专题3-1-2 两条直线平行与垂直的判定-试题君之K三关2017-2018学年高一数学必修2 含解析 精品

3.1. 2 两条直线平行与垂直的判定
一、两直线平行
1．特殊情况下的两条直线平行的判定
两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为 ，故它们互相平行.
2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定
两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的 相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们 ，即1212l l k k ⇔=∥. 证明如下：
设两条直线12,l l 的斜率分别为12,k k .
如果12l l ∥(如图)，那么它们的倾斜角相等，即12αα=.∴12tan tan αα=,∴12k k =.
反过来，如果两条直线的斜率相等，即12k k =,那么12tan tan αα=. 由于11220180(90),0180(90)αααα≤<≠≤<≠ ，∴12αα=. 又两条直线不重合，∴12l l ∥. 二、两直线垂直
1．特殊情况下的两条直线垂直的判定
当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为 ，另一条直线的倾斜角为 时，两条直线互相垂直. 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ；反之，如果两条直线的斜率之积等于−1，那么它们互相 ，即1212=1l l k k ⇔-⊥. 证明如下：
设两条直线1l 与2l 的倾斜角分别为1α与2α.
如果12l l ⊥,这时12αα≠.否则12αα=,则12l l ∥,与12l l ⊥相矛盾. 设21αα<(如下图)，
图(1)的特征是1l 与2l 的交点在x 轴上方； 图(2)的特征是1l 与2l 的交点在x 轴下方；
图(3)的特征是1l 与2l 的交点在x 轴上，无论哪种情况下都有1290αα=+ . ∵1l ,2l 的斜率分别是12,k k ,且190α≠ ，∴20α≠ . ∴122
1
tan tan(90)tan ααα=+=-
.
∴12
1
k k =-
,即12=1k k -. 反过来，若12
1
k k =-
，即12=1k k -.不失一般性，设10k <，则1221tan tan(90)tan ααα=-=+ ,即
1290αα=+ ,
∴12l l ⊥
.
K 知识参考答案：
一、1．90° 2．斜率 平行 二、1．90° 0° 2．−1 垂直
K —重点 两条直线的平行、垂直关系，根据直线的位置关系求参数
K —难点 两条直线平行与垂直的综合应用 K —易错
忽略直线斜率的存在性致错
1．两条直线的平行关系
在判断两条直线是否平行时，首先应判断直线的斜率是否存在，然后根据斜率的关系进行判断，同时不要漏掉两条直线重合的情况.
【例1】根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2是否平行. (1)l 1经过点Α(2，1)，B (－3，5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1经过点E (0，1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3，4)，H (2，3)； (3)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点
，
；
(4)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0，5). 【解析】(1)由题意知，12514734
325835
，k k --+==-==----，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，
又()5344
3335
BC k --=
=-≠---，故l 1∥l 2.
(2)由题意知，121134
112023
，k k ---====---，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，
又()
()
41132FG k --=
=--，故直线l 1与直线l 2重合.
(3)由题意知，12233
tan 603321
，k k --=︒===--，则k 1＝k 2，
所以直线l 1与直线l 2平行或重合.
(4)由题意知l 1的斜率不存在，且不是y 轴，l 2的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以l 1∥l 2. 2．两条直线的垂直关系
判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于−1
即可，但应注意有一条直线与x 轴垂直，另一条直线与x 轴平行或重合时，这两条直线也垂直. 【例2】根据下列给定的条件,分别判断直线l 1与l 2是否垂直: (1)l 1经过点A (1,3),B (-1,-1),l 2经过点C (2,1),D (4,0); (2)l 1经过点E (-1,3),F (-1,-5),l 2经过点G (2,4),H (-1,4); (3)l 1的倾斜角为30°,l 2经过点M (1,
),N (2,0);
(4)l 1经过点P (2,-1),Q (3,4),l 2经过点R (5,2),S (0,1).
【思路点拨】若斜率均存在，求出斜率，利用12121l l k k ⇔=-⊥进行判断，注意数形结合及斜率不存在的特殊情况.
3．根据直线的位置关系求参数
已知两直线平行或垂直求解参数的相关问题时，首先需考虑直线的斜率是否存在，若斜率都存在，则依据斜率间的关系求解；若斜率不存在，则需注意特殊情形.此外，已知两直线垂直求解参数时，还需注意斜率是否为零.
【例3】已知直线1l 经过点(3,),(1,2)A a B a -,直线2l 经过点(1,2),(2,2)M N a -+. （1）若12l l ∥,求a 的值; （2）若12l l ⊥,求a 的值.
【解析】由题意知直线2l 的斜率存在且222213a a
k +-==---.
（1）若12l l ∥,则直线1l 的斜率也存在,又122134
a a
k a a --==---,
由12k k =,得
243
a a
a -=--,解得1a =或6a =. 经检验,当1a =或6a =时, 12l l ∥. （2）若12l l ⊥，当20k =时, 0a =,11
2
k =-
,不符合题意; 当20k ≠时,直线2l 的斜率存在且不为0,则直线1l 的斜率也存在，且121k k =-,即2134
a a a --
⋅=--,解得3a =或4a =-.
经检验，当3a =或4a =-时，12l l ⊥.
【例4】已知点A (−2，−5)，B (6，6)，点P 在y 轴上，且∠APB =90°，则点P 的坐标为 A ．(0，−6) B ．(0，7)
C ．(0，−6)或(0，7)
D ．(−6，0)或(7，0)
【答案】C
4．两直线平行和垂直的综合应用
利用直线平行与垂直的条件判断三角形或四边形的形状是常见题型，同时要熟知各种图形的特点及判定方法.证明两直线平行时，仅有斜率相等是不够的，注意排除两直线重合的情况. 【例5】已知(0,1),(1,0),(3,2),(2,3)A B C D ,试判断四边形ABCD 的形状. 【解析】由题意，可得01322031
1,1,1,110233120
AB CD BC DA k k k k ----==-==-====----, ∴,AB CD BC DA k k k k ==. ∴AB ∥CD ,BC ∥DA .
∴四边形ABCD 为平行四边形.
又1AB BC k k ⋅=-,
∴直线AB 与BC 垂直，即∠ABC =90°. ∴四边形ABCD 为矩形.
【思路点拨】画图直观猜想四边形ABCD 是矩形.要说明四边形ABCD 为矩形，只要计算,,,AB CD BC DA k k k k ,再结合两条直线平行、垂直的判定求解即可. 5．忽略直线斜率的存在性致错
【例6】已知(3,2),(24,4),(,),(3,32)A m B m C m m D m -----+,若直线AB CD ⊥，求m 的值. 【错解】由斜率公式知，42224(3)(1)AB k m m m -=
=------+,322(1)
3()3CD m m m k m m +-+==--+.
∵AB CD ⊥,∴1AB CD k k ⋅=-，即22(1)
1(1)3
m m m +⋅=--++，解得m =1,
∴m 的值为1.
【错因分析】漏掉了直线斜率不存在的情况.
【正解】∵A ,B 两点纵坐标不相等，∴AB 与x 轴不平行. ∵AB ⊥CD ,∴CD 与x 轴不垂直，3,3m m -≠≠-.
当AB 与x 轴垂直时，324m m --=--,解得1m =-,而1m =-时，C ,D 纵坐标均为1-，则CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ,满足题意.
当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式知，422
24(3)(1)
AB k m m m -=
=------+,
322(1)
3()3
CD m m m k m m +-+=
=--+.
∵AB ⊥CD ,∴1AB CD k k ⋅=-,即22(1)
1(1)3
m m m +⋅=--++,解得m =1.
综上，m 的值为1或1-.
【误区警示】对于含有参数的直线垂直问题，要分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，避免漏解.
1．下列命题：①若两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；②若两直线平行，则它们的斜率相等；③若两直线的斜率之积为−1，则它们垂直；④若两直线垂直，则它们斜率之积为−1.其中正确的为 A ．①②③④ B ．①③ C ．②④
D ．以上全错
2．直线1l 的斜率为2，12∥l l ，直线l 2过点()1,1-，且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为 A ．()3,0 B ．()3,0- C ．()0,3-
D ．()0,3
3．若直线l 经过点(a −2，−1)和(−a −2，1)，且与斜率为2
3
-
的直线垂直，则实数a 的值是 A ．23
-
B ．32
-
C ．
23
D ．
32
4．以A (5，−1)，B (1，1)，C (2，3)为顶点的三角形是 A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．以A 为直角顶点的直角三角形
D ．以B 为直角顶点的直角三角形
5．已知A (−4,2)，B (6，−4)，C (12，6)，D (2，12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥AD ；③AC ∥BD ；
④AC ⊥BD 中正确的个数为 A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
6．若不同两点P ，Q 的坐标分别为(),a b ，()()3,33b a a b --+≠，则线段PQ 的垂直平分线的斜率为
__________.
7．若l 1过点A (m ,1)，B (−3,4)，l 2过点C (0,2)，D (1,1)，且12l l ∥，则m =__________. 8．(1)已知直线经过点
经过点32,2R ⎛
⎫- ⎪⎝⎭,50,2S ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,试判断与是否平行?
(2)若的倾斜角为45°,经过点
,问与是否垂直？
9．当m 为何值时，过A (1，1)，B (2m 2
＋1，m −2) 两点的直线： （1）倾斜角为135°；
（2）与过两点(3，2)，(0，−7)的直线垂直； （3）与过两点(2，−3)，(−4，9)的直线平行？
10．已知A (1，5)，B (−1，1)，C (3，2)，若四边形ABCD 是平行四边形，求D 点的坐标．
11．若直线12,l l 的斜率是方程2310x x --=的两根，则l 1与l 2的位置关系是
A ．平行
B ．重合
C ．相交但不垂直
D ．垂直
12．已知经过点A (3,n ),B (5,m )的直线l 1与经过点P (-m ,0),Q (0,n 2
)(mn ≠0)的直线l 2平行,则
m
n
的值为 A ．-1 B ．-2 C ．-1或2
D ．-2或1
13．在平面直角坐标系中,四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0)、P (1,t )、Q (1-2t ,2+t )、
R (-2t ,2),其中t >0.试判断四边形OPQR 的形状.
1 2 3 4 5 11 12 B
D
A
D
C
D
C
1．【答案】B
【解析】①③显然正确.对于②，当两直线都垂直于x 轴时，它们互相平行，但斜率不存在，所以②错误；对于④，当一条直线的斜率为0，一条直线的斜率不存在时，它们互相垂直，不满足斜率之积为−1，所以④错误.故选B. 2．【答案】D
【解析】∵k 1=2，12∥l l ，∴k 2=2. 设()0,P y ，则21
1201
y k y -=
=-=+，∴y =3，即()0,3P .
5．【答案】C
【解析】由题意得42312631225,,,6(4)521252(4)3AB CD AD k k k ----=
=-==-==-----62
12(4)
AC k -==--
1,412(4)
426
BD k --==--，所以AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AC ⊥BD . 6．【答案】1- 【解析】因为313PQ a b
k b a
--=
=--，所以线段PQ 的垂直平分线的斜率为1-.
7．【答案】0
【解析】∵l 1∥l 2，且221
101
k -=
=--，∴14113k m -=
=---，∴m =0. 8．【解析】(1)∵()()()53061
1
22,3152
022
MN RS
k k -
--=
===-----,∴12∥l l . (2)∵()
()
121261tan 451,1,132k k k k ---=︒==
=-=---,∴
.
10．【解析】设D (x ，y )，则15211AB k -=
=--，23CD y k x -=-，51AD y k x -=-，211
3(1)4
BC k -==--， 由AB ∥CD ，得
2
23
y x -=-，即y =2x −4.① 由AD ∥BC ，得
51
14
y x -=-，即x −4y ＋19=0.② 由①②解得5
6
x y =⎧⎨
=⎩.
∴D 点的坐标为(5，6)． 11．【答案】D
【解析】因为方程2310x x --=有两个不相等的实数根，直线l 1，l 2的斜率是方程2
310x x --=的两
根，所以12l l k k ≠，且121l l k k ⋅=-，所以l 1与l 2垂直.故选D. 12．【答案】C
【解析】由题意得12l m n k -=, , 因为l 1∥l 2,所以,即2
2m n n m -=,化简得m 2-mn-2n 2=0, 所以m =-n 或m =2n ,得
m n =-1或2,故选C.。