(x x +=5
10
)
2()2(x x +，对于二项式10)2(+x 中，r r
r r x C T )2(10101-+=，要得到常数项需510=-r ，即5=r 。

所以，常数
项为22
632
)2(5
5510=⋅C 。

解法三：5)212(
++x x 是5个三项式1
(2x x
+相乘。

常数项的产生有三种情况：
在5个相乘的三项式1(2x x ++中，从其中一个取2x ，从另外4个三项式中选一个取1
x
，
从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可得1133
54312
C C C ⋅⋅⋅⋅=2x ，从另外3个三项式中选两个取1
x
，从剩余的1个三项式中取常数项相乘，可得
222531()2C C ⋅⋅=5个相乘的三项式1(2x x
++中取常数项相乘，可得
5
55C ⋅=。

综上，5)21
2(
++x
x 的展开式中整理后的常数项为22++=。

评注：解法一、解法二的共同特点是：利用转化思想，把三项式转化为二项式来解决。

解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法原理和乘法原理，这种方法可以直接求展开式中的某特定项。

五 、1
()()
()(,,1)m
m n a b a b a b m n N m n +*++++
++∈≤< 型
例8．在6
2
)1()1()1(x x x ++++++ 的展开式中，2
x 项的系数是 。

（用
数字作答）
解析：由题意得2
x 项的系数为352625242322=++++C C C C C 。

例9．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3
的项的系数是( ) (A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121
解析：(1－x )5
＋(1－x )6
＋(1－x )7
＋(1－x )8
=
5459
(1)[1(1)](1)(1)1(1)x x x x x x
------=-- 5)1(x -中4x 的系数为455C =，9)1(x --中4x 的系数为－49126C =-,－126+5= －121,
故选D 。

评注：例8的解法是先求出各展开式中2x 项的系数，然后再相加；例9则从整体出发，把原式看作首相为(1－x )5
，公比为(1－x )的等比数列的前4项和，用等比数列求和公式减少项数，简化了运算。

例
8
和例
9
的解答方法是求
1()()()(,,1)m m n a b a b a b m n N m n +*++++
++∈≤<的展开式中某特定项系数的两种
常规方法。

六 、求展开式中若干项系数的和或差
例10．若2004200422102004...)21(x a x a x a a x ++++=-)(R x ∈，
则_______)()()()(20040302010=++++++++a a a a a a a a 。

(用数字作答)
解析：在2004200422102004
...)
21(x a x a x a a x ++++=-中，令0=x ，则10=a ，
令1=x ，则1)
1(2004
20043210=-=+++++a a a a a 故)()()()(20040302010a a a a a a a a ++++++++ =20030a +200420043210=+++++a a a a a 。

例11．423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2312420)()(a a a a a +-++的值为（ ）
(A) 1 (B) －1 (C) 0 (D) 2
解析：在423401234(2x a a x a x a x a x =++++中，
令1=x ，可得=++++43210a a a a a 4
)32(+， 令1-=x ，可得=+-+-43210a a a a a 4
)32(-
所以，2312420)()(a a a a a +-++=))((3142031420a a a a a a a a a a --++++++
=))((4321043210a a a a a a a a a a +-+-++++=4)32(+4
)32(-=1,故选
A 。

评注：求展开式中若干项系数的和或差常采用“赋值法”。

赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的，它普遍适用于恒等式，是一种重要的解题方法。

实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显，巧赋特值可减少运算量。