用空间向量研究夹角问题(公开课)

3.如图，在长方体 − 1 1 1 1 中，已知 = 6, =
3, 1 = 2，求平面1 与平面夹角的大小和二
面角1 − − 的大小．
【证明】以为原点，为轴，为轴，1 为轴，建立空间直角坐标系，
1 (0,0, 2), ( 3, 0,0), (0, 6, 0)，1 = ( 3, 0, − 2), 1 = 0,
【例 3】正方体 − 1 1 1 1 的棱长为1，点, 分别为, 1 的
中点，求平面与平面夹角的余弦值．
【解析】以为原点，为轴，为轴，1 为轴，建立空间直
角坐标系，
依题意得 0,0,0 ， 0,1,
=
1
2
, 1,0 ， = 0,1,
【答案】
10
10
【解析】以∵ 是圆柱底面圆的一条直径，∴ ∠ = 90∘ ，
∵ = = 2，∴ ∠ = 45∘ ，
∵ //，∴ ∠ = 90∘ ；
∵ 是圆柱的底面圆的直径，∴ ∠ = 90∘ ，
又∠ = 45∘ ，∴四边形为正方形，设 = 2，
如图建立空间直角坐标系 − ，
可知( 2, 0,0)，(0, 2, 0)，(0,0,2)，( 2, 2, 0)，
设平面的法向量为 = (, , )， = (− 2, 2, 0)，
= (− 2, 0,2)，
− 2 + 2 = 0

⋅

=
0
∴
，即
，
⋅ = 0
2
所以平面与平面夹角的余弦值为 ．
3
| ∙ |
| |⋅| |
2
= ，
3
【规律方法】
用向量法求平面与平面夹角的步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出二面角两个半平面所在平面的法向量；
(3)求两个法向量的夹角；
(4)法向量夹角或其补交就是两平面的夹角（不大于 90°的角）.
【跟踪训练】
⋅
| || |
=
1
1× 2
=
2
2

，则两平面的夹角为 ．
4
二、知识回顾
知识点1 空间中两异面直线的夹角
若异面直线 l1，l2 所成的角为，其方向向量分别是, ，则
⋅
⋅
= ⟨, ⟩ =
=
⋅
⋅
知识点2 空间中直线与平面的夹角
直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的
3
=
2+1+3
2
∘
，∴

=
45
．
2
∴平面1 与平面夹角为45∘，二面角1 − − 为135∘.
6, − 2 ，
四、当堂检测
1.在如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC=3，BC=4，CC1=3，∠ACB=90°，
则 BC1 与 A1C 所成的角的余弦值为(
A．
3 2
类似于两条异面直线所成的角，若平面，的法向量分别是1 和2 ，
则平面与平面的夹角即为向量1 和2 的夹角或其补角.设平面与平
面的夹角为，则
1 ⋅ 2
1 ⋅ 2
= ⟨1 , 2 ⟩ =
=
1 ⋅ 2
1 ⋅ 2
三、题型探究
题型一 求两条异面直线所成的角
则直线与平面1 所成角的正弦值是(
)
【证明】如以1 为原点，1 1 , 1 1 , 1 分别为, , 轴，建立空
间直角坐标系
显然平面1 的法向量1 = (1,1,1)，
1
1
2
2
(0,0,1)，( , 1,1)， = ( , 1,0)，
cos < 1 , >=
2
×
12 + −1
2
+ 22
2 30
=
15
3.在正方体 − ′ ′ ′ ′ 中，二面角 − ′ − ′ 的余弦值是(
1
A．
2
【答案】C
B．
1
2
1
C．
3
D．
1
3
)
【解析】如图，建立空间执教坐标系，设正方体的棱长为 1，
有 0,0,0 , 1,0,0 , 0,1,0 , ′ 1,1,1 , ′ (0,0,1)
⋅ ′ ′ = + = 0
1
2
1
2
，
，
1
2
, 1,0 ，
设平面的法向量 = (, , )，
1
则
⋅ = + = 0
2
1
⋅ = + = 0
，取 = −1，得 = 2, −1,2)，
2
易知平面的法向量 = (0,0,1)，
设平面与平面的夹角为，则cos⁡ =
法向量.
(3)步骤：①建立坐标系；②求直线的方向向量 ；③求平面的法
向量；④设线面角为，则sin =
⋅

【跟踪训练】
2.如图，已知是圆柱底面圆的一条直径，是圆柱的一条母
线，为底面圆上一点，且//， = = 2，则直
线与平面所成角的正弦值为______.
− 2 + 2 = 0
取 = 2，则 = ( 2, 2, 1)，
又 = ( 2, 2, −2)，设直线与平面所成角为，
∴ sin⁡ = |cos < , > | =
| ⋅ |
| |⋅| |
=
10
10
，
所以直线与平面所成角的正弦值为
10
10
．
题型三 平面与平面的夹角
CA1 BC193 2 Nhomakorabea
所以 cos CA1 , BC1
，
10
CA1 BC1 3 2 5
所以直线 BC1 与 A1C 所成角的余弦值为
3 2
．
10
2.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，AB∥DC，AB∥DC ，
= = =
弦值为______.
设平面1 的法向量 = (, , )，
则
⋅ 1 = 3 − 2 = 0
，取 = 2，得 = ( 2, 1, 3)，
⋅ 1 = 6 − 2 = 0
易知平面的法向量 = 0,0,1 ，
设平面1 与平面夹角为，
| ⋅ |
则cos⁡ = | |⋅| | =
(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；
(4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角.
【跟踪训练】
1. 如图，﹣1 1 1 是直三棱柱，∠ = 90°，点、分别
是1 1 、1 1 的中点，若 = = 1 ，则与所成角的
余弦值为________．
1
+1
2
5
3⋅ 2
=
3
15
=
15
5
，
由直线与平面1 所成角的正弦值等于
|cos < 1 , > |，
故选：．
【规律方法】
求线面角的思路与步骤：
(1)思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质
及解三角形知识可求得夹角（或夹角的某一三角函数值）
(2)思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或
10
【答案】A
B．
3
3
)
C．
2
4
D．
5
5
【解析】如图，以 C 为坐标原点 CA,CB,CC1，分别为 x，y，z 轴建立空
间直角坐标系
则 C 0,0,0 ， A1 3,0,3 ， B 0, 4,0 ， C1 0,0,3 ，
所以 CA1 3,0,3 ， BC1 0, 4,3 ，
∴ cos⁡
⟨, ⟩ =
| || |
1
=3
3
×
2 2
1
3
4
2
1
2
．
1 + 1 + = ，|| =
1
=− ，
9
1
∴异面直线, 所成的角的余弦值为 ．
9
1
3
4
2
1+1+ = ，
【规律方法】
用坐标法求异面直线所成角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；
坐标系，则 3,0,0 ，1 0,0,4 ， 0,0,0 ，1 0,4,4 ，
所以1 = −3,0,4 ，1 = 0,4,4 ，1 ⋅ 1 = 16，|1 | = 5，
|1 | = 4 2，
因此异面直线1 与1 所成角的余弦值等于
cos < 1 , 1 > =
所以 = 1,0,1 , = 1, −1,0 , ′′ = (1,1,0)
设平面′ 的一个法向量为 = , , ，
平面′′的一个法向量为 = , ,
则
⋅ ′ = + = 0
， ⋅ ′ = + = 0
⋅ = − = 0
1.如图，在直三棱柱 − 1 1 1 中， ⊥ ， = 5, = 3，
1 = 4，则异面直线1 与1 所成角的余弦值为（
A．
5
5
【答案】D
B．2
5
5
C．
15
5
D．2
）
2
5
【答案】由题意可得， = 2 − 2 = 4，
以为坐标原点，向量，，1 方向分别为、、轴建立空间直角
【答案】
30
10
【解析】∵ − 1 1 1 直三棱柱，∠ = 90°，
∴以为原点，为轴，为轴，1 为轴，建立空间直角坐标系
点、分别是1 1 、1 1 的中点，设 = = 1 = 2，
则(0,2,0)，(2,0,0)，(1,1,2)，(1,0,2)，
【例 1】已知空间四点(0,1,0)， 1,0,
1
2
，(0,0,1)， 1,1,
则异面直线, 所成的角的余弦值为_______.
【答案】
1
9
1
2
，
【解析】设 = = 1, −1,
1
1
4
4
⋅
−4
1
2
, = = 1,1, −
⋅ = 1 − 1 − = − ，|| =
【答案】2 1530

2
，Q 为 PC 的中点，则直线 PC 与平面 BDQ 所成角的正
【解析】建立如图所示坐标系
设 DC=2 ，则 PD=AB=AD=1， = 5
0,0,1 , 0,2,0 , 1,1,0 , 0,1,
1
2
1
= 0,2, −1 , = 1,1,0 , = 0,1,
1.4.2用空间向量研究距离、
夹角问题-第二课时
（提升课）
学习目标
学科素养
1．能够用向量法解决线线角、线面 1．通过空间向量法的应用，提高数
角、面面角的问题.（重点）
学抽象、数学运算等核心素养．
2．能够体会用向量解决夹角问题的 2. 通过几何语言和数学语言的互
思路.
化，提高逻辑推理的核心素养.
一、课前自测
2
设平面 BDQ 的法向量为 = , , ，
+ =0
⋅ = 0
1
则
，即
，取 x=1，则 = 1, −1,2
+2 = 0
⋅ = 0
直线 PC 与平面 BDQ 所成角为，
sin =
⋅

=
0 × 1 + 2 × −1 + −1 × 2
22 + −1
故选：D.
1 ⋅1
1 ⋅ 1
=
16
5×4 2
=
2 2
5
.
2.已若直线的方向向量 = (1,0,1)，而平面的一个法向量
= (−1,1,0)，则直线与平面所成角等于_______.

【答案】
6
【解析】设直线与平面所成角为，则
= | < , > | =
夹角.如图，直线 AB 与平面相交于点 B，设直线 AB 与平面所成的角为，
直线 AB 的方向向量为，平面的法向量为，则
⋅
⋅
= ⟨, ⟩ =
=
⋅
⋅
知识点3 空间中平面与平面的夹角
如图，平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角
中不大于 90°的二面角称为平面与平面的夹角.
∙
∙
=

所以直线与平面所成角是6 .
1
2∙ 2
1
= ，
2
3.两平面的法向量分别为 = (0,1,0), = (0,1,1)，则两平面的夹角为
______.

【答案】
4
【解析】两平面的法向量分别为 = (0,1,0), = (0,1,1)，
所以cos⁡
⟨, ⟩ =
= (1, −1,2)， = (−1,0,2)，
设与所成角为，
则 =
| ⋅ |
| |⋅| |
=
3
6⋅ 5
=
30
10
∴ 与所成角的余弦值为
，
30
10
．
题型二 直线与平面所成的角
【例 2】如图，在棱长为1的正方体－1 1 1 1 中，为中点，