内蒙古巴彦淖尔市临河区第三中学2020届高三上学期第二次月考数学试卷(解析版)

内蒙古巴彦淖尔市临河区第三中学2020届高三上学期
第二次月考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{-2，0，1，2}，则A∩B＝（）
A. B. 0, C. 0,1, D. 0,1,
2.在复平面上，复数对应的点位于（）
A. 第一象限
B. 第三象限
C. 第二象限
D. 第四象限
3.已知向量=（1，-1），=（-1，2），则（2+）=（）
A. B. 0 C. 1 D. 2
4.已知cos（θ+π）=-，则sin（2θ+）=（）
A. B. C. D.
5.已知，若
13+23+33+43+…+n3=3025，则n=（）
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
6.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）
A. 钱
B. 钱
C. 钱
D. 钱
7.函数f（x）=x cosx-x3的大致图象为( )
A. B. C. D.
8.设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则（）
A. 若,,则
B. 若,,,则
C. 若,,,则
D. 若,,,则
9.将函数的图象向左平移个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是( )
A. B. C. D.
10.一个正方体纸盒展开后如下图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°的角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.其中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
12.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f'（x），若对任意的正实数x，都有xf'（x）+2f（x）＞0恒成立，且，则使x2f（x）＜2成立的实数x的集合为（）A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.设x，y满足约束条件，则，则z=2x+3y的取值范围______．
14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足2b cos A=2c-a，则角B的大小为______．
15.已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC，D，E分别是BC，AB上的点，且AE=BE=1，CD=3BD，则=______．
16.设函数f（x）=，若函数f（x）在（a，a+1）递增，则a的取值范围是______．
三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）
17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=4，c=5，A=60°．
（1）求边长a和△ABC的面积；
（2）求sin2B的值．
18.已知等差数列的前n项和为，，．
(1)求；
(2)设数列的前n项和为，证明：．
19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，且满足．
（1）求角A的大小；
（2）若D为BC上一点，且，求a．
20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：EF⊥平面PDC．
21.已知函数f（x）=a ln x-bx-3（a∈R且a≠0）.
（1）若a=b，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，设g（x）=f（x）+3，若g（x）有两个相异零点x1，x2，求证：ln x1+ln x2
＞2．
22.以直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，且两坐标系取相同的长度单位．已知曲线C1的参数方程为：（θ为参数），将曲线C1上每一点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到曲线C2，直线l的极坐标方程：．（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；
（Ⅱ）若曲线C2上的点到直线l的最大距离为，求m的值．
23.已知a，b∈（0，+∞），且2a4b=2．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若存在a，b∈（0，+∞），使得不等式成立，求实数x的取值范围．
——★参*考*答*案★——
1.『答案』A
『解析』解：∵集合A={x||x|＜2}={x|-2＜x＜2}，B={-2，0，1，2}，
∴A∩B={0，1}，
故选：A．
根据集合的交集的定义进行求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2.『答案』A
『解析』本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数所对应点的坐标得答案．
∵=，
∴复数对应的点的坐标为（3，1），位于第一象限．
故选A．
3.『答案』C
『解析』本题考查向量的加法和数量积的坐标运算,属于基础题．
利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题．因为=（1，-1），=（-1，2）,
则(2+)=（1，0)(1，-1）=1,
故选：C．
4.『答案』B
『解析』本题考查诱导公式和二倍角公式的余弦函数公式的运用，属于基础题.
利用诱导公式和二倍角公式解题.
∵cos（θ+π）=-，
∴cosθ=，
∴sin（2θ+）=cos2θ=2cos2θ-1=2×（）2-1=-．
故选B．
5.『答案』C
『解析』∵13+23=（）2=（）2，
13+23+33=（）2=（）2，
13+23+33+43=（）2=（）2，
…
∴13+23+33+…+n3=（）2
=，
∵13+23+33+43+…+n3=3025，
∴=3025，
∴n2（n+1）2=（2×55）2，
∴n（n+1）=110，
解得n=10，
故选：C．
6.『答案』B
『解析』依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a-2d+a-d=a+a+d+a+2d，即a=-6d，
又a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5，
∴a=1，
则a-2d=a-2×=.
故选B．
7.『答案』A
『解析』函数f（-x）=-x cos（-x）-（-x）3
=-x cosx+x3=-f（x），
则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，
f（）=cos-（）3=-（）3＜0，排除B，
故选：A．
8.『答案』D
『解析』由m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，知：
在A中，若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故A错误；
在B中，若α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n与α相交但不一定垂直，故B错误；
在C中，若m∥α，n∥β，m∥n，则α与β相交或平行，故C错误；
在D中，若m⊥α，n⊥β，n⊥m，则由面面垂直的判定理得α⊥β，故D正确．
故选：D．
在A中，m与n平行或异面；在B中，n与α相交但不一定垂直；在C中，α与β相交或平行；在D中，由面面垂直的判定理得α⊥β．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9.『答案』B
『解析』y=cos x+sin x
=2（cos x+sin x）=2sin（x+），
∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin『（x+m）+』=2sin（x+m+），
∵所得的图象关于y轴对称，
∴m+=kπ+（k∈Z），
则m的最小值为．
故选B
10.『答案』D
『解析』①连接CM，可证得ABMC是平行四边形,即得AB||CM,又EF⊥CM,所以EF⊥AB,所以①正确；
②由①中已知AB ||CM，所以②不正确；
③由图直观观察即知EF与MN是异面直线，所以③正确；
④同①的证明方法相同，可证得MN⊥CD，所以④不正确；
故选D.
11.『答案』C
『解析』直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC的中点为O，连结ON，
，则MNOB是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，
∵BC=CA=CC1，
设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，
在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．
故选：C．
12.『答案』C
『解析』令h（x）=x2f（x），易知函数h（x）为奇函数，
当x＞0时，h′（x）=2xf（x）+x2f′（x）=x（2f（x）+xf′（x））＞0，
所以h（x）在（0，+∞）上为增函数，
则h（x）在（-∞，0）上为增函数，
所以x2f（x）＜2=（）2f（），
即h（x）＜h（），解之得x＜．
故选C．
13.『答案』『2，8』
『解析』本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的取值范围．
作出x，y满足约束条件，
则对应的平面区域（阴影部分），
由z=2x+3y，得y=-x+，
由得A（1，2）,
平移直线y=-x+，由图象可知当直线y=-x+经过点A（1，2）时，
直线y=-x+的截距最大，此时z最大．
此时z的最大值为z=2×1+3×2=8，
由图象可知当直线y=-x+经过点B（1，0）时，直线y=-x+的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=2×1+3×0=2，
∴2≤z≤8.
故答案为：『2，8』．
14.『答案』
『解析』∵2b cos A=2c-a，
∴cos A==，整理可得：c2+a2-b2=，
∴cos B===，
∵B∈（0，π），
∴B=．
故答案为：．
由已知及余弦定理可得c2+a2-b2=，进而利用余弦定理可求cos B=，结合范围B∈（0，π），即可得解B的值．
本题主要考查了余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
15.『答案』
『解析』如图：以A为坐标原点，AB所在直线为y轴，AC所在直线为：x轴，
等腰直角三角形ABC中，AB=AC，D，E分别是BC，AB上的点，且AE=BE=1，
可得A（0，0），B（0，2），C（2，0），E（0，1），
=（-2，1）
CD=3BD，可得D（，）.=（，）．
则==．
故答案为．
16.『答案』（-∞，1』∪『4，+∞）
『解析』当x≤4时，y=-x2+4x=-（x-2）2+4，则在（-∞，2』上递增，（2，4』上递减；
当x＞4时，y=log2x在（4，+∞）上递增．
由于函数f（x）在（a，a+1）递增，
则a+1≤2或a≥4，解得a≥4或a≤1，
故答案为：（-∞，1』∪『4，+∞）．
求出分段函数各段的单调性，再由条件可得a+1≤2或a≥4，解出即可．
本题考查分段函数的单调性及运用，注意各段的单调性，考查运算能力，属于基础题．17.『答案』解：（1）∵b=4，c=5，A=60°．
∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bc cos A=16+25-4×5=21，
∴a=，
∴S△ABC=bc sin A==5．
（2）∵由正弦定理可得：，可得：sin B===，
∵b＜c，B为锐角，可得：cos B=，
∴sin2B=2sin B cosB=2×=．
18.『答案』解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，
S3=（a1+a3）×3=3a2=15，
∴a2=5，
∴，a1=3，
∴a n=3+2（n-1）=2n+1，
；
（2）证明：=（-），
则
=（1+--）
=-（+）＜．
『解析』本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
（1）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的求和公式和通项公式，求得首项和公差，即可得到所求和；
（2）求得=（-），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，再由不等式的性质即可得证．
19.『答案』解：（1）由，则（2c-b）cos A=a cos B，
由正弦定理可知：===2R，则a=2R sin A，b=2R sin B，c=2R sin C，
∴（2sin C-sin B）cos A=sin A cos B，
整理得：2sin C cos A-sin B cos A=sin A cos B，
由A=π-（B+C），则sin A=sin『π-（B+C）』=sin（B+C），
即2sin C cos A=sin（A+B）=sin C，
由sin C≠0，则cos C=，即A=，
∴角A的大小；
（2）过D作DE∥AC于E则△ADE中，ED=AC=1，∠DEA=，
由余弦定理可知AD2=AE2+ED2-2AE•ED cos，
又AC=3，A=，则△ABC为直角三角形，
∴a=BC=3，
∴a的值为3．
『解析』（1）由题意根据正弦定理求得∴（2sin C-sin B）cos A=sin A cos B，由A=π-（B+C），根据诱导公式及两角和正弦公式，即可求得A的值；
（2）过D作DE∥AB于E，则△ADE中，ED=AC=1，∠DEA=，由余弦定理可知△ABC 为直角三角形，a=BC=3．
本题考查正弦定理的即余弦定理的应用，考查两角和的正弦公式，考查计算能力，属于基础题．
20.证明：（Ⅰ）连接AC，则F是AC的中点，
在△CPA中，EF∥PA，且PA⊂平面PAD，EF⊊平面PAD，
∴EF∥平面PAD
（Ⅱ）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PA
又PA=PD=AD，
所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=，即PA⊥PD
而CD∩PD=D，
∴PA⊥平面PDC，
又EF∥PA，
所以EF⊥平面PDC.
21.解：（1）由f（x）=a ln x-bx-3知f′（x）=，
当a＞0时，函数f（x）的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，+∞），当a＜0时，函数f（x）的单调增区间是（1，+∞），单调减区间是（0，1）；（2）证明：g（x）=ln x-bx，设g（x）的两个相异零点为x1，x2，
设x1＞x2＞0，
∵g（x1）=0，g（x2）=0，
∴ln x1-bx1=0，ln x2-bx2=0，
∴ln x1-ln x2=b（x1-x2），ln x1+ln x2=b（x1+x2），
要证ln x1+ln x2＞2，即证b（x1+x2）＞2，
即＞，
即ln＞，
设t=＞1，上式转化为ln t＞，t＞1，
设h（t）=ln t-，
∴h′（t）=＞0，
∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，
∴h（t）＞h（1）=0，
∴ln t＞，
∴ln x1+ln x2＞2．
22.解：（Ⅰ）设曲线C1上一点P（x1，y1）与曲线C2上一点Q（x，y），由题知：，
所以（θ为参数）．
（Ⅱ）由题知可得：直线l的直角坐标方程为：，
设曲线C2上一点B（2cosθ，sinθ）到直线l的距离为d，
则，
当m＞0时，，解得：m=10，
当m＜0时，，解得：m=-10，
综上所述：m=±10．
23.解：（Ⅰ）由2a4b=2可知a+2b=1，
又因为，
由a，b∈（0，+∞）可知，
当且仅当a=2b时取等号，所以的最小值为8 ;
（Ⅱ）由题意可知即解不等式|x-1|+|2x-3|≥8，
①，∴．
②，∴x∈∅，
③，∴x≥4．
综上，．。